Identifique o conversor (buck, boost ou buck-boost) e a razão cíclica D a partir da relação de tensões.
Use o equilíbrio volt-segundo no indutor: a tensão média no indutor ao longo de um período é zero.
Encontre a tensão no indutor enquanto a chave conduz e depois ΔIL = VL·D/(L·f).
Para a ondulação da saída, encontre a carga que entra e sai do capacitor; para o limite da CCM, iguale a corrente média no indutor a ΔIL/2.
Motores CC
Circuito de armadura
V = E + IaRa
fcem e torque
E = k·ω, T = k·Ia
Velocidade
ω = 2π·n/60, ω = (V − IaRa)/k
Velocidade a vazio e torque de travamento
ω0 = V/k, Tstall = k·V/Ra
Potências
Pin = V·Ia, Pdev = E·Ia = T·ω, Pout = Pdev − Prot
Partida
Istart = V/(Ra + Rst)
Regulação de velocidade
SR = (n0 − nFL)/nFL
Potência desenvolvida máxima
Pmax = V²/(4Ra)
Acionamento com chopper
Va = D·Vdc
Método
Desenhe o circuito da armadura: alimentação V, resistência Ra e fcem E em série.
Use V = E + Ia·Ra para relacionar tensão, corrente e fcem.
Use E = k·ω para a velocidade e T = k·Ia para o torque, com ω = 2π·n/60.
Para potência e rendimento, parta de V·Ia, subtraia a perda no cobre Ia²·Ra e depois as perdas rotacionais.
Potência CA e fator de potência
Potência ativa
P = V·I·cos φ
Potência reativa
Q = V·I·sin φ
Potência aparente
S = V·I = √(P² + Q²)
Fator de potência
pf = cos φ = P/S
Capacitor de correção
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(ωV²)
Potência trifásica
Ligação em Y
VL = √3·Vph, IL = Iph
Ligação em Δ
VL = Vph, IL = √3·Iph
Potência ativa total
P = √3·VL·IL·cos φ = 3·Iph²·R
Potência aparente e reativa
S = √3·VL·IL, Q = P·tan φ
Capacitores de correção
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(3ωV²)
Tensão sobre cada capacitor
Δ: VL Y: VL/√3
Potência de entrada do motor
Pin = Pout/η
2Exercícios
1.Conversores CC-CCMédia
Um conversor buck ideal converte 36 V em 25,2 V a 25 kHz com L = 100 µH. Encontre a ondulação pico a pico da corrente no indutor ΔIL.
Vin = 36 VVo = 25,2 Vf = 25 kHzL = 100 µH
ΔIL = A
2.Conversores CC-CCDifícil
Um conversor buck converte 24 V em 7,2 V a 40 kHz com L = 10 µH. Encontre a menor corrente de carga Io,min para a qual ele permanece em condução contínua.
Vin = 24 VVo = 7,2 Vf = 40 kHzL = 10 µH
Io,min = A
3.Motores CCMédia
Um motor CC consome 25 A de uma alimentação de 48 V. Sua resistência de armadura é 0,2 Ω e suas perdas rotacionais (atrito, ventilação e ferro) são 32 W. Encontre seu rendimento η.
V = 48 VIa = 25 ARa = 0,2 ΩProt = 32 W
η = %
4.Motores CCDifícil
Um motor CC com k = 0,12 V·s/rad e Ra = 0,2 Ω deve acionar uma carga de 3 N·m a 400 rpm. Encontre a tensão de armadura V de que ele precisa.
k = 0,12 V·s/radRa = 0,2 ΩT = 3 N·mn = 400 rpm
V = V
5.Potência CA e fator de potênciaMédia
Um motor monofásico consome 25 kW com fator de potência 0,85 indutivo de uma fonte de 240 V. Encontre a potência reativa Q que ele consome.
P = 25 kWpf = 0,85V = 240 V
Q = kvar
6.Potência CA e fator de potênciaDifícil
Uma carga monofásica consome 25 kW com fator de potência 0,75 indutivo de uma fonte de 230 V, 60 Hz. Um capacitor ligado em paralelo eleva o fator de potência para 0,92. Encontre a capacitância C necessária.
P = 25 kWpf1 = 0,75pf2 = 0,92V = 230 Vf = 60 Hz
C = µF
7.Potência trifásicaMédia
Um motor de indução trifásico fornece 75 kW de potência mecânica de saída a plena carga. Nessa carga seu rendimento é 95% e seu fator de potência é 0,82 indutivo. A alimentação tem tensão de linha de 690 V. Encontre a corrente de linha IL.
Pout = 75 kWη = 95%cos φ = 0,82VL = 690 V
IL = A
8.Potência trifásicaDifícil
Uma carga trifásica equilibrada consome 250 kW com fator de potência 0,72 indutivo de uma alimentação de 400 V (tensão de linha), 50 Hz. Um banco de capacitores trifásico em paralelo com a carga deve elevar o fator de potência total para 0,95 indutivo. A potência ativa permanece a mesma. Encontre a potência reativa total QC que o banco de capacitores deve fornecer, em kvar.
P = 250 kWpf1 = 0,72pf2 = 0,95VL = 400 Vf = 50 Hz
QC = kvar
3Soluções
1.Conversores CC-CC
Resposta: ΔIL = 3,024 A
Conversores CC-CC: uma chave S conduz durante a fração D de cada período T = 1/f. Em regime permanente a tensão média no indutor é zero (equilíbrio volt-segundo), o que dá as relações de conversão ideais em condução contínua: buck Vo = D·Vin, boost Vo = Vin/(1 − D), buck-boost inversor |Vo| = Vin·D/(1 − D). Um conversor ideal conserva a potência: Vin·Iin = Vo·Io. Enquanto S conduz, a corrente no indutor sobe ΔIL = VL·D·T/L, com VL = Vin − Vo no buck e Vin no boost e no buck-boost. A ondulação da saída é ΔVo = ΔIL/(8fC) no buck e Io·D/(fC) no boost e no buck-boost. A corrente no indutor apenas toca o zero (o limite da CCM) quando a corrente média no indutor é igual a ΔIL/2.
Ciclo de trabalho
D = 25,2/36 = 0,7
Tensão no indutor durante o tempo de condução
Enquanto S conduz, o indutor fica entre Vin e Vo.
VL = 36 − 25,2 = 10,8 V
Ondulação de corrente
ΔIL = VL·D/(L·f) = 10,8·0,7/(100·10⁻⁶·25·10³) = 3,024 A
Resposta
ΔIL = 3,024 A
2.Conversores CC-CC
Resposta: Io,min = 6,3 A
Conversores CC-CC: uma chave S conduz durante a fração D de cada período T = 1/f. Em regime permanente a tensão média no indutor é zero (equilíbrio volt-segundo), o que dá as relações de conversão ideais em condução contínua: buck Vo = D·Vin, boost Vo = Vin/(1 − D), buck-boost inversor |Vo| = Vin·D/(1 − D). Um conversor ideal conserva a potência: Vin·Iin = Vo·Io. Enquanto S conduz, a corrente no indutor sobe ΔIL = VL·D·T/L, com VL = Vin − Vo no buck e Vin no boost e no buck-boost. A ondulação da saída é ΔVo = ΔIL/(8fC) no buck e Io·D/(fC) no boost e no buck-boost. A corrente no indutor apenas toca o zero (o limite da CCM) quando a corrente média no indutor é igual a ΔIL/2.
Ciclo de trabalho
D = 7,2/24 = 0,3
Ondulação de corrente
ΔIL = 7,2·0,7/(10·10⁻⁶·40·10³) = 12,6 A
Corrente de carga no limite
Io,min = ΔIL/2 = 6,3 A
Resposta
Io,min = 6,3 A
Abaixo dessa corrente o conversor entra em condução descontínua e Vo sobe acima de D·Vin.
3.Motores CC
Resposta: η = 86,92 %
Motor CC: a armadura é uma resistência Ra em série com a força contraeletromotriz (fcem) E, de modo que V = E + Ia·Ra. A fcem cresce com a velocidade, E = k·ω, e o torque com a corrente, T = k·Ia, com a mesma constante do motor k (V·s/rad = N·m/A) em unidades SI. Converta velocidades com ω = 2π·n/60. A potência desenvolvida é E·Ia = T·ω; a potência de entrada é V·Ia, e a perda no cobre Ia²Ra e a perda rotacional fazem a diferença. A velocidade cai em linha reta com o torque, ω = V/k − Ra·T/k², da velocidade a vazio V/k até zero no torque de travamento k·V/Ra. Com o motor parado E = 0, então a corrente de partida V/Ra é grande, a menos que um resistor a limite.
Potências
Pin = 48·25 = 1200 W
Pdev = 43·25 = 1075 W
Pout = 1075 − 32 = 1043 W
Rendimento
η = 1043/1200·100 = 86,92 %
Resposta
η = 86,92 %
4.Motores CC
Resposta: V = 10,03 V
Motor CC: a armadura é uma resistência Ra em série com a força contraeletromotriz (fcem) E, de modo que V = E + Ia·Ra. A fcem cresce com a velocidade, E = k·ω, e o torque com a corrente, T = k·Ia, com a mesma constante do motor k (V·s/rad = N·m/A) em unidades SI. Converta velocidades com ω = 2π·n/60. A potência desenvolvida é E·Ia = T·ω; a potência de entrada é V·Ia, e a perda no cobre Ia²Ra e a perda rotacional fazem a diferença. A velocidade cai em linha reta com o torque, ω = V/k − Ra·T/k², da velocidade a vazio V/k até zero no torque de travamento k·V/Ra. Com o motor parado E = 0, então a corrente de partida V/Ra é grande, a menos que um resistor a limite.
Força contraeletromotriz
E = 0,12·41,89 = 5,027 V
Corrente de armadura
Ia = 3/0,12 = 25 A
Tensão de armadura
V = 5,027 + 25·0,2 = 10,03 V
Resposta
V = 10,03 V
5.Potência CA e fator de potência
Resposta: Q = 15,49 kvar
Potência CA: a potência aparente S = V·I (VA) se divide em potência ativa P = S·cos φ (W), que realiza trabalho útil, e potência reativa Q = S·sin φ (var), que vai e volta entre fonte e carga. O fator de potência é cos φ. Um capacitor em paralelo fornece potência reativa localmente, então a corrente de linha cai para a mesma potência ativa.
Ângulo
φ = arccos(0,85) = 31,79°, tan φ = 0,6197
Potência reativa
Q = P·tan φ = 25·0,6197 = 15,49 kvar
Resposta
Q = 15,49 kvar
6.Potência CA e fator de potência
Resposta: C = 571,5 µF
Potência CA: a potência aparente S = V·I (VA) se divide em potência ativa P = S·cos φ (W), que realiza trabalho útil, e potência reativa Q = S·sin φ (var), que vai e volta entre fonte e carga. O fator de potência é cos φ. Um capacitor em paralelo fornece potência reativa localmente, então a corrente de linha cai para a mesma potência ativa.
Potência reativa antes e depois
A potência ativa P não muda; só muda a potência reativa tirada da rede.
Q1 = P·tan φ1 = 25·tan(41,41°) = 22,05 kvar
Q2 = P·tan φ2 = 25·tan(23,07°) = 10,65 kvar
QC = Q1 − Q2 = 11,4 kvar
Capacitância
Um capacitor ligado à fonte fornece Q = V²·ωC.
C = QC/(2πf·V²) = 11398/(2π·60·230²) = 571,5 µF
Resposta
C = 571,5 µF
7.Potência trifásica
Resposta: IL = 80,56 A
Sistemas trifásicos equilibrados: em uma ligação Y (estrela) a tensão de linha é √3 vezes a tensão de fase, VL = √3·Vph, e a corrente de linha é igual à corrente de fase. Em uma ligação Δ (triângulo) a tensão de linha é igual à tensão de fase e a corrente de linha é √3 vezes a corrente de fase, IL = √3·Iph. A potência total é três vezes a potência de uma fase: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ.
Potência elétrica de entrada
Pin = Pout/η = 75/0,95 = 78,95 kW
Corrente de linha
IL = Pin/(√3·VL·cos φ) = 78947/(√3·690·0,82) = 80,56 A
Resposta
IL = 80,56 A
8.Potência trifásica
Resposta: QC = 158,8 kvar
Sistemas trifásicos equilibrados: em uma ligação Y (estrela) a tensão de linha é √3 vezes a tensão de fase, VL = √3·Vph, e a corrente de linha é igual à corrente de fase. Em uma ligação Δ (triângulo) a tensão de linha é igual à tensão de fase e a corrente de linha é √3 vezes a corrente de fase, IL = √3·Iph. A potência total é três vezes a potência de uma fase: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ. Correção do fator de potência: os capacitores fornecem potência reativa localmente, QC = P·(tan φ1 − tan φ2). Cada um dos três capacitores fornece QC/3 = V²·ω·C, onde V é a tensão sobre aquele capacitor: VL em um banco em Δ, VL/√3 em um banco em Y.
Potência reativa antes e depois
A potência ativa não muda, então cada fator de potência fixa a potência reativa: Q = P·tan φ.