Identifique o conversor (buck, boost ou buck-boost) e a razão cíclica D a partir da relação de tensões.
Use o equilíbrio volt-segundo no indutor: a tensão média no indutor ao longo de um período é zero.
Encontre a tensão no indutor enquanto a chave conduz e depois ΔIL = VL·D/(L·f).
Para a ondulação da saída, encontre a carga que entra e sai do capacitor; para o limite da CCM, iguale a corrente média no indutor a ΔIL/2.
Motores CC
Circuito de armadura
V = E + IaRa
fcem e torque
E = k·ω, T = k·Ia
Velocidade
ω = 2π·n/60, ω = (V − IaRa)/k
Velocidade a vazio e torque de travamento
ω0 = V/k, Tstall = k·V/Ra
Potências
Pin = V·Ia, Pdev = E·Ia = T·ω, Pout = Pdev − Prot
Partida
Istart = V/(Ra + Rst)
Regulação de velocidade
SR = (n0 − nFL)/nFL
Potência desenvolvida máxima
Pmax = V²/(4Ra)
Acionamento com chopper
Va = D·Vdc
Método
Desenhe o circuito da armadura: alimentação V, resistência Ra e fcem E em série.
Use V = E + Ia·Ra para relacionar tensão, corrente e fcem.
Use E = k·ω para a velocidade e T = k·Ia para o torque, com ω = 2π·n/60.
Para potência e rendimento, parta de V·Ia, subtraia a perda no cobre Ia²·Ra e depois as perdas rotacionais.
Potência CA e fator de potência
Potência ativa
P = V·I·cos φ
Potência reativa
Q = V·I·sin φ
Potência aparente
S = V·I = √(P² + Q²)
Fator de potência
pf = cos φ = P/S
Capacitor de correção
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(ωV²)
Potência trifásica
Ligação em Y
VL = √3·Vph, IL = Iph
Ligação em Δ
VL = Vph, IL = √3·Iph
Potência ativa total
P = √3·VL·IL·cos φ = 3·Iph²·R
Potência aparente e reativa
S = √3·VL·IL, Q = P·tan φ
Capacitores de correção
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(3ωV²)
Tensão sobre cada capacitor
Δ: VL Y: VL/√3
Potência de entrada do motor
Pin = Pout/η
2Exercícios
1.Conversores CC-CCMédia
Um conversor boost ideal converte 15 V em 25 V a 500 kHz com L = 150 µH. Encontre a ondulação pico a pico da corrente no indutor ΔIL.
Vin = 15 VVo = 25 Vf = 500 kHzL = 150 µH
ΔIL = A
2.Conversores CC-CCDifícil
Um conversor boost ideal converte 9 V em 22,5 V para uma carga de 10 Ω a 200 kHz. O capacitor de saída é de 10 µF. Encontre a ondulação pico a pico da tensão de saída ΔVo em mV.
Um motor CC com k = 0,5 V·s/rad funciona com 120 V. Desprezando todas as perdas a vazio, encontre sua velocidade a vazio n0 em rpm.
V = 120 Vk = 0,5 V·s/rad
n0 = rpm
4.Motores CCDifícil
Um motor CC (k = 1,2 V·s/rad, Ra = 0,8 Ω) em uma alimentação fixa de 240 V aciona uma carga de 14,4 N·m. Encontre a resistência em série Rs que o reduz a 400 rpm.
Uma carga com impedância Z = 6 + j8 Ω está ligada a uma fonte monofásica de 230 V (eficaz). Encontre a potência aparente S.
V = 230 VZ = 6 + j8 Ω
S = VA
6.Potência CA e fator de potênciaDifícil
Uma fonte de 100 V (eficaz), 1000 Hz tem impedância interna Zs = 4 + j15 Ω. A impedância de carga ZL pode ser escolhida livremente. Encontre a potência ativa máxima Pmax que pode ser entregue à carga.
Vs = 100 V (rms)f = 1000 HzZs = 4 + j15 Ω
Pmax = W
7.Potência trifásicaMédia
Uma carga equilibrada ligada em Δ com impedância de 24 + j18 Ω por fase está ligada a uma alimentação trifásica equilibrada com tensão de linha de 208 V. Encontre a potência ativa total P absorvida pela carga em kW.
VL = 208 VZ = 24 + j18 Ω por fase
P = kW
8.Potência trifásicaDifícil
Uma carga trifásica equilibrada consome 50 kW com fator de potência 0,8 indutivo de uma alimentação de 400 V (tensão de linha), 50 Hz. Um banco de capacitores trifásico em paralelo com a carga deve elevar o fator de potência total para 0,9 indutivo. A potência ativa permanece a mesma. Os capacitores estão ligados em Y. Encontre a capacitância Cph de cada capacitor em µF.
P = 50 kWpf1 = 0,8pf2 = 0,9VL = 400 Vf = 50 Hz
Cph = µF
3Soluções
1.Conversores CC-CC
Resposta: ΔIL = 0,08 A
Conversores CC-CC: uma chave S conduz durante a fração D de cada período T = 1/f. Em regime permanente a tensão média no indutor é zero (equilíbrio volt-segundo), o que dá as relações de conversão ideais em condução contínua: buck Vo = D·Vin, boost Vo = Vin/(1 − D), buck-boost inversor |Vo| = Vin·D/(1 − D). Um conversor ideal conserva a potência: Vin·Iin = Vo·Io. Enquanto S conduz, a corrente no indutor sobe ΔIL = VL·D·T/L, com VL = Vin − Vo no buck e Vin no boost e no buck-boost. A ondulação da saída é ΔVo = ΔIL/(8fC) no buck e Io·D/(fC) no boost e no buck-boost. A corrente no indutor apenas toca o zero (o limite da CCM) quando a corrente média no indutor é igual a ΔIL/2.
Ciclo de trabalho
D = 1 − 15/25 = 0,4
Tensão no indutor durante o tempo de condução
Enquanto S conduz, o indutor fica diretamente sobre Vin.
VL = 15 V
Ondulação de corrente
ΔIL = VL·D/(L·f) = 15·0,4/(150·10⁻⁶·500·10³) = 0,08 A
Resposta
ΔIL = 0,08 A
2.Conversores CC-CC
Resposta: ΔVo = 675 mV
Conversores CC-CC: uma chave S conduz durante a fração D de cada período T = 1/f. Em regime permanente a tensão média no indutor é zero (equilíbrio volt-segundo), o que dá as relações de conversão ideais em condução contínua: buck Vo = D·Vin, boost Vo = Vin/(1 − D), buck-boost inversor |Vo| = Vin·D/(1 − D). Um conversor ideal conserva a potência: Vin·Iin = Vo·Io. Enquanto S conduz, a corrente no indutor sobe ΔIL = VL·D·T/L, com VL = Vin − Vo no buck e Vin no boost e no buck-boost. A ondulação da saída é ΔVo = ΔIL/(8fC) no buck e Io·D/(fC) no boost e no buck-boost. A corrente no indutor apenas toca o zero (o limite da CCM) quando a corrente média no indutor é igual a ΔIL/2.
Ciclo de trabalho
D = 1 − 9/22,5 = 0,6
Corrente na carga
Io = 22,5/10 = 2,25 A
Ondulação da saída
ΔVo = 2,25·0,6/(200·10³·10·10⁻⁶) = 675 mV
Resposta
ΔVo = 675 mV
3.Motores CC
Resposta: n0 = 2292 rpm
Motor CC: a armadura é uma resistência Ra em série com a força contraeletromotriz (fcem) E, de modo que V = E + Ia·Ra. A fcem cresce com a velocidade, E = k·ω, e o torque com a corrente, T = k·Ia, com a mesma constante do motor k (V·s/rad = N·m/A) em unidades SI. Converta velocidades com ω = 2π·n/60. A potência desenvolvida é E·Ia = T·ω; a potência de entrada é V·Ia, e a perda no cobre Ia²Ra e a perda rotacional fazem a diferença. A velocidade cai em linha reta com o torque, ω = V/k − Ra·T/k², da velocidade a vazio V/k até zero no torque de travamento k·V/Ra. Com o motor parado E = 0, então a corrente de partida V/Ra é grande, a menos que um resistor a limite.
Velocidade a vazio
ω₀ = V/k = 120/0,5 = 240 rad/s
n0 = 60·240/(2π) = 2292 rpm
Resposta
n0 = 2292 rpm
4.Motores CC
Resposta: Rs = 15,01 Ω
Motor CC: a armadura é uma resistência Ra em série com a força contraeletromotriz (fcem) E, de modo que V = E + Ia·Ra. A fcem cresce com a velocidade, E = k·ω, e o torque com a corrente, T = k·Ia, com a mesma constante do motor k (V·s/rad = N·m/A) em unidades SI. Converta velocidades com ω = 2π·n/60. A potência desenvolvida é E·Ia = T·ω; a potência de entrada é V·Ia, e a perda no cobre Ia²Ra e a perda rotacional fazem a diferença. A velocidade cai em linha reta com o torque, ω = V/k − Ra·T/k², da velocidade a vazio V/k até zero no torque de travamento k·V/Ra. Com o motor parado E = 0, então a corrente de partida V/Ra é grande, a menos que um resistor a limite.
Corrente e fcem
Ia = 14,4/1,2 = 12 A
E = 1,2·41,89 = 50,27 V
Resistência em série
Ra + Rs = (240 − 50,27)/12 = 15,81 Ω
Rs = 15,01 Ω
Resposta
Rs = 15,01 Ω
O resistor desperdiça 2162 W; um chopper controla a velocidade com muito menos perdas.
5.Potência CA e fator de potência
Resposta: S = 5290 VA
Potência CA: a potência aparente S = V·I (VA) se divide em potência ativa P = S·cos φ (W), que realiza trabalho útil, e potência reativa Q = S·sin φ (var), que vai e volta entre fonte e carga. O fator de potência é cos φ. Um capacitor em paralelo fornece potência reativa localmente, então a corrente de linha cai para a mesma potência ativa.
Corrente
|Z| = √(6² + 8²) = 10 Ω
I = V/|Z| = 230/10 = 23 A
Potência aparente
S = V·I = 230·23 = 5290 VA
Resposta
S = 5290 VA
6.Potência CA e fator de potência
Resposta: Pmax = 625 W
Potência CA: a potência aparente S = V·I (VA) se divide em potência ativa P = S·cos φ (W), que realiza trabalho útil, e potência reativa Q = S·sin φ (var), que vai e volta entre fonte e carga. O fator de potência é cos φ. Um capacitor em paralelo fornece potência reativa localmente, então a corrente de linha cai para a mesma potência ativa.
Casamento conjugado
A reatância da carga anula a reatância da fonte, e a resistência da carga é igual à resistência da fonte.
ZL = Zs* = 4 − j15 Ω
Potência máxima
I = Vs/(2Rs) = 100/8 = 12,5 A
Pmax = I²·RL = Vs²/(4Rs) = 100²/(4·4) = 625 W
Resposta
Pmax = 625 W
7.Potência trifásica
Resposta: P = 3,461 kW
Sistemas trifásicos equilibrados: em uma ligação Y (estrela) a tensão de linha é √3 vezes a tensão de fase, VL = √3·Vph, e a corrente de linha é igual à corrente de fase. Em uma ligação Δ (triângulo) a tensão de linha é igual à tensão de fase e a corrente de linha é √3 vezes a corrente de fase, IL = √3·Iph. A potência total é três vezes a potência de uma fase: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ.
Tensão de fase
Vph = VL = 208 V
Corrente de fase
|Z| = √(24² + 18²) = 30 Ω
Iph = 208/30 = 6,933 A
Potência ativa total
Só a parte resistiva de cada impedância absorve potência ativa.
P = 3·Iph²·R = 3·6,933²·24 = 3,461 kW
Resposta
P = 3,461 kW
Verificação: cos φ = R/|Z| = 0,8, e √3·VL·IL·cos φ dá a mesma potência.
8.Potência trifásica
Resposta: Cph = 264,3 µF
Sistemas trifásicos equilibrados: em uma ligação Y (estrela) a tensão de linha é √3 vezes a tensão de fase, VL = √3·Vph, e a corrente de linha é igual à corrente de fase. Em uma ligação Δ (triângulo) a tensão de linha é igual à tensão de fase e a corrente de linha é √3 vezes a corrente de fase, IL = √3·Iph. A potência total é três vezes a potência de uma fase: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ. Correção do fator de potência: os capacitores fornecem potência reativa localmente, QC = P·(tan φ1 − tan φ2). Cada um dos três capacitores fornece QC/3 = V²·ω·C, onde V é a tensão sobre aquele capacitor: VL em um banco em Δ, VL/√3 em um banco em Y.
Potência reativa antes e depois
A potência ativa não muda, então cada fator de potência fixa a potência reativa: Q = P·tan φ.
Q1 = 50·tan(acos 0,8) = 50·0,75 = 37,5 kvar
Q2 = 50·tan(acos 0,9) = 50·0,4843 = 24,22 kvar
Potência reativa dos capacitores
QC = Q1 − Q2 = 13,28 kvar
Capacitância por fase
Em um banco em Y cada capacitor está ligado entre uma linha e o centro da estrela.