Eletrônica de Potência e Acionamentos: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 8 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Conversores CC-CC

Buck
Vo = D·Vin
Boost
Vo = Vin/(1 − D)
Buck-boost inversor
|Vo| = Vin·D/(1 − D)
Balanço de potência ideal
VinIin = VoIo
Ondulação do indutor
ΔIL = VL,on·D/(L·f); buck Vin − Vo, boost and buck-boost Vin
Corrente média no indutor
buck Io; boost e buck-boost Io/(1 − D)
Ondulação da saída
buck ΔIL/(8fC); boost e buck-boost Io·D/(fC)
Limite da CCM
buck (1 − D)R/(2f); boost D(1 − D)²R/(2f); buck-boost (1 − D)²R/(2f)

Método

  1. Identifique o conversor (buck, boost ou buck-boost) e a razão cíclica D a partir da relação de tensões.
  2. Use o equilíbrio volt-segundo no indutor: a tensão média no indutor ao longo de um período é zero.
  3. Encontre a tensão no indutor enquanto a chave conduz e depois ΔIL = VL·D/(L·f).
  4. Para a ondulação da saída, encontre a carga que entra e sai do capacitor; para o limite da CCM, iguale a corrente média no indutor a ΔIL/2.

Motores CC

Circuito de armadura
V = E + IaRa
fcem e torque
E = k·ω, T = k·Ia
Velocidade
ω = 2π·n/60, ω = (V − IaRa)/k
Velocidade a vazio e torque de travamento
ω0 = V/k, Tstall = k·V/Ra
Potências
Pin = V·Ia, Pdev = E·Ia = T·ω, Pout = Pdev − Prot
Partida
Istart = V/(Ra + Rst)
Regulação de velocidade
SR = (n0 − nFL)/nFL
Potência desenvolvida máxima
Pmax = V²/(4Ra)
Acionamento com chopper
Va = D·Vdc

Método

  1. Desenhe o circuito da armadura: alimentação V, resistência Ra e fcem E em série.
  2. Use V = E + Ia·Ra para relacionar tensão, corrente e fcem.
  3. Use E = k·ω para a velocidade e T = k·Ia para o torque, com ω = 2π·n/60.
  4. Para potência e rendimento, parta de V·Ia, subtraia a perda no cobre Ia²·Ra e depois as perdas rotacionais.

Potência CA e fator de potência

Potência ativa
P = V·I·cos φ
Potência reativa
Q = V·I·sin φ
Potência aparente
S = V·I = √(P² + Q²)
Fator de potência
pf = cos φ = P/S
Capacitor de correção
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(ωV²)

Potência trifásica

Ligação em Y
VL = √3·Vph, IL = Iph
Ligação em Δ
VL = Vph, IL = √3·Iph
Potência ativa total
P = √3·VL·IL·cos φ = 3·Iph²·R
Potência aparente e reativa
S = √3·VL·IL, Q = P·tan φ
Capacitores de correção
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(3ωV²)
Tensão sobre cada capacitor
Δ: VL Y: VL/√3
Potência de entrada do motor
Pin = Pout/η

2Exercícios

1.Conversores CC-CCMédia
tiL​Imax​Imin​ΔI = ?DTT2T

Um conversor boost ideal converte 24 V em 60 V a 500 kHz com L = 100 µH. Encontre a ondulação pico a pico da corrente no indutor ΔIL.

Vin​ = 24 VVo​ = 60 Vf = 500 kHzL = 100 µH
ΔIL = A
2.Conversores CC-CCDifícil
+−15 VLSC = 10 µFR = 10 Ω+−20 V

Um conversor boost ideal converte 15 V em 20 V para uma carga de 10 Ω a 500 kHz. O capacitor de saída é de 10 µF. Encontre a ondulação pico a pico da tensão de saída ΔVo em mV.

Vin​ = 15 VVo​ = 20 Vf = 500 kHzC = 10 µFR = 10 Ω
ΔVo = mV
3.Motores CCMédia
T (N·m)n (rpm)Tst​ = ?n0​

Um motor CC com k = 1,5 N·m/A e Ra = 1,2 Ω está ligado a 110 V. Encontre seu torque de travamento Tstall, o torque com velocidade zero.

V = 110 Vk = 1,5 N·m/ARa = 1,2 Ω
Tstall = N·m
4.Motores CCDifícil
+−24 VRs​ = ?Ra​ = 1,2 ΩM+−En = 300 rpmT = 0,16 N·m

Um motor CC (k = 0,08 V·s/rad, Ra = 1,2 Ω) em uma alimentação fixa de 24 V aciona uma carga de 0,16 N·m. Encontre a resistência em série Rs que o reduz a 300 rpm.

V = 24 Vk = 0,08 V·s/radRa = 1,2 ΩT = 0,16 N·mn = 300 rpm
Rs = Ω
5.Potência CA e fator de potênciaMédia
P = 27 kWQSφ

Um motor monofásico consome 27 kW com fator de potência 0,9 indutivo de uma fonte de 400 V. Encontre a corrente de linha I.

P = 27 kWpf = 0,9V = 400 V
I = A
6.Potência CA e fator de potênciaDifícil
P = 50 kWQ1​S1​φ1​QC​

Uma carga monofásica consome 50 kW com fator de potência 0,75 indutivo de uma fonte de 400 V, 60 Hz. Um capacitor ligado em paralelo eleva o fator de potência para 0,92. Encontre a potência reativa QC que o capacitor deve fornecer.

P = 50 kWpf1 = 0,75pf2 = 0,92V = 400 Vf = 60 Hz
QC = kvar
7.Potência trifásicaMédia
ABCVL​ = 415 VIL​ = ?M90 kW, η = 91%cos φ = 0,9

Um motor de indução trifásico fornece 90 kW de potência mecânica de saída a plena carga. Nessa carga seu rendimento é 91% e seu fator de potência é 0,9 indutivo. A alimentação tem tensão de linha de 415 V. Encontre a corrente de linha IL.

Pout = 90 kWη = 91%cos φ = 0,9VL = 415 V
IL = A
8.Potência trifásicaDifícil
P = 60 kWφ1​S1​Q2​QC​

Uma carga trifásica equilibrada consome 60 kW com fator de potência 0,8 indutivo de uma alimentação de 480 V (tensão de linha), 60 Hz. Um banco de capacitores trifásico em paralelo com a carga deve elevar o fator de potência total para 0,92 indutivo. A potência ativa permanece a mesma. Os capacitores estão ligados em Δ. Encontre a capacitância Cph de cada capacitor em µF.

P = 60 kWpf1 = 0,8pf2 = 0,92VL = 480 Vf = 60 Hz
Cph = µF

3Soluções

1.Conversores CC-CC

Resposta: ΔIL = 0,288 A

Conversores CC-CC: uma chave S conduz durante a fração D de cada período T = 1/f. Em regime permanente a tensão média no indutor é zero (equilíbrio volt-segundo), o que dá as relações de conversão ideais em condução contínua: buck Vo = D·Vin, boost Vo = Vin/(1 − D), buck-boost inversor |Vo| = Vin·D/(1 − D). Um conversor ideal conserva a potência: Vin·Iin = Vo·Io. Enquanto S conduz, a corrente no indutor sobe ΔIL = VL·D·T/L, com VL = Vin − Vo no buck e Vin no boost e no buck-boost. A ondulação da saída é ΔVo = ΔIL/(8fC) no buck e Io·D/(fC) no boost e no buck-boost. A corrente no indutor apenas toca o zero (o limite da CCM) quando a corrente média no indutor é igual a ΔIL/2.

Ciclo de trabalho

D = 1 − 24/60 = 0,6

Tensão no indutor durante o tempo de condução

Enquanto S conduz, o indutor fica diretamente sobre Vin.

VL = 24 V

Ondulação de corrente

ΔIL = VL·D/(L·f) = 24·0,6/(100·10⁻⁶·500·10³) = 0,288 A

Resposta

ΔIL = 0,288 A
2.Conversores CC-CC

Resposta: ΔVo = 100 mV

Conversores CC-CC: uma chave S conduz durante a fração D de cada período T = 1/f. Em regime permanente a tensão média no indutor é zero (equilíbrio volt-segundo), o que dá as relações de conversão ideais em condução contínua: buck Vo = D·Vin, boost Vo = Vin/(1 − D), buck-boost inversor |Vo| = Vin·D/(1 − D). Um conversor ideal conserva a potência: Vin·Iin = Vo·Io. Enquanto S conduz, a corrente no indutor sobe ΔIL = VL·D·T/L, com VL = Vin − Vo no buck e Vin no boost e no buck-boost. A ondulação da saída é ΔVo = ΔIL/(8fC) no buck e Io·D/(fC) no boost e no buck-boost. A corrente no indutor apenas toca o zero (o limite da CCM) quando a corrente média no indutor é igual a ΔIL/2.

Ciclo de trabalho

D = 1 − 15/20 = 0,25

Corrente na carga

Io = 20/10 = 2 A

Ondulação da saída

ΔVo = 2·0,25/(500·10³·10·10⁻⁶) = 100 mV

Resposta

ΔVo = 100 mV
3.Motores CC

Resposta: Tstall = 137,5 N·m

Motor CC: a armadura é uma resistência Ra em série com a força contraeletromotriz (fcem) E, de modo que V = E + Ia·Ra. A fcem cresce com a velocidade, E = k·ω, e o torque com a corrente, T = k·Ia, com a mesma constante do motor k (V·s/rad = N·m/A) em unidades SI. Converta velocidades com ω = 2π·n/60. A potência desenvolvida é E·Ia = T·ω; a potência de entrada é V·Ia, e a perda no cobre Ia²Ra e a perda rotacional fazem a diferença. A velocidade cai em linha reta com o torque, ω = V/k − Ra·T/k², da velocidade a vazio V/k até zero no torque de travamento k·V/Ra. Com o motor parado E = 0, então a corrente de partida V/Ra é grande, a menos que um resistor a limite.

Corrente de travamento

Ia = V/Ra = 110/1,2 = 91,67 A

Torque de travamento

Tstall = 1,5·91,67 = 137,5 N·m

Resposta

Tstall = 137,5 N·m
4.Motores CC

Resposta: Rs = 9,543 Ω

Motor CC: a armadura é uma resistência Ra em série com a força contraeletromotriz (fcem) E, de modo que V = E + Ia·Ra. A fcem cresce com a velocidade, E = k·ω, e o torque com a corrente, T = k·Ia, com a mesma constante do motor k (V·s/rad = N·m/A) em unidades SI. Converta velocidades com ω = 2π·n/60. A potência desenvolvida é E·Ia = T·ω; a potência de entrada é V·Ia, e a perda no cobre Ia²Ra e a perda rotacional fazem a diferença. A velocidade cai em linha reta com o torque, ω = V/k − Ra·T/k², da velocidade a vazio V/k até zero no torque de travamento k·V/Ra. Com o motor parado E = 0, então a corrente de partida V/Ra é grande, a menos que um resistor a limite.

Corrente e fcem

Ia = 0,16/0,08 = 2 A
E = 0,08·31,42 = 2,513 V

Resistência em série

Ra + Rs = (24 − 2,513)/2 = 10,74 Ω
Rs = 9,543 Ω

Resposta

Rs = 9,543 Ω

O resistor desperdiça 38,17 W; um chopper controla a velocidade com muito menos perdas.

5.Potência CA e fator de potência

Resposta: I = 75 A

Potência CA: a potência aparente S = V·I (VA) se divide em potência ativa P = S·cos φ (W), que realiza trabalho útil, e potência reativa Q = S·sin φ (var), que vai e volta entre fonte e carga. O fator de potência é cos φ. Um capacitor em paralelo fornece potência reativa localmente, então a corrente de linha cai para a mesma potência ativa.

Corrente de linha

Só a parte ativa da potência realiza trabalho, então divida pelo fator de potência.

I = P/(V·cos φ) = 27000/(400·0,9) = 75 A

Resposta

I = 75 A
6.Potência CA e fator de potência

Resposta: QC = 22,8 kvar

Potência CA: a potência aparente S = V·I (VA) se divide em potência ativa P = S·cos φ (W), que realiza trabalho útil, e potência reativa Q = S·sin φ (var), que vai e volta entre fonte e carga. O fator de potência é cos φ. Um capacitor em paralelo fornece potência reativa localmente, então a corrente de linha cai para a mesma potência ativa.

Potência reativa antes e depois

A potência ativa P não muda; só muda a potência reativa tirada da rede.

Q1 = P·tan φ1 = 50·tan(41,41°) = 44,1 kvar
Q2 = P·tan φ2 = 50·tan(23,07°) = 21,3 kvar
QC = Q1 − Q2 = 22,8 kvar

Resposta

QC = 22,8 kvar
7.Potência trifásica

Resposta: IL = 152,9 A

Sistemas trifásicos equilibrados: em uma ligação Y (estrela) a tensão de linha é √3 vezes a tensão de fase, VL = √3·Vph, e a corrente de linha é igual à corrente de fase. Em uma ligação Δ (triângulo) a tensão de linha é igual à tensão de fase e a corrente de linha é √3 vezes a corrente de fase, IL = √3·Iph. A potência total é três vezes a potência de uma fase: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ.

Potência elétrica de entrada

Pin = Pout/η = 90/0,91 = 98,9 kW

Corrente de linha

IL = Pin/(√3·VL·cos φ) = 98901/(√3·415·0,9) = 152,9 A

Resposta

IL = 152,9 A
8.Potência trifásica

Resposta: Cph = 74,6 µF

Sistemas trifásicos equilibrados: em uma ligação Y (estrela) a tensão de linha é √3 vezes a tensão de fase, VL = √3·Vph, e a corrente de linha é igual à corrente de fase. Em uma ligação Δ (triângulo) a tensão de linha é igual à tensão de fase e a corrente de linha é √3 vezes a corrente de fase, IL = √3·Iph. A potência total é três vezes a potência de uma fase: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ. Correção do fator de potência: os capacitores fornecem potência reativa localmente, QC = P·(tan φ1 − tan φ2). Cada um dos três capacitores fornece QC/3 = V²·ω·C, onde V é a tensão sobre aquele capacitor: VL em um banco em Δ, VL/√3 em um banco em Y.

Potência reativa antes e depois

A potência ativa não muda, então cada fator de potência fixa a potência reativa: Q = P·tan φ.

Q1 = 60·tan(acos 0,8) = 60·0,75 = 45 kvar
Q2 = 60·tan(acos 0,92) = 60·0,426 = 25,56 kvar

Potência reativa dos capacitores

QC = Q1 − Q2 = 19,44 kvar

Capacitância por fase

Em um banco em Δ cada capacitor está ligado entre duas linhas.

V = 480 V, ω = 2π·60 = 377 rad/s
Cph = (QC/3)/(ω·V²) = 6480/(377·480²) = 74,6 µF

Resposta

Cph = 74,6 µF

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