Identifique o conversor (buck, boost ou buck-boost) e a razão cíclica D a partir da relação de tensões.
Use o equilíbrio volt-segundo no indutor: a tensão média no indutor ao longo de um período é zero.
Encontre a tensão no indutor enquanto a chave conduz e depois ΔIL = VL·D/(L·f).
Para a ondulação da saída, encontre a carga que entra e sai do capacitor; para o limite da CCM, iguale a corrente média no indutor a ΔIL/2.
Motores CC
Circuito de armadura
V = E + IaRa
fcem e torque
E = k·ω, T = k·Ia
Velocidade
ω = 2π·n/60, ω = (V − IaRa)/k
Velocidade a vazio e torque de travamento
ω0 = V/k, Tstall = k·V/Ra
Potências
Pin = V·Ia, Pdev = E·Ia = T·ω, Pout = Pdev − Prot
Partida
Istart = V/(Ra + Rst)
Regulação de velocidade
SR = (n0 − nFL)/nFL
Potência desenvolvida máxima
Pmax = V²/(4Ra)
Acionamento com chopper
Va = D·Vdc
Método
Desenhe o circuito da armadura: alimentação V, resistência Ra e fcem E em série.
Use V = E + Ia·Ra para relacionar tensão, corrente e fcem.
Use E = k·ω para a velocidade e T = k·Ia para o torque, com ω = 2π·n/60.
Para potência e rendimento, parta de V·Ia, subtraia a perda no cobre Ia²·Ra e depois as perdas rotacionais.
Potência CA e fator de potência
Potência ativa
P = V·I·cos φ
Potência reativa
Q = V·I·sin φ
Potência aparente
S = V·I = √(P² + Q²)
Fator de potência
pf = cos φ = P/S
Capacitor de correção
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(ωV²)
Potência trifásica
Ligação em Y
VL = √3·Vph, IL = Iph
Ligação em Δ
VL = Vph, IL = √3·Iph
Potência ativa total
P = √3·VL·IL·cos φ = 3·Iph²·R
Potência aparente e reativa
S = √3·VL·IL, Q = P·tan φ
Capacitores de correção
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(3ωV²)
Tensão sobre cada capacitor
Δ: VL Y: VL/√3
Potência de entrada do motor
Pin = Pout/η
2Exercícios
1.Conversores CC-CCMédia
Um conversor boost ideal converte 9 V em 22,5 V a 25 kHz com L = 100 µH. Encontre a ondulação pico a pico da corrente no indutor ΔIL.
Vin = 9 VVo = 22,5 Vf = 25 kHzL = 100 µH
ΔIL = A
2.Conversores CC-CCDifícil
Um conversor buck converte 15 V em 10,5 V a 50 kHz com L = 220 µH. Encontre a menor corrente de carga Io,min para a qual ele permanece em condução contínua.
Vin = 15 VVo = 10,5 Vf = 50 kHzL = 220 µH
Io,min = A
3.Motores CCMédia
Um motor CC consome 4 A de uma alimentação de 120 V. Sua resistência de armadura é 2 Ω e suas perdas rotacionais (atrito, ventilação e ferro) são 27 W. Encontre seu rendimento η.
V = 120 VIa = 4 ARa = 2 ΩProt = 27 W
η = %
4.Motores CCDifícil
Um motor CC (k = 0,75 V·s/rad, Ra = 0,25 Ω) em uma alimentação fixa de 48 V aciona uma carga de 11,25 N·m. Encontre a resistência em série Rs que o reduz a 500 rpm.
Um motor monofásico consome 4 kW com fator de potência 0,75 indutivo de uma fonte de 230 V. Encontre a potência reativa Q que ele consome.
P = 4 kWpf = 0,75V = 230 V
Q = kvar
6.Potência CA e fator de potênciaDifícil
Uma carga monofásica consome 45 kW com fator de potência 0,7 indutivo de uma fonte de 240 V, 60 Hz. Um capacitor ligado em paralelo eleva o fator de potência para 0,95. Encontre a nova corrente de linha Inew.
P = 45 kWpf1 = 0,7pf2 = 0,95V = 240 Vf = 60 Hz
Inew = A
7.Potência trifásicaMédia
Um motor de indução trifásico fornece 110 kW de potência mecânica de saída a plena carga. Nessa carga seu rendimento é 88% e seu fator de potência é 0,86 indutivo. A alimentação tem tensão de linha de 480 V. Encontre a corrente de linha IL.
Pout = 110 kWη = 88%cos φ = 0,86VL = 480 V
IL = A
8.Potência trifásicaDifícil
Uma carga trifásica equilibrada consome 100 kW com fator de potência 0,72 indutivo de uma alimentação de 415 V (tensão de linha), 60 Hz. Um banco de capacitores trifásico em paralelo com a carga deve elevar o fator de potência total para 0,95 indutivo. A potência ativa permanece a mesma. Encontre a potência reativa total QC que o banco de capacitores deve fornecer, em kvar.
P = 100 kWpf1 = 0,72pf2 = 0,95VL = 415 Vf = 60 Hz
QC = kvar
3Soluções
1.Conversores CC-CC
Resposta: ΔIL = 2,16 A
Conversores CC-CC: uma chave S conduz durante a fração D de cada período T = 1/f. Em regime permanente a tensão média no indutor é zero (equilíbrio volt-segundo), o que dá as relações de conversão ideais em condução contínua: buck Vo = D·Vin, boost Vo = Vin/(1 − D), buck-boost inversor |Vo| = Vin·D/(1 − D). Um conversor ideal conserva a potência: Vin·Iin = Vo·Io. Enquanto S conduz, a corrente no indutor sobe ΔIL = VL·D·T/L, com VL = Vin − Vo no buck e Vin no boost e no buck-boost. A ondulação da saída é ΔVo = ΔIL/(8fC) no buck e Io·D/(fC) no boost e no buck-boost. A corrente no indutor apenas toca o zero (o limite da CCM) quando a corrente média no indutor é igual a ΔIL/2.
Ciclo de trabalho
D = 1 − 9/22,5 = 0,6
Tensão no indutor durante o tempo de condução
Enquanto S conduz, o indutor fica diretamente sobre Vin.
VL = 9 V
Ondulação de corrente
ΔIL = VL·D/(L·f) = 9·0,6/(100·10⁻⁶·25·10³) = 2,16 A
Resposta
ΔIL = 2,16 A
2.Conversores CC-CC
Resposta: Io,min = 0,1432 A
Conversores CC-CC: uma chave S conduz durante a fração D de cada período T = 1/f. Em regime permanente a tensão média no indutor é zero (equilíbrio volt-segundo), o que dá as relações de conversão ideais em condução contínua: buck Vo = D·Vin, boost Vo = Vin/(1 − D), buck-boost inversor |Vo| = Vin·D/(1 − D). Um conversor ideal conserva a potência: Vin·Iin = Vo·Io. Enquanto S conduz, a corrente no indutor sobe ΔIL = VL·D·T/L, com VL = Vin − Vo no buck e Vin no boost e no buck-boost. A ondulação da saída é ΔVo = ΔIL/(8fC) no buck e Io·D/(fC) no boost e no buck-boost. A corrente no indutor apenas toca o zero (o limite da CCM) quando a corrente média no indutor é igual a ΔIL/2.
Ciclo de trabalho
D = 10,5/15 = 0,7
Ondulação de corrente
ΔIL = 10,5·0,3/(220·10⁻⁶·50·10³) = 0,2864 A
Corrente de carga no limite
Io,min = ΔIL/2 = 0,1432 A
Resposta
Io,min = 0,1432 A
Abaixo dessa corrente o conversor entra em condução descontínua e Vo sobe acima de D·Vin.
3.Motores CC
Resposta: η = 87,71 %
Motor CC: a armadura é uma resistência Ra em série com a força contraeletromotriz (fcem) E, de modo que V = E + Ia·Ra. A fcem cresce com a velocidade, E = k·ω, e o torque com a corrente, T = k·Ia, com a mesma constante do motor k (V·s/rad = N·m/A) em unidades SI. Converta velocidades com ω = 2π·n/60. A potência desenvolvida é E·Ia = T·ω; a potência de entrada é V·Ia, e a perda no cobre Ia²Ra e a perda rotacional fazem a diferença. A velocidade cai em linha reta com o torque, ω = V/k − Ra·T/k², da velocidade a vazio V/k até zero no torque de travamento k·V/Ra. Com o motor parado E = 0, então a corrente de partida V/Ra é grande, a menos que um resistor a limite.
Potências
Pin = 120·4 = 480 W
Pdev = 112·4 = 448 W
Pout = 448 − 27 = 421 W
Rendimento
η = 421/480·100 = 87,71 %
Resposta
η = 87,71 %
4.Motores CC
Resposta: Rs = 0,332 Ω
Motor CC: a armadura é uma resistência Ra em série com a força contraeletromotriz (fcem) E, de modo que V = E + Ia·Ra. A fcem cresce com a velocidade, E = k·ω, e o torque com a corrente, T = k·Ia, com a mesma constante do motor k (V·s/rad = N·m/A) em unidades SI. Converta velocidades com ω = 2π·n/60. A potência desenvolvida é E·Ia = T·ω; a potência de entrada é V·Ia, e a perda no cobre Ia²Ra e a perda rotacional fazem a diferença. A velocidade cai em linha reta com o torque, ω = V/k − Ra·T/k², da velocidade a vazio V/k até zero no torque de travamento k·V/Ra. Com o motor parado E = 0, então a corrente de partida V/Ra é grande, a menos que um resistor a limite.
Corrente e fcem
Ia = 11,25/0,75 = 15 A
E = 0,75·52,36 = 39,27 V
Resistência em série
Ra + Rs = (48 − 39,27)/15 = 0,582 Ω
Rs = 0,332 Ω
Resposta
Rs = 0,332 Ω
O resistor desperdiça 74,7 W; um chopper controla a velocidade com muito menos perdas.
5.Potência CA e fator de potência
Resposta: Q = 3,528 kvar
Potência CA: a potência aparente S = V·I (VA) se divide em potência ativa P = S·cos φ (W), que realiza trabalho útil, e potência reativa Q = S·sin φ (var), que vai e volta entre fonte e carga. O fator de potência é cos φ. Um capacitor em paralelo fornece potência reativa localmente, então a corrente de linha cai para a mesma potência ativa.
Ângulo
φ = arccos(0,75) = 41,41°, tan φ = 0,8819
Potência reativa
Q = P·tan φ = 4·0,8819 = 3,528 kvar
Resposta
Q = 3,528 kvar
6.Potência CA e fator de potência
Resposta: Inew = 197,4 A
Potência CA: a potência aparente S = V·I (VA) se divide em potência ativa P = S·cos φ (W), que realiza trabalho útil, e potência reativa Q = S·sin φ (var), que vai e volta entre fonte e carga. O fator de potência é cos φ. Um capacitor em paralelo fornece potência reativa localmente, então a corrente de linha cai para a mesma potência ativa.
Potência reativa antes e depois
A potência ativa P não muda; só muda a potência reativa tirada da rede.
Q1 = P·tan φ1 = 45·tan(45,57°) = 45,91 kvar
Q2 = P·tan φ2 = 45·tan(18,19°) = 14,79 kvar
QC = Q1 − Q2 = 31,12 kvar
Nova corrente de linha
Inew = P/(V·cos φ2) = 45000/(240·0,95) = 197,4 A
Resposta
Inew = 197,4 A
7.Potência trifásica
Resposta: IL = 174,8 A
Sistemas trifásicos equilibrados: em uma ligação Y (estrela) a tensão de linha é √3 vezes a tensão de fase, VL = √3·Vph, e a corrente de linha é igual à corrente de fase. Em uma ligação Δ (triângulo) a tensão de linha é igual à tensão de fase e a corrente de linha é √3 vezes a corrente de fase, IL = √3·Iph. A potência total é três vezes a potência de uma fase: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ.
Potência elétrica de entrada
Pin = Pout/η = 110/0,88 = 125 kW
Corrente de linha
IL = Pin/(√3·VL·cos φ) = 125000/(√3·480·0,86) = 174,8 A
Resposta
IL = 174,8 A
8.Potência trifásica
Resposta: QC = 63,52 kvar
Sistemas trifásicos equilibrados: em uma ligação Y (estrela) a tensão de linha é √3 vezes a tensão de fase, VL = √3·Vph, e a corrente de linha é igual à corrente de fase. Em uma ligação Δ (triângulo) a tensão de linha é igual à tensão de fase e a corrente de linha é √3 vezes a corrente de fase, IL = √3·Iph. A potência total é três vezes a potência de uma fase: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ. Correção do fator de potência: os capacitores fornecem potência reativa localmente, QC = P·(tan φ1 − tan φ2). Cada um dos três capacitores fornece QC/3 = V²·ω·C, onde V é a tensão sobre aquele capacitor: VL em um banco em Δ, VL/√3 em um banco em Y.
Potência reativa antes e depois
A potência ativa não muda, então cada fator de potência fixa a potência reativa: Q = P·tan φ.