Eletrônica de Potência e Acionamentos: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 8 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Conversores CC-CC

Buck
Vo = D·Vin
Boost
Vo = Vin/(1 − D)
Buck-boost inversor
|Vo| = Vin·D/(1 − D)
Balanço de potência ideal
VinIin = VoIo
Ondulação do indutor
ΔIL = VL,on·D/(L·f); buck Vin − Vo, boost and buck-boost Vin
Corrente média no indutor
buck Io; boost e buck-boost Io/(1 − D)
Ondulação da saída
buck ΔIL/(8fC); boost e buck-boost Io·D/(fC)
Limite da CCM
buck (1 − D)R/(2f); boost D(1 − D)²R/(2f); buck-boost (1 − D)²R/(2f)

Método

  1. Identifique o conversor (buck, boost ou buck-boost) e a razão cíclica D a partir da relação de tensões.
  2. Use o equilíbrio volt-segundo no indutor: a tensão média no indutor ao longo de um período é zero.
  3. Encontre a tensão no indutor enquanto a chave conduz e depois ΔIL = VL·D/(L·f).
  4. Para a ondulação da saída, encontre a carga que entra e sai do capacitor; para o limite da CCM, iguale a corrente média no indutor a ΔIL/2.

Motores CC

Circuito de armadura
V = E + IaRa
fcem e torque
E = k·ω, T = k·Ia
Velocidade
ω = 2π·n/60, ω = (V − IaRa)/k
Velocidade a vazio e torque de travamento
ω0 = V/k, Tstall = k·V/Ra
Potências
Pin = V·Ia, Pdev = E·Ia = T·ω, Pout = Pdev − Prot
Partida
Istart = V/(Ra + Rst)
Regulação de velocidade
SR = (n0 − nFL)/nFL
Potência desenvolvida máxima
Pmax = V²/(4Ra)
Acionamento com chopper
Va = D·Vdc

Método

  1. Desenhe o circuito da armadura: alimentação V, resistência Ra e fcem E em série.
  2. Use V = E + Ia·Ra para relacionar tensão, corrente e fcem.
  3. Use E = k·ω para a velocidade e T = k·Ia para o torque, com ω = 2π·n/60.
  4. Para potência e rendimento, parta de V·Ia, subtraia a perda no cobre Ia²·Ra e depois as perdas rotacionais.

Potência CA e fator de potência

Potência ativa
P = V·I·cos φ
Potência reativa
Q = V·I·sin φ
Potência aparente
S = V·I = √(P² + Q²)
Fator de potência
pf = cos φ = P/S
Capacitor de correção
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(ωV²)

Potência trifásica

Ligação em Y
VL = √3·Vph, IL = Iph
Ligação em Δ
VL = Vph, IL = √3·Iph
Potência ativa total
P = √3·VL·IL·cos φ = 3·Iph²·R
Potência aparente e reativa
S = √3·VL·IL, Q = P·tan φ
Capacitores de correção
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(3ωV²)
Tensão sobre cada capacitor
Δ: VL Y: VL/√3
Potência de entrada do motor
Pin = Pout/η

2Exercícios

1.Conversores CC-CCMédia
tiL​Imax​ = ?Imin​Io​DTT2T

Um conversor buck converte 9 V em 3,6 V para uma carga de 5 Ω. Ele chaveia a 50 kHz com L = 220 µH. Encontre a corrente de pico no indutor Imax.

Vin​ = 9 VVo​ = 3,6 Vf = 50 kHzL = 220 µHR = 5 Ω
Imax = A
2.Conversores CC-CCDifícil
+−9 VSLC = 470 µFR = 12 Ω−+−13,5 V

Um conversor buck-boost ideal converte 9 V em −13,5 V para uma carga de 12 Ω a 250 kHz. O capacitor de saída é de 470 µF. Encontre a ondulação pico a pico da tensão de saída ΔVo em mV.

Vin​ = 9 VVo​ = −13,5 Vf = 250 kHzC = 470 µFR = 12 Ω
ΔVo = mV
3.Motores CCMédia
+−VRa​M+−En = 1500 rpmT = ?

Um motor CC fornece 0,5 kW de potência mecânica a 1500 rpm. Encontre o torque no eixo T.

P = 0,5 kWn = 1500 rpm
T = N·m
4.Motores CCDifícil
+−120 VRa​ = 0,8 ΩM+−EωT

Um pequeno motor CC tem resistência de armadura de 0,8 Ω e funciona com 120 V. Desprezando as perdas rotacionais, encontre a maior potência mecânica Pmax que ele pode desenvolver em qualquer velocidade.

V = 120 VRa = 0,8 Ω
Pmax = W
5.Potência CA e fator de potênciaMédia
230 VZ4 + j3 ΩI

Uma carga com impedância Z = 4 + j3 Ω está ligada a uma fonte monofásica de 230 V (eficaz). Encontre a potência reativa Q que ela absorve.

V = 230 VZ = 4 + j3 Ω
Q = var
6.Potência CA e fator de potênciaDifícil
400 V50 Hzcarga28 kW, 0,8C47 µFI

Uma carga monofásica consome 28 kW com fator de potência 0,8 indutivo de uma fonte de 400 V, 50 Hz. Um capacitor de 47 µF é ligado em paralelo com a carga. Encontre o novo fator de potência cos φ visto pela fonte.

P = 28 kWpf1 = 0,8V = 400 Vf = 50 HzC = 47 µF
cos φ =
7.Potência trifásicaMédia
ABCVL​ = 480 VZ = 20 + j15 Ωpor fase

Uma carga equilibrada ligada em Δ com impedância de 20 + j15 Ω por fase está ligada a uma alimentação trifásica equilibrada com tensão de linha de 480 V. Encontre a potência ativa total P absorvida pela carga em kW.

VL = 480 VZ = 20 + j15 Ω por fase
P = kW
8.Potência trifásicaDifícil
P = 250 kWφ1​S1​Q2​QC​ = ?

Uma carga trifásica equilibrada consome 250 kW com fator de potência 0,7 indutivo de uma alimentação de 415 V (tensão de linha), 50 Hz. Um banco de capacitores trifásico em paralelo com a carga deve elevar o fator de potência total para 0,9 indutivo. A potência ativa permanece a mesma. Encontre a potência reativa total QC que o banco de capacitores deve fornecer, em kvar.

P = 250 kWpf1 = 0,7pf2 = 0,9VL = 415 Vf = 50 Hz
QC = kvar

3Soluções

1.Conversores CC-CC

Resposta: Imax = 0,8182 A

Conversores CC-CC: uma chave S conduz durante a fração D de cada período T = 1/f. Em regime permanente a tensão média no indutor é zero (equilíbrio volt-segundo), o que dá as relações de conversão ideais em condução contínua: buck Vo = D·Vin, boost Vo = Vin/(1 − D), buck-boost inversor |Vo| = Vin·D/(1 − D). Um conversor ideal conserva a potência: Vin·Iin = Vo·Io. Enquanto S conduz, a corrente no indutor sobe ΔIL = VL·D·T/L, com VL = Vin − Vo no buck e Vin no boost e no buck-boost. A ondulação da saída é ΔVo = ΔIL/(8fC) no buck e Io·D/(fC) no boost e no buck-boost. A corrente no indutor apenas toca o zero (o limite da CCM) quando a corrente média no indutor é igual a ΔIL/2.

Ciclo de trabalho

D = 3,6/9 = 0,4

Corrente média e ondulação

Io = 3,6/5 = 0,72 A
ΔIL = VL·D/(L·f) = 5,4·0,4/(220·10⁻⁶·50·10³) = 0,1964 A

Corrente de pico

Imax = 0,72 + 0,1964/2 = 0,8182 A

Resposta

Imax = 0,8182 A
2.Conversores CC-CC

Resposta: ΔVo = 5,745 mV

Conversores CC-CC: uma chave S conduz durante a fração D de cada período T = 1/f. Em regime permanente a tensão média no indutor é zero (equilíbrio volt-segundo), o que dá as relações de conversão ideais em condução contínua: buck Vo = D·Vin, boost Vo = Vin/(1 − D), buck-boost inversor |Vo| = Vin·D/(1 − D). Um conversor ideal conserva a potência: Vin·Iin = Vo·Io. Enquanto S conduz, a corrente no indutor sobe ΔIL = VL·D·T/L, com VL = Vin − Vo no buck e Vin no boost e no buck-boost. A ondulação da saída é ΔVo = ΔIL/(8fC) no buck e Io·D/(fC) no boost e no buck-boost. A corrente no indutor apenas toca o zero (o limite da CCM) quando a corrente média no indutor é igual a ΔIL/2.

Ciclo de trabalho

D = 13,5/(9 + 13,5) = 0,6

Corrente na carga

Io = 13,5/12 = 1,125 A

Ondulação da saída

ΔVo = 1,125·0,6/(250·10³·470·10⁻⁶) = 5,745 mV

Resposta

ΔVo = 5,745 mV
3.Motores CC

Resposta: T = 3,183 N·m

Motor CC: a armadura é uma resistência Ra em série com a força contraeletromotriz (fcem) E, de modo que V = E + Ia·Ra. A fcem cresce com a velocidade, E = k·ω, e o torque com a corrente, T = k·Ia, com a mesma constante do motor k (V·s/rad = N·m/A) em unidades SI. Converta velocidades com ω = 2π·n/60. A potência desenvolvida é E·Ia = T·ω; a potência de entrada é V·Ia, e a perda no cobre Ia²Ra e a perda rotacional fazem a diferença. A velocidade cai em linha reta com o torque, ω = V/k − Ra·T/k², da velocidade a vazio V/k até zero no torque de travamento k·V/Ra. Com o motor parado E = 0, então a corrente de partida V/Ra é grande, a menos que um resistor a limite.

Velocidade em rad/s

ω = 2π·1500/60 = 157,1 rad/s

Torque

T = P/ω = 500/157,1 = 3,183 N·m

Resposta

T = 3,183 N·m
4.Motores CC

Resposta: Pmax = 4500 W

Motor CC: a armadura é uma resistência Ra em série com a força contraeletromotriz (fcem) E, de modo que V = E + Ia·Ra. A fcem cresce com a velocidade, E = k·ω, e o torque com a corrente, T = k·Ia, com a mesma constante do motor k (V·s/rad = N·m/A) em unidades SI. Converta velocidades com ω = 2π·n/60. A potência desenvolvida é E·Ia = T·ω; a potência de entrada é V·Ia, e a perda no cobre Ia²Ra e a perda rotacional fazem a diferença. A velocidade cai em linha reta com o torque, ω = V/k − Ra·T/k², da velocidade a vazio V/k até zero no torque de travamento k·V/Ra. Com o motor parado E = 0, então a corrente de partida V/Ra é grande, a menos que um resistor a limite.

Potência em função da fcem

P(E) = E·(V − E)/Ra
dP/dE = 0 → E = V/2 = 60 V

Potência máxima

Pmax = (V/2)²/Ra = V²/(4Ra) = 120²/(4·0,8) = 4500 W

Resposta

Pmax = 4500 W

Nesse ponto o rendimento é de apenas 50 %, por isso os motores reais funcionam bem acima da metade da velocidade.

5.Potência CA e fator de potência

Resposta: Q = 6348 var

Potência CA: a potência aparente S = V·I (VA) se divide em potência ativa P = S·cos φ (W), que realiza trabalho útil, e potência reativa Q = S·sin φ (var), que vai e volta entre fonte e carga. O fator de potência é cos φ. Um capacitor em paralelo fornece potência reativa localmente, então a corrente de linha cai para a mesma potência ativa.

Corrente

|Z| = √(4² + 3²) = 5 Ω
I = V/|Z| = 230/5 = 46 A

Potência reativa

Q = I²·X = 46²·3 = 6348 var

Resposta

Q = 6348 var
6.Potência CA e fator de potência

Resposta: cos φ = 0,8324

Potência CA: a potência aparente S = V·I (VA) se divide em potência ativa P = S·cos φ (W), que realiza trabalho útil, e potência reativa Q = S·sin φ (var), que vai e volta entre fonte e carga. O fator de potência é cos φ. Um capacitor em paralelo fornece potência reativa localmente, então a corrente de linha cai para a mesma potência ativa.

Potência reativa antes e depois

A potência ativa P não muda; só muda a potência reativa tirada da rede.

Q1 = 28·tan(arccos 0,8) = 21 kvar
QC = V²·2πf·C = 400²·2π·50·47·10⁻⁶ = 2362 var = 2,362 kvar
Q2 = 21 − 2,362 = 18,64 kvar

Nova potência aparente

S2 = √(28² + 18,64²) = 33,64 kVA

Novo fator de potência

cos φ = P/S2 = 28/33,64 = 0,8324

Resposta

cos φ = 0,8324
7.Potência trifásica

Resposta: P = 22,12 kW

Sistemas trifásicos equilibrados: em uma ligação Y (estrela) a tensão de linha é √3 vezes a tensão de fase, VL = √3·Vph, e a corrente de linha é igual à corrente de fase. Em uma ligação Δ (triângulo) a tensão de linha é igual à tensão de fase e a corrente de linha é √3 vezes a corrente de fase, IL = √3·Iph. A potência total é três vezes a potência de uma fase: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ.

Tensão de fase

Vph = VL = 480 V

Corrente de fase

|Z| = √(20² + 15²) = 25 Ω
Iph = 480/25 = 19,2 A

Potência ativa total

Só a parte resistiva de cada impedância absorve potência ativa.

P = 3·Iph²·R = 3·19,2²·20 = 22,12 kW

Resposta

P = 22,12 kW

Verificação: cos φ = R/|Z| = 0,8, e √3·VL·IL·cos φ dá a mesma potência.

8.Potência trifásica

Resposta: QC = 134 kvar

Sistemas trifásicos equilibrados: em uma ligação Y (estrela) a tensão de linha é √3 vezes a tensão de fase, VL = √3·Vph, e a corrente de linha é igual à corrente de fase. Em uma ligação Δ (triângulo) a tensão de linha é igual à tensão de fase e a corrente de linha é √3 vezes a corrente de fase, IL = √3·Iph. A potência total é três vezes a potência de uma fase: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ. Correção do fator de potência: os capacitores fornecem potência reativa localmente, QC = P·(tan φ1 − tan φ2). Cada um dos três capacitores fornece QC/3 = V²·ω·C, onde V é a tensão sobre aquele capacitor: VL em um banco em Δ, VL/√3 em um banco em Y.

Potência reativa antes e depois

A potência ativa não muda, então cada fator de potência fixa a potência reativa: Q = P·tan φ.

Q1 = 250·tan(acos 0,7) = 250·1,02 = 255,1 kvar
Q2 = 250·tan(acos 0,9) = 250·0,4843 = 121,1 kvar

Potência reativa dos capacitores

QC = Q1 − Q2 = 134 kvar

Resposta

QC = 134 kvar

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