Eletrônica de Potência e Acionamentos: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 8 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Conversores CC-CC

Buck
Vo = D·Vin
Boost
Vo = Vin/(1 − D)
Buck-boost inversor
|Vo| = Vin·D/(1 − D)
Balanço de potência ideal
VinIin = VoIo
Ondulação do indutor
ΔIL = VL,on·D/(L·f); buck Vin − Vo, boost and buck-boost Vin
Corrente média no indutor
buck Io; boost e buck-boost Io/(1 − D)
Ondulação da saída
buck ΔIL/(8fC); boost e buck-boost Io·D/(fC)
Limite da CCM
buck (1 − D)R/(2f); boost D(1 − D)²R/(2f); buck-boost (1 − D)²R/(2f)

Método

  1. Identifique o conversor (buck, boost ou buck-boost) e a razão cíclica D a partir da relação de tensões.
  2. Use o equilíbrio volt-segundo no indutor: a tensão média no indutor ao longo de um período é zero.
  3. Encontre a tensão no indutor enquanto a chave conduz e depois ΔIL = VL·D/(L·f).
  4. Para a ondulação da saída, encontre a carga que entra e sai do capacitor; para o limite da CCM, iguale a corrente média no indutor a ΔIL/2.

Motores CC

Circuito de armadura
V = E + IaRa
fcem e torque
E = k·ω, T = k·Ia
Velocidade
ω = 2π·n/60, ω = (V − IaRa)/k
Velocidade a vazio e torque de travamento
ω0 = V/k, Tstall = k·V/Ra
Potências
Pin = V·Ia, Pdev = E·Ia = T·ω, Pout = Pdev − Prot
Partida
Istart = V/(Ra + Rst)
Regulação de velocidade
SR = (n0 − nFL)/nFL
Potência desenvolvida máxima
Pmax = V²/(4Ra)
Acionamento com chopper
Va = D·Vdc

Método

  1. Desenhe o circuito da armadura: alimentação V, resistência Ra e fcem E em série.
  2. Use V = E + Ia·Ra para relacionar tensão, corrente e fcem.
  3. Use E = k·ω para a velocidade e T = k·Ia para o torque, com ω = 2π·n/60.
  4. Para potência e rendimento, parta de V·Ia, subtraia a perda no cobre Ia²·Ra e depois as perdas rotacionais.

Potência CA e fator de potência

Potência ativa
P = V·I·cos φ
Potência reativa
Q = V·I·sin φ
Potência aparente
S = V·I = √(P² + Q²)
Fator de potência
pf = cos φ = P/S
Capacitor de correção
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(ωV²)

Potência trifásica

Ligação em Y
VL = √3·Vph, IL = Iph
Ligação em Δ
VL = Vph, IL = √3·Iph
Potência ativa total
P = √3·VL·IL·cos φ = 3·Iph²·R
Potência aparente e reativa
S = √3·VL·IL, Q = P·tan φ
Capacitores de correção
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(3ωV²)
Tensão sobre cada capacitor
Δ: VL Y: VL/√3
Potência de entrada do motor
Pin = Pout/η

2Exercícios

1.Conversores CC-CCMédia
tiL​Imax​Imin​ΔI = ?DTT2T

Um conversor buck ideal converte 48 V em 33,6 V a 100 kHz com L = 220 µH. Encontre a ondulação pico a pico da corrente no indutor ΔIL.

Vin​ = 48 VVo​ = 33,6 Vf = 100 kHzL = 220 µH
ΔIL = A
2.Conversores CC-CCDifícil
+−12 VSLC = 47 µFR = 10 Ω−+−8 V

Um conversor buck-boost ideal converte 12 V em −8 V para uma carga de 10 Ω a 20 kHz. O capacitor de saída é de 47 µF. Encontre a ondulação pico a pico da tensão de saída ΔVo em mV.

Vin​ = 12 VVo​ = −8 Vf = 20 kHzC = 47 µFR = 10 Ω
ΔVo = mV
3.Motores CCMédia
T (N·m)n (rpm)0,72 N·mn0​nFL​

Um motor CC (k = 0,12 V·s/rad, Ra = 0,5 Ω) funciona com 24 V. A plena carga ele consome 6 A. Desprezando a corrente a vazio, encontre sua regulação de velocidade SR = (n₀ − nFL)/nFL em porcentagem.

V = 24 Vk = 0,12 V·s/radRa = 0,5 ΩIFL = 6 A
SR = %
4.Motores CCDifícil
+−48 VRst​ = ?Ra​ = 0,2 Ω100 AM+−E = 0n = 0T

Um motor CC de 48 V tem resistência de armadura de 0,2 Ω. Encontre a resistência de partida em série Rst que limita a corrente de partida a 100 A.

V = 48 VRa = 0,2 ΩImax = 100 A
Rst = Ω
5.Potência CA e fator de potênciaMédia
P = 20 kWQ = ?Sφ

Um motor monofásico consome 20 kW com fator de potência 0,7 indutivo de uma fonte de 240 V. Encontre a potência reativa Q que ele consome.

P = 20 kWpf = 0,7V = 240 V
Q = kvar
6.Potência CA e fator de potênciaDifícil
P1​ = 46 kWQ1​S1​φ

Um transformador monofásico de 150 kVA alimenta uma carga de 46 kW com fator de potência 0,75 indutivo. Quanta potência ativa adicional ΔP pode ser acrescentada como carga resistiva (fator de potência unitário) antes que o transformador atinja sua potência nominal em kVA?

Smax = 150 kVAP1 = 46 kWpf1 = 0,75
ΔP = kW
7.Potência trifásicaMédia
ABCVL​ = 480 VIL​ = ?M37 kW, η = 90%cos φ = 0,86

Um motor de indução trifásico fornece 37 kW de potência mecânica de saída a plena carga. Nessa carga seu rendimento é 90% e seu fator de potência é 0,86 indutivo. A alimentação tem tensão de linha de 480 V. Encontre a corrente de linha IL.

Pout = 37 kWη = 90%cos φ = 0,86VL = 480 V
IL = A
8.Potência trifásicaDifícil
P = 120 kWφ1​S1​Q2​QC​ = ?

Uma carga trifásica equilibrada consome 120 kW com fator de potência 0,65 indutivo de uma alimentação de 480 V (tensão de linha), 50 Hz. Um banco de capacitores trifásico em paralelo com a carga deve elevar o fator de potência total para 0,98 indutivo. A potência ativa permanece a mesma. Encontre a potência reativa total QC que o banco de capacitores deve fornecer, em kvar.

P = 120 kWpf1 = 0,65pf2 = 0,98VL = 480 Vf = 50 Hz
QC = kvar

3Soluções

1.Conversores CC-CC

Resposta: ΔIL = 0,4582 A

Conversores CC-CC: uma chave S conduz durante a fração D de cada período T = 1/f. Em regime permanente a tensão média no indutor é zero (equilíbrio volt-segundo), o que dá as relações de conversão ideais em condução contínua: buck Vo = D·Vin, boost Vo = Vin/(1 − D), buck-boost inversor |Vo| = Vin·D/(1 − D). Um conversor ideal conserva a potência: Vin·Iin = Vo·Io. Enquanto S conduz, a corrente no indutor sobe ΔIL = VL·D·T/L, com VL = Vin − Vo no buck e Vin no boost e no buck-boost. A ondulação da saída é ΔVo = ΔIL/(8fC) no buck e Io·D/(fC) no boost e no buck-boost. A corrente no indutor apenas toca o zero (o limite da CCM) quando a corrente média no indutor é igual a ΔIL/2.

Ciclo de trabalho

D = 33,6/48 = 0,7

Tensão no indutor durante o tempo de condução

Enquanto S conduz, o indutor fica entre Vin e Vo.

VL = 48 − 33,6 = 14,4 V

Ondulação de corrente

ΔIL = VL·D/(L·f) = 14,4·0,7/(220·10⁻⁶·100·10³) = 0,4582 A

Resposta

ΔIL = 0,4582 A
2.Conversores CC-CC

Resposta: ΔVo = 340,4 mV

Conversores CC-CC: uma chave S conduz durante a fração D de cada período T = 1/f. Em regime permanente a tensão média no indutor é zero (equilíbrio volt-segundo), o que dá as relações de conversão ideais em condução contínua: buck Vo = D·Vin, boost Vo = Vin/(1 − D), buck-boost inversor |Vo| = Vin·D/(1 − D). Um conversor ideal conserva a potência: Vin·Iin = Vo·Io. Enquanto S conduz, a corrente no indutor sobe ΔIL = VL·D·T/L, com VL = Vin − Vo no buck e Vin no boost e no buck-boost. A ondulação da saída é ΔVo = ΔIL/(8fC) no buck e Io·D/(fC) no boost e no buck-boost. A corrente no indutor apenas toca o zero (o limite da CCM) quando a corrente média no indutor é igual a ΔIL/2.

Ciclo de trabalho

D = 8/(12 + 8) = 0,4

Corrente na carga

Io = 8/10 = 0,8 A

Ondulação da saída

ΔVo = 0,8·0,4/(20·10³·47·10⁻⁶) = 340,4 mV

Resposta

ΔVo = 340,4 mV
3.Motores CC

Resposta: SR = 14,29 %

Motor CC: a armadura é uma resistência Ra em série com a força contraeletromotriz (fcem) E, de modo que V = E + Ia·Ra. A fcem cresce com a velocidade, E = k·ω, e o torque com a corrente, T = k·Ia, com a mesma constante do motor k (V·s/rad = N·m/A) em unidades SI. Converta velocidades com ω = 2π·n/60. A potência desenvolvida é E·Ia = T·ω; a potência de entrada é V·Ia, e a perda no cobre Ia²Ra e a perda rotacional fazem a diferença. A velocidade cai em linha reta com o torque, ω = V/k − Ra·T/k², da velocidade a vazio V/k até zero no torque de travamento k·V/Ra. Com o motor parado E = 0, então a corrente de partida V/Ra é grande, a menos que um resistor a limite.

Velocidade a vazio e a plena carga

n₀ = 60·24/(2π·0,12) = 1910 rpm
nFL = 60·(24 − 6·0,5)/(2π·0,12) = 1671 rpm

Regulação de velocidade

SR = (1910 − 1671)/1671·100 = 14,29 %

Resposta

SR = 14,29 %
4.Motores CC

Resposta: Rst = 0,28 Ω

Motor CC: a armadura é uma resistência Ra em série com a força contraeletromotriz (fcem) E, de modo que V = E + Ia·Ra. A fcem cresce com a velocidade, E = k·ω, e o torque com a corrente, T = k·Ia, com a mesma constante do motor k (V·s/rad = N·m/A) em unidades SI. Converta velocidades com ω = 2π·n/60. A potência desenvolvida é E·Ia = T·ω; a potência de entrada é V·Ia, e a perda no cobre Ia²Ra e a perda rotacional fazem a diferença. A velocidade cai em linha reta com o torque, ω = V/k − Ra·T/k², da velocidade a vazio V/k até zero no torque de travamento k·V/Ra. Com o motor parado E = 0, então a corrente de partida V/Ra é grande, a menos que um resistor a limite.

Resistência total

Ra + Rst = 48/100 = 0,48 Ω

Resistor de partida

Rst = 0,48 − 0,2 = 0,28 Ω

Resposta

Rst = 0,28 Ω

O resistor é retirado por etapas à medida que o motor acelera e a fcem cresce.

5.Potência CA e fator de potência

Resposta: Q = 20,4 kvar

Potência CA: a potência aparente S = V·I (VA) se divide em potência ativa P = S·cos φ (W), que realiza trabalho útil, e potência reativa Q = S·sin φ (var), que vai e volta entre fonte e carga. O fator de potência é cos φ. Um capacitor em paralelo fornece potência reativa localmente, então a corrente de linha cai para a mesma potência ativa.

Ângulo

φ = arccos(0,7) = 45,57°, tan φ = 1,02

Potência reativa

Q = P·tan φ = 20·1,02 = 20,4 kvar

Resposta

Q = 20,4 kvar
6.Potência CA e fator de potência

Resposta: ΔP = 98,41 kW

Potência CA: a potência aparente S = V·I (VA) se divide em potência ativa P = S·cos φ (W), que realiza trabalho útil, e potência reativa Q = S·sin φ (var), que vai e volta entre fonte e carga. O fator de potência é cos φ. Um capacitor em paralelo fornece potência reativa localmente, então a corrente de linha cai para a mesma potência ativa.

Potência reativa da carga existente

Q1 = 46·tan(arccos 0,75) = 40,57 kvar

Maior potência ativa total

Na potência nominal S = Smax, e Q não é alterada pela carga resistiva.

P = √(Smax² − Q1²) = √(150² − 40,57²) = 144,4 kW

Potência ativa adicional

ΔP = 144,4 − 46 = 98,41 kW

Resposta

ΔP = 98,41 kW
7.Potência trifásica

Resposta: IL = 57,5 A

Sistemas trifásicos equilibrados: em uma ligação Y (estrela) a tensão de linha é √3 vezes a tensão de fase, VL = √3·Vph, e a corrente de linha é igual à corrente de fase. Em uma ligação Δ (triângulo) a tensão de linha é igual à tensão de fase e a corrente de linha é √3 vezes a corrente de fase, IL = √3·Iph. A potência total é três vezes a potência de uma fase: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ.

Potência elétrica de entrada

Pin = Pout/η = 37/0,9 = 41,11 kW

Corrente de linha

IL = Pin/(√3·VL·cos φ) = 41111/(√3·480·0,86) = 57,5 A

Resposta

IL = 57,5 A
8.Potência trifásica

Resposta: QC = 115,9 kvar

Sistemas trifásicos equilibrados: em uma ligação Y (estrela) a tensão de linha é √3 vezes a tensão de fase, VL = √3·Vph, e a corrente de linha é igual à corrente de fase. Em uma ligação Δ (triângulo) a tensão de linha é igual à tensão de fase e a corrente de linha é √3 vezes a corrente de fase, IL = √3·Iph. A potência total é três vezes a potência de uma fase: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ. Correção do fator de potência: os capacitores fornecem potência reativa localmente, QC = P·(tan φ1 − tan φ2). Cada um dos três capacitores fornece QC/3 = V²·ω·C, onde V é a tensão sobre aquele capacitor: VL em um banco em Δ, VL/√3 em um banco em Y.

Potência reativa antes e depois

A potência ativa não muda, então cada fator de potência fixa a potência reativa: Q = P·tan φ.

Q1 = 120·tan(acos 0,65) = 120·1,169 = 140,3 kvar
Q2 = 120·tan(acos 0,98) = 120·0,2031 = 24,37 kvar

Potência reativa dos capacitores

QC = Q1 − Q2 = 115,9 kvar

Resposta

QC = 115,9 kvar

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