Identifique o conversor (buck, boost ou buck-boost) e a razão cíclica D a partir da relação de tensões.
Use o equilíbrio volt-segundo no indutor: a tensão média no indutor ao longo de um período é zero.
Encontre a tensão no indutor enquanto a chave conduz e depois ΔIL = VL·D/(L·f).
Para a ondulação da saída, encontre a carga que entra e sai do capacitor; para o limite da CCM, iguale a corrente média no indutor a ΔIL/2.
Motores CC
Circuito de armadura
V = E + IaRa
fcem e torque
E = k·ω, T = k·Ia
Velocidade
ω = 2π·n/60, ω = (V − IaRa)/k
Velocidade a vazio e torque de travamento
ω0 = V/k, Tstall = k·V/Ra
Potências
Pin = V·Ia, Pdev = E·Ia = T·ω, Pout = Pdev − Prot
Partida
Istart = V/(Ra + Rst)
Regulação de velocidade
SR = (n0 − nFL)/nFL
Potência desenvolvida máxima
Pmax = V²/(4Ra)
Acionamento com chopper
Va = D·Vdc
Método
Desenhe o circuito da armadura: alimentação V, resistência Ra e fcem E em série.
Use V = E + Ia·Ra para relacionar tensão, corrente e fcem.
Use E = k·ω para a velocidade e T = k·Ia para o torque, com ω = 2π·n/60.
Para potência e rendimento, parta de V·Ia, subtraia a perda no cobre Ia²·Ra e depois as perdas rotacionais.
Potência CA e fator de potência
Potência ativa
P = V·I·cos φ
Potência reativa
Q = V·I·sin φ
Potência aparente
S = V·I = √(P² + Q²)
Fator de potência
pf = cos φ = P/S
Capacitor de correção
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(ωV²)
Potência trifásica
Ligação em Y
VL = √3·Vph, IL = Iph
Ligação em Δ
VL = Vph, IL = √3·Iph
Potência ativa total
P = √3·VL·IL·cos φ = 3·Iph²·R
Potência aparente e reativa
S = √3·VL·IL, Q = P·tan φ
Capacitores de correção
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(3ωV²)
Tensão sobre cada capacitor
Δ: VL Y: VL/√3
Potência de entrada do motor
Pin = Pout/η
2Exercícios
1.Conversores CC-CCMédia
Um conversor boost ideal converte 9 V em 30 V para uma carga de 25 Ω. Encontre a corrente média no indutor IL.
Vin = 9 VVo = 30 VR = 25 Ω
IL = A
2.Conversores CC-CCDifícil
Um conversor buck converte 12 V em 8,4 V a 250 kHz com L = 68 µH. Encontre a capacitância de saída C que limita a ondulação pico a pico da saída a 50 mV.
Um motor CC (k = 1,5 V·s/rad, Ra = 0,5 Ω) funciona com 240 V. A plena carga ele consome 30 A. Desprezando a corrente a vazio, encontre sua regulação de velocidade SR = (n₀ − nFL)/nFL em porcentagem.
V = 240 Vk = 1,5 V·s/radRa = 0,5 ΩIFL = 30 A
SR = %
4.Motores CCDifícil
Um motor CC com k = 0,5 V·s/rad e Ra = 2 Ω deve acionar uma carga de 2 N·m a 500 rpm. Encontre a tensão de armadura V de que ele precisa.
k = 0,5 V·s/radRa = 2 ΩT = 2 N·mn = 500 rpm
V = V
5.Potência CA e fator de potênciaMédia
Duas cargas estão ligadas em paralelo a uma fonte monofásica de 400 V: uma carga de 23 kW com fator de potência 0,7 indutivo e uma carga de 27 kW com fator de potência 0,8 indutivo. Encontre o fator de potência global cos φ visto pela fonte.
Um transformador monofásico de 50 kVA alimenta uma carga de 35 kW com fator de potência 0,85 indutivo. Quanta potência ativa adicional ΔP pode ser acrescentada como carga resistiva (fator de potência unitário) antes que o transformador atinja sua potência nominal em kVA?
Smax = 50 kVAP1 = 35 kWpf1 = 0,85
ΔP = kW
7.Potência trifásicaMédia
Uma carga equilibrada ligada em Y com impedância de 20 + j15 Ω por fase está ligada a uma alimentação trifásica equilibrada com tensão de linha de 480 V. Encontre a potência ativa total P absorvida pela carga em kW.
VL = 480 VZ = 20 + j15 Ω por fase
P = kW
8.Potência trifásicaDifícil
Uma carga trifásica equilibrada consome 120 kW com fator de potência 0,8 indutivo de uma alimentação de 480 V (tensão de linha), 60 Hz. Um banco de capacitores trifásico em paralelo com a carga deve elevar o fator de potência total para 0,98 indutivo. A potência ativa permanece a mesma. Encontre a potência reativa total QC que o banco de capacitores deve fornecer, em kvar.
P = 120 kWpf1 = 0,8pf2 = 0,98VL = 480 Vf = 60 Hz
QC = kvar
3Soluções
1.Conversores CC-CC
Resposta: IL = 4 A
Conversores CC-CC: uma chave S conduz durante a fração D de cada período T = 1/f. Em regime permanente a tensão média no indutor é zero (equilíbrio volt-segundo), o que dá as relações de conversão ideais em condução contínua: buck Vo = D·Vin, boost Vo = Vin/(1 − D), buck-boost inversor |Vo| = Vin·D/(1 − D). Um conversor ideal conserva a potência: Vin·Iin = Vo·Io. Enquanto S conduz, a corrente no indutor sobe ΔIL = VL·D·T/L, com VL = Vin − Vo no buck e Vin no boost e no buck-boost. A ondulação da saída é ΔVo = ΔIL/(8fC) no buck e Io·D/(fC) no boost e no buck-boost. A corrente no indutor apenas toca o zero (o limite da CCM) quando a corrente média no indutor é igual a ΔIL/2.
Ciclo de trabalho
D = 1 − 9/30 = 0,7
Corrente na carga
Io = 30/25 = 1,2 A
Corrente no indutor
IL = Io/(1 − D) = 1,2/0,3 = 4 A
Resposta
IL = 4 A
2.Conversores CC-CC
Resposta: C = 1,482 µF
Conversores CC-CC: uma chave S conduz durante a fração D de cada período T = 1/f. Em regime permanente a tensão média no indutor é zero (equilíbrio volt-segundo), o que dá as relações de conversão ideais em condução contínua: buck Vo = D·Vin, boost Vo = Vin/(1 − D), buck-boost inversor |Vo| = Vin·D/(1 − D). Um conversor ideal conserva a potência: Vin·Iin = Vo·Io. Enquanto S conduz, a corrente no indutor sobe ΔIL = VL·D·T/L, com VL = Vin − Vo no buck e Vin no boost e no buck-boost. A ondulação da saída é ΔVo = ΔIL/(8fC) no buck e Io·D/(fC) no boost e no buck-boost. A corrente no indutor apenas toca o zero (o limite da CCM) quando a corrente média no indutor é igual a ΔIL/2.
Ciclo de trabalho
D = 8,4/12 = 0,7
Ondulação de corrente no indutor
ΔIL = (12 − 8,4)·0,7/(68·10⁻⁶·250·10³) = 0,1482 A
Capacitância
C = 0,1482/(8·250·10³·50·10⁻³) = 1,482 µF
Resposta
C = 1,482 µF
3.Motores CC
Resposta: SR = 6,667 %
Motor CC: a armadura é uma resistência Ra em série com a força contraeletromotriz (fcem) E, de modo que V = E + Ia·Ra. A fcem cresce com a velocidade, E = k·ω, e o torque com a corrente, T = k·Ia, com a mesma constante do motor k (V·s/rad = N·m/A) em unidades SI. Converta velocidades com ω = 2π·n/60. A potência desenvolvida é E·Ia = T·ω; a potência de entrada é V·Ia, e a perda no cobre Ia²Ra e a perda rotacional fazem a diferença. A velocidade cai em linha reta com o torque, ω = V/k − Ra·T/k², da velocidade a vazio V/k até zero no torque de travamento k·V/Ra. Com o motor parado E = 0, então a corrente de partida V/Ra é grande, a menos que um resistor a limite.
Velocidade a vazio e a plena carga
n₀ = 60·240/(2π·1,5) = 1528 rpm
nFL = 60·(240 − 30·0,5)/(2π·1,5) = 1432 rpm
Regulação de velocidade
SR = (1528 − 1432)/1432·100 = 6,667 %
Resposta
SR = 6,667 %
4.Motores CC
Resposta: V = 34,18 V
Motor CC: a armadura é uma resistência Ra em série com a força contraeletromotriz (fcem) E, de modo que V = E + Ia·Ra. A fcem cresce com a velocidade, E = k·ω, e o torque com a corrente, T = k·Ia, com a mesma constante do motor k (V·s/rad = N·m/A) em unidades SI. Converta velocidades com ω = 2π·n/60. A potência desenvolvida é E·Ia = T·ω; a potência de entrada é V·Ia, e a perda no cobre Ia²Ra e a perda rotacional fazem a diferença. A velocidade cai em linha reta com o torque, ω = V/k − Ra·T/k², da velocidade a vazio V/k até zero no torque de travamento k·V/Ra. Com o motor parado E = 0, então a corrente de partida V/Ra é grande, a menos que um resistor a limite.
Força contraeletromotriz
E = 0,5·52,36 = 26,18 V
Corrente de armadura
Ia = 2/0,5 = 4 A
Tensão de armadura
V = 26,18 + 4·2 = 34,18 V
Resposta
V = 34,18 V
5.Potência CA e fator de potência
Resposta: cos φ = 0,7528
Potência CA: a potência aparente S = V·I (VA) se divide em potência ativa P = S·cos φ (W), que realiza trabalho útil, e potência reativa Q = S·sin φ (var), que vai e volta entre fonte e carga. O fator de potência é cos φ. Um capacitor em paralelo fornece potência reativa localmente, então a corrente de linha cai para a mesma potência ativa.
Potência reativa de cada carga
Uma carga indutiva consome potência reativa (Q > 0); uma carga capacitiva a fornece (Q < 0).
Q1 = 23·tan(arccos 0,7) = 23,46 kvar
Q2 = 27·tan(arccos 0,8) = 20,25 kvar
Totais
P = 23 + 27 = 50 kW
Q = 23,46 + 20,25 = 43,71 kvar
S = √(50² + 43,71²) = 66,42 kVA
Fator de potência global
cos φ = P/S = 50/66,42 = 0,7528 indutivo
Resposta
cos φ = 0,7528
6.Potência CA e fator de potência
Resposta: ΔP = 10,05 kW
Potência CA: a potência aparente S = V·I (VA) se divide em potência ativa P = S·cos φ (W), que realiza trabalho útil, e potência reativa Q = S·sin φ (var), que vai e volta entre fonte e carga. O fator de potência é cos φ. Um capacitor em paralelo fornece potência reativa localmente, então a corrente de linha cai para a mesma potência ativa.
Potência reativa da carga existente
Q1 = 35·tan(arccos 0,85) = 21,69 kvar
Maior potência ativa total
Na potência nominal S = Smax, e Q não é alterada pela carga resistiva.
P = √(Smax² − Q1²) = √(50² − 21,69²) = 45,05 kW
Potência ativa adicional
ΔP = 45,05 − 35 = 10,05 kW
Resposta
ΔP = 10,05 kW
7.Potência trifásica
Resposta: P = 7,373 kW
Sistemas trifásicos equilibrados: em uma ligação Y (estrela) a tensão de linha é √3 vezes a tensão de fase, VL = √3·Vph, e a corrente de linha é igual à corrente de fase. Em uma ligação Δ (triângulo) a tensão de linha é igual à tensão de fase e a corrente de linha é √3 vezes a corrente de fase, IL = √3·Iph. A potência total é três vezes a potência de uma fase: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ.
Tensão de fase
Vph = 480/√3 = 277,1 V
Corrente de fase
|Z| = √(20² + 15²) = 25 Ω
Iph = 277,1/25 = 11,09 A
Potência ativa total
Só a parte resistiva de cada impedância absorve potência ativa.
P = 3·Iph²·R = 3·11,09²·20 = 7,373 kW
Resposta
P = 7,373 kW
Verificação: cos φ = R/|Z| = 0,8, e √3·VL·IL·cos φ dá a mesma potência.
8.Potência trifásica
Resposta: QC = 65,63 kvar
Sistemas trifásicos equilibrados: em uma ligação Y (estrela) a tensão de linha é √3 vezes a tensão de fase, VL = √3·Vph, e a corrente de linha é igual à corrente de fase. Em uma ligação Δ (triângulo) a tensão de linha é igual à tensão de fase e a corrente de linha é √3 vezes a corrente de fase, IL = √3·Iph. A potência total é três vezes a potência de uma fase: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ. Correção do fator de potência: os capacitores fornecem potência reativa localmente, QC = P·(tan φ1 − tan φ2). Cada um dos três capacitores fornece QC/3 = V²·ω·C, onde V é a tensão sobre aquele capacitor: VL em um banco em Δ, VL/√3 em um banco em Y.
Potência reativa antes e depois
A potência ativa não muda, então cada fator de potência fixa a potência reativa: Q = P·tan φ.