Eletrônica de Potência e Acionamentos: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 8 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Conversores CC-CC

Buck
Vo = D·Vin
Boost
Vo = Vin/(1 − D)
Buck-boost inversor
|Vo| = Vin·D/(1 − D)
Balanço de potência ideal
VinIin = VoIo
Ondulação do indutor
ΔIL = VL,on·D/(L·f); buck Vin − Vo, boost and buck-boost Vin
Corrente média no indutor
buck Io; boost e buck-boost Io/(1 − D)
Ondulação da saída
buck ΔIL/(8fC); boost e buck-boost Io·D/(fC)
Limite da CCM
buck (1 − D)R/(2f); boost D(1 − D)²R/(2f); buck-boost (1 − D)²R/(2f)

Método

  1. Identifique o conversor (buck, boost ou buck-boost) e a razão cíclica D a partir da relação de tensões.
  2. Use o equilíbrio volt-segundo no indutor: a tensão média no indutor ao longo de um período é zero.
  3. Encontre a tensão no indutor enquanto a chave conduz e depois ΔIL = VL·D/(L·f).
  4. Para a ondulação da saída, encontre a carga que entra e sai do capacitor; para o limite da CCM, iguale a corrente média no indutor a ΔIL/2.

Motores CC

Circuito de armadura
V = E + IaRa
fcem e torque
E = k·ω, T = k·Ia
Velocidade
ω = 2π·n/60, ω = (V − IaRa)/k
Velocidade a vazio e torque de travamento
ω0 = V/k, Tstall = k·V/Ra
Potências
Pin = V·Ia, Pdev = E·Ia = T·ω, Pout = Pdev − Prot
Partida
Istart = V/(Ra + Rst)
Regulação de velocidade
SR = (n0 − nFL)/nFL
Potência desenvolvida máxima
Pmax = V²/(4Ra)
Acionamento com chopper
Va = D·Vdc

Método

  1. Desenhe o circuito da armadura: alimentação V, resistência Ra e fcem E em série.
  2. Use V = E + Ia·Ra para relacionar tensão, corrente e fcem.
  3. Use E = k·ω para a velocidade e T = k·Ia para o torque, com ω = 2π·n/60.
  4. Para potência e rendimento, parta de V·Ia, subtraia a perda no cobre Ia²·Ra e depois as perdas rotacionais.

Potência CA e fator de potência

Potência ativa
P = V·I·cos φ
Potência reativa
Q = V·I·sin φ
Potência aparente
S = V·I = √(P² + Q²)
Fator de potência
pf = cos φ = P/S
Capacitor de correção
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(ωV²)

Potência trifásica

Ligação em Y
VL = √3·Vph, IL = Iph
Ligação em Δ
VL = Vph, IL = √3·Iph
Potência ativa total
P = √3·VL·IL·cos φ = 3·Iph²·R
Potência aparente e reativa
S = √3·VL·IL, Q = P·tan φ
Capacitores de correção
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(3ωV²)
Tensão sobre cada capacitor
Δ: VL Y: VL/√3
Potência de entrada do motor
Pin = Pout/η

2Exercícios

1.Conversores CC-CCMédia
tiL​Imax​Imin​ΔI = ?DTT2T

Um conversor buck-boost inversor ideal converte 48 V em −144 V a 50 kHz com L = 220 µH. Encontre a ondulação pico a pico da corrente no indutor ΔIL.

Vin​ = 48 VVo​ = −144 Vf = 50 kHzL = 220 µH
ΔIL = A
2.Conversores CC-CCDifícil
tiL​Imax​IL​DTT2T

Um conversor buck-boost inversor ideal converte 24 V em −8 V para uma carga de 5 Ω a 25 kHz. Encontre a menor indutância Lcrit para condução contínua.

Vin​ = 24 VVo​ = −8 Vf = 25 kHzR = 5 Ω
Lcrit = µH
3.Motores CCMédia
T (N·m)n (rpm)0,8 N·mn0​n = ?

Um motor CC (k = 0,2 N·m/A, Ra = 0,8 Ω) funciona com 24 V e aciona um torque de carga de 0,8 N·m. Encontre sua velocidade n em rpm.

V = 24 Vk = 0,2 N·m/ARa = 0,8 ΩT = 0,8 N·m
n = rpm
4.Motores CCDifícil
+−240 VD = ?Ra​ = 2 ΩM+−En = 1200 rpmT = 9,6 N·m

Um chopper CC alimenta um motor (k = 0,8 V·s/rad, Ra = 2 Ω) a partir de um barramento CC de 240 V. A tensão média de armadura é D·240 V. Encontre a razão cíclica D que faz o motor funcionar a 1200 rpm com uma carga de 9,6 N·m.

Vdc = 240 Vk = 0,8 V·s/radRa = 2 ΩT = 9,6 N·mn = 1200 rpm
D = %
5.Potência CA e fator de potênciaMédia
P = 6 kWQ = ?Sφ

Um motor monofásico consome 6 kW com fator de potência 0,8 indutivo de uma fonte de 400 V. Encontre a potência reativa Q que ele consome.

P = 6 kWpf = 0,8V = 400 V
Q = kvar
6.Potência CA e fator de potênciaDifícil
230 V50 Hzcarga4 kW, 0,75C150 µFI

Uma carga monofásica consome 4 kW com fator de potência 0,75 indutivo de uma fonte de 230 V, 50 Hz. Um capacitor de 150 µF é ligado em paralelo com a carga. Encontre o novo fator de potência cos φ visto pela fonte.

P = 4 kWpf1 = 0,75V = 230 Vf = 50 HzC = 150 µF
cos φ =
7.Potência trifásicaMédia
ABCVL​ = 690 VIL​ = ?M18,5 kW, η = 94%cos φ = 0,84

Um motor de indução trifásico fornece 18,5 kW de potência mecânica de saída a plena carga. Nessa carga seu rendimento é 94% e seu fator de potência é 0,84 indutivo. A alimentação tem tensão de linha de 690 V. Encontre a corrente de linha IL.

Pout = 18,5 kWη = 94%cos φ = 0,84VL = 690 V
IL = A
8.Potência trifásicaDifícil
P = 250 kWφ1​S1​Q2​QC​

Uma carga trifásica equilibrada consome 250 kW com fator de potência 0,72 indutivo de uma alimentação de 480 V (tensão de linha), 50 Hz. Um banco de capacitores trifásico em paralelo com a carga deve elevar o fator de potência total para 0,92 indutivo. A potência ativa permanece a mesma. Os capacitores estão ligados em Y. Encontre a capacitância Cph de cada capacitor em µF.

P = 250 kWpf1 = 0,72pf2 = 0,92VL = 480 Vf = 50 Hz
Cph = µF

3Soluções

1.Conversores CC-CC

Resposta: ΔIL = 3,273 A

Conversores CC-CC: uma chave S conduz durante a fração D de cada período T = 1/f. Em regime permanente a tensão média no indutor é zero (equilíbrio volt-segundo), o que dá as relações de conversão ideais em condução contínua: buck Vo = D·Vin, boost Vo = Vin/(1 − D), buck-boost inversor |Vo| = Vin·D/(1 − D). Um conversor ideal conserva a potência: Vin·Iin = Vo·Io. Enquanto S conduz, a corrente no indutor sobe ΔIL = VL·D·T/L, com VL = Vin − Vo no buck e Vin no boost e no buck-boost. A ondulação da saída é ΔVo = ΔIL/(8fC) no buck e Io·D/(fC) no boost e no buck-boost. A corrente no indutor apenas toca o zero (o limite da CCM) quando a corrente média no indutor é igual a ΔIL/2.

Ciclo de trabalho

D = 144/(48 + 144) = 0,75

Tensão no indutor durante o tempo de condução

Enquanto S conduz, o indutor fica diretamente sobre Vin.

VL = 48 V

Ondulação de corrente

ΔIL = VL·D/(L·f) = 48·0,75/(220·10⁻⁶·50·10³) = 3,273 A

Resposta

ΔIL = 3,273 A
2.Conversores CC-CC

Resposta: Lcrit = 56,25 µH

Conversores CC-CC: uma chave S conduz durante a fração D de cada período T = 1/f. Em regime permanente a tensão média no indutor é zero (equilíbrio volt-segundo), o que dá as relações de conversão ideais em condução contínua: buck Vo = D·Vin, boost Vo = Vin/(1 − D), buck-boost inversor |Vo| = Vin·D/(1 − D). Um conversor ideal conserva a potência: Vin·Iin = Vo·Io. Enquanto S conduz, a corrente no indutor sobe ΔIL = VL·D·T/L, com VL = Vin − Vo no buck e Vin no boost e no buck-boost. A ondulação da saída é ΔVo = ΔIL/(8fC) no buck e Io·D/(fC) no boost e no buck-boost. A corrente no indutor apenas toca o zero (o limite da CCM) quando a corrente média no indutor é igual a ΔIL/2.

Ciclo de trabalho

D = 8/(24 + 8) = 0,25

Condição de limite

Iguale a corrente média no indutor à metade da ondulação de corrente e resolva para L.

Lcrit = (1 − D)²·R/(2f)

Indutância crítica

Lcrit = (1 − 0,25)²·5/(225·10³) = 56,25 µH

Resposta

Lcrit = 56,25 µH
3.Motores CC

Resposta: n = 993,1 rpm

Motor CC: a armadura é uma resistência Ra em série com a força contraeletromotriz (fcem) E, de modo que V = E + Ia·Ra. A fcem cresce com a velocidade, E = k·ω, e o torque com a corrente, T = k·Ia, com a mesma constante do motor k (V·s/rad = N·m/A) em unidades SI. Converta velocidades com ω = 2π·n/60. A potência desenvolvida é E·Ia = T·ω; a potência de entrada é V·Ia, e a perda no cobre Ia²Ra e a perda rotacional fazem a diferença. A velocidade cai em linha reta com o torque, ω = V/k − Ra·T/k², da velocidade a vazio V/k até zero no torque de travamento k·V/Ra. Com o motor parado E = 0, então a corrente de partida V/Ra é grande, a menos que um resistor a limite.

Corrente de armadura

Ia = T/k = 0,8/0,2 = 4 A

fcem e velocidade

E = 24 − 4·0,8 = 20,8 V
ω = E/k = 104 rad/s → n = 993,1 rpm

Resposta

n = 993,1 rpm
4.Motores CC

Resposta: D = 51,89 %

Motor CC: a armadura é uma resistência Ra em série com a força contraeletromotriz (fcem) E, de modo que V = E + Ia·Ra. A fcem cresce com a velocidade, E = k·ω, e o torque com a corrente, T = k·Ia, com a mesma constante do motor k (V·s/rad = N·m/A) em unidades SI. Converta velocidades com ω = 2π·n/60. A potência desenvolvida é E·Ia = T·ω; a potência de entrada é V·Ia, e a perda no cobre Ia²Ra e a perda rotacional fazem a diferença. A velocidade cai em linha reta com o torque, ω = V/k − Ra·T/k², da velocidade a vazio V/k até zero no torque de travamento k·V/Ra. Com o motor parado E = 0, então a corrente de partida V/Ra é grande, a menos que um resistor a limite.

Tensão de armadura necessária

Va = 0,8·125,7 + 12·2 = 124,5 V

Ciclo de trabalho

D = 124,5/240 = 51,89 %

Resposta

D = 51,89 %
5.Potência CA e fator de potência

Resposta: Q = 4,5 kvar

Potência CA: a potência aparente S = V·I (VA) se divide em potência ativa P = S·cos φ (W), que realiza trabalho útil, e potência reativa Q = S·sin φ (var), que vai e volta entre fonte e carga. O fator de potência é cos φ. Um capacitor em paralelo fornece potência reativa localmente, então a corrente de linha cai para a mesma potência ativa.

Ângulo

φ = arccos(0,8) = 36,87°, tan φ = 0,75

Potência reativa

Q = P·tan φ = 6·0,75 = 4,5 kvar

Resposta

Q = 4,5 kvar
6.Potência CA e fator de potência

Resposta: cos φ = 0,9681

Potência CA: a potência aparente S = V·I (VA) se divide em potência ativa P = S·cos φ (W), que realiza trabalho útil, e potência reativa Q = S·sin φ (var), que vai e volta entre fonte e carga. O fator de potência é cos φ. Um capacitor em paralelo fornece potência reativa localmente, então a corrente de linha cai para a mesma potência ativa.

Potência reativa antes e depois

A potência ativa P não muda; só muda a potência reativa tirada da rede.

Q1 = 4·tan(arccos 0,75) = 3,528 kvar
QC = V²·2πf·C = 230²·2π·50·150·10⁻⁶ = 2493 var = 2,493 kvar
Q2 = 3,528 − 2,493 = 1,035 kvar

Nova potência aparente

S2 = √(4² + 1,035²) = 4,132 kVA

Novo fator de potência

cos φ = P/S2 = 4/4,132 = 0,9681

Resposta

cos φ = 0,9681
7.Potência trifásica

Resposta: IL = 19,6 A

Sistemas trifásicos equilibrados: em uma ligação Y (estrela) a tensão de linha é √3 vezes a tensão de fase, VL = √3·Vph, e a corrente de linha é igual à corrente de fase. Em uma ligação Δ (triângulo) a tensão de linha é igual à tensão de fase e a corrente de linha é √3 vezes a corrente de fase, IL = √3·Iph. A potência total é três vezes a potência de uma fase: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ.

Potência elétrica de entrada

Pin = Pout/η = 18,5/0,94 = 19,68 kW

Corrente de linha

IL = Pin/(√3·VL·cos φ) = 19681/(√3·690·0,84) = 19,6 A

Resposta

IL = 19,6 A
8.Potência trifásica

Resposta: Cph = 1858 µF

Sistemas trifásicos equilibrados: em uma ligação Y (estrela) a tensão de linha é √3 vezes a tensão de fase, VL = √3·Vph, e a corrente de linha é igual à corrente de fase. Em uma ligação Δ (triângulo) a tensão de linha é igual à tensão de fase e a corrente de linha é √3 vezes a corrente de fase, IL = √3·Iph. A potência total é três vezes a potência de uma fase: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ. Correção do fator de potência: os capacitores fornecem potência reativa localmente, QC = P·(tan φ1 − tan φ2). Cada um dos três capacitores fornece QC/3 = V²·ω·C, onde V é a tensão sobre aquele capacitor: VL em um banco em Δ, VL/√3 em um banco em Y.

Potência reativa antes e depois

A potência ativa não muda, então cada fator de potência fixa a potência reativa: Q = P·tan φ.

Q1 = 250·tan(acos 0,72) = 250·0,9639 = 241 kvar
Q2 = 250·tan(acos 0,92) = 250·0,426 = 106,5 kvar

Potência reativa dos capacitores

QC = Q1 − Q2 = 134,5 kvar

Capacitância por fase

Em um banco em Y cada capacitor está ligado entre uma linha e o centro da estrela.

V = 480/√3 = 277,1 V, ω = 2π·50 = 314,2 rad/s
Cph = (QC/3)/(ω·V²) = 44821/(314,2·277,1²) = 1858 µF

Resposta

Cph = 1858 µF

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