Identifique o conversor (buck, boost ou buck-boost) e a razão cíclica D a partir da relação de tensões.
Use o equilíbrio volt-segundo no indutor: a tensão média no indutor ao longo de um período é zero.
Encontre a tensão no indutor enquanto a chave conduz e depois ΔIL = VL·D/(L·f).
Para a ondulação da saída, encontre a carga que entra e sai do capacitor; para o limite da CCM, iguale a corrente média no indutor a ΔIL/2.
Motores CC
Circuito de armadura
V = E + IaRa
fcem e torque
E = k·ω, T = k·Ia
Velocidade
ω = 2π·n/60, ω = (V − IaRa)/k
Velocidade a vazio e torque de travamento
ω0 = V/k, Tstall = k·V/Ra
Potências
Pin = V·Ia, Pdev = E·Ia = T·ω, Pout = Pdev − Prot
Partida
Istart = V/(Ra + Rst)
Regulação de velocidade
SR = (n0 − nFL)/nFL
Potência desenvolvida máxima
Pmax = V²/(4Ra)
Acionamento com chopper
Va = D·Vdc
Método
Desenhe o circuito da armadura: alimentação V, resistência Ra e fcem E em série.
Use V = E + Ia·Ra para relacionar tensão, corrente e fcem.
Use E = k·ω para a velocidade e T = k·Ia para o torque, com ω = 2π·n/60.
Para potência e rendimento, parta de V·Ia, subtraia a perda no cobre Ia²·Ra e depois as perdas rotacionais.
Potência CA e fator de potência
Potência ativa
P = V·I·cos φ
Potência reativa
Q = V·I·sin φ
Potência aparente
S = V·I = √(P² + Q²)
Fator de potência
pf = cos φ = P/S
Capacitor de correção
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(ωV²)
Potência trifásica
Ligação em Y
VL = √3·Vph, IL = Iph
Ligação em Δ
VL = Vph, IL = √3·Iph
Potência ativa total
P = √3·VL·IL·cos φ = 3·Iph²·R
Potência aparente e reativa
S = √3·VL·IL, Q = P·tan φ
Capacitores de correção
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(3ωV²)
Tensão sobre cada capacitor
Δ: VL Y: VL/√3
Potência de entrada do motor
Pin = Pout/η
2Exercícios
1.Conversores CC-CCMédia
Um conversor buck ideal converte 24 V em 6 V a 200 kHz com L = 330 µH. Encontre a ondulação pico a pico da corrente no indutor ΔIL.
Vin = 24 VVo = 6 Vf = 200 kHzL = 330 µH
ΔIL = A
2.Conversores CC-CCDifícil
Um conversor boost ideal converte 48 V em 80 V para uma carga de 10 Ω a 100 kHz. O capacitor de saída é de 100 µF. Encontre a ondulação pico a pico da tensão de saída ΔVo em mV.
Um motor CC (k = 0,8 V·s/rad, Ra = 0,8 Ω) funciona com 120 V. A plena carga ele consome 6 A. Desprezando a corrente a vazio, encontre sua regulação de velocidade SR = (n₀ − nFL)/nFL em porcentagem.
V = 120 Vk = 0,8 V·s/radRa = 0,8 ΩIFL = 6 A
SR = %
4.Motores CCDifícil
Um pequeno motor CC tem resistência de armadura de 1,5 Ω e funciona com 24 V. Desprezando as perdas rotacionais, encontre a maior potência mecânica Pmax que ele pode desenvolver em qualquer velocidade.
V = 24 VRa = 1,5 Ω
Pmax = W
5.Potência CA e fator de potênciaMédia
Duas cargas estão ligadas em paralelo a uma fonte monofásica de 230 V: uma carga de 10 kW com fator de potência 0,7 indutivo e uma carga de 13 kW com fator de potência 0,95 capacitivo. Encontre a corrente total I absorvida da fonte.
Uma carga monofásica consome 16 kW com fator de potência 0,7 indutivo de uma fonte de 240 V, 50 Hz. Um capacitor de 220 µF é ligado em paralelo com a carga. Encontre a nova corrente de linha I.
P = 16 kWpf1 = 0,7V = 240 Vf = 50 HzC = 220 µF
I = A
7.Potência trifásicaMédia
Uma carga trifásica equilibrada consome uma corrente de linha de 40 A de uma alimentação com tensão de linha de 400 V. O fator de potência é 0,82 indutivo. Encontre a potência ativa total P consumida pela carga em kW.
VL = 400 VIL = 40 Acos φ = 0,82
P = kW
8.Potência trifásicaDifícil
Uma carga trifásica equilibrada consome 80 kW com fator de potência 0,8 indutivo de uma alimentação de 480 V (tensão de linha), 60 Hz. Um banco de capacitores trifásico em paralelo com a carga deve elevar o fator de potência total para 0,92 indutivo. A potência ativa permanece a mesma. Os capacitores estão ligados em Δ. Encontre a capacitância Cph de cada capacitor em µF.
P = 80 kWpf1 = 0,8pf2 = 0,92VL = 480 Vf = 60 Hz
Cph = µF
3Soluções
1.Conversores CC-CC
Resposta: ΔIL = 0,06818 A
Conversores CC-CC: uma chave S conduz durante a fração D de cada período T = 1/f. Em regime permanente a tensão média no indutor é zero (equilíbrio volt-segundo), o que dá as relações de conversão ideais em condução contínua: buck Vo = D·Vin, boost Vo = Vin/(1 − D), buck-boost inversor |Vo| = Vin·D/(1 − D). Um conversor ideal conserva a potência: Vin·Iin = Vo·Io. Enquanto S conduz, a corrente no indutor sobe ΔIL = VL·D·T/L, com VL = Vin − Vo no buck e Vin no boost e no buck-boost. A ondulação da saída é ΔVo = ΔIL/(8fC) no buck e Io·D/(fC) no boost e no buck-boost. A corrente no indutor apenas toca o zero (o limite da CCM) quando a corrente média no indutor é igual a ΔIL/2.
Ciclo de trabalho
D = 6/24 = 0,25
Tensão no indutor durante o tempo de condução
Enquanto S conduz, o indutor fica entre Vin e Vo.
VL = 24 − 6 = 18 V
Ondulação de corrente
ΔIL = VL·D/(L·f) = 18·0,25/(330·10⁻⁶·200·10³) = 0,06818 A
Resposta
ΔIL = 0,06818 A
2.Conversores CC-CC
Resposta: ΔVo = 320 mV
Conversores CC-CC: uma chave S conduz durante a fração D de cada período T = 1/f. Em regime permanente a tensão média no indutor é zero (equilíbrio volt-segundo), o que dá as relações de conversão ideais em condução contínua: buck Vo = D·Vin, boost Vo = Vin/(1 − D), buck-boost inversor |Vo| = Vin·D/(1 − D). Um conversor ideal conserva a potência: Vin·Iin = Vo·Io. Enquanto S conduz, a corrente no indutor sobe ΔIL = VL·D·T/L, com VL = Vin − Vo no buck e Vin no boost e no buck-boost. A ondulação da saída é ΔVo = ΔIL/(8fC) no buck e Io·D/(fC) no boost e no buck-boost. A corrente no indutor apenas toca o zero (o limite da CCM) quando a corrente média no indutor é igual a ΔIL/2.
Ciclo de trabalho
D = 1 − 48/80 = 0,4
Corrente na carga
Io = 80/10 = 8 A
Ondulação da saída
ΔVo = 8·0,4/(100·10³·100·10⁻⁶) = 320 mV
Resposta
ΔVo = 320 mV
3.Motores CC
Resposta: SR = 4,167 %
Motor CC: a armadura é uma resistência Ra em série com a força contraeletromotriz (fcem) E, de modo que V = E + Ia·Ra. A fcem cresce com a velocidade, E = k·ω, e o torque com a corrente, T = k·Ia, com a mesma constante do motor k (V·s/rad = N·m/A) em unidades SI. Converta velocidades com ω = 2π·n/60. A potência desenvolvida é E·Ia = T·ω; a potência de entrada é V·Ia, e a perda no cobre Ia²Ra e a perda rotacional fazem a diferença. A velocidade cai em linha reta com o torque, ω = V/k − Ra·T/k², da velocidade a vazio V/k até zero no torque de travamento k·V/Ra. Com o motor parado E = 0, então a corrente de partida V/Ra é grande, a menos que um resistor a limite.
Velocidade a vazio e a plena carga
n₀ = 60·120/(2π·0,8) = 1432 rpm
nFL = 60·(120 − 6·0,8)/(2π·0,8) = 1375 rpm
Regulação de velocidade
SR = (1432 − 1375)/1375·100 = 4,167 %
Resposta
SR = 4,167 %
4.Motores CC
Resposta: Pmax = 96 W
Motor CC: a armadura é uma resistência Ra em série com a força contraeletromotriz (fcem) E, de modo que V = E + Ia·Ra. A fcem cresce com a velocidade, E = k·ω, e o torque com a corrente, T = k·Ia, com a mesma constante do motor k (V·s/rad = N·m/A) em unidades SI. Converta velocidades com ω = 2π·n/60. A potência desenvolvida é E·Ia = T·ω; a potência de entrada é V·Ia, e a perda no cobre Ia²Ra e a perda rotacional fazem a diferença. A velocidade cai em linha reta com o torque, ω = V/k − Ra·T/k², da velocidade a vazio V/k até zero no torque de travamento k·V/Ra. Com o motor parado E = 0, então a corrente de partida V/Ra é grande, a menos que um resistor a limite.
Potência em função da fcem
P(E) = E·(V − E)/Ra
dP/dE = 0 → E = V/2 = 12 V
Potência máxima
Pmax = (V/2)²/Ra = V²/(4Ra) = 24²/(4·1,5) = 96 W
Resposta
Pmax = 96 W
Nesse ponto o rendimento é de apenas 50 %, por isso os motores reais funcionam bem acima da metade da velocidade.
5.Potência CA e fator de potência
Resposta: I = 103,3 A
Potência CA: a potência aparente S = V·I (VA) se divide em potência ativa P = S·cos φ (W), que realiza trabalho útil, e potência reativa Q = S·sin φ (var), que vai e volta entre fonte e carga. O fator de potência é cos φ. Um capacitor em paralelo fornece potência reativa localmente, então a corrente de linha cai para a mesma potência ativa.
Potência reativa de cada carga
Uma carga indutiva consome potência reativa (Q > 0); uma carga capacitiva a fornece (Q < 0).
Q1 = 10·tan(arccos 0,7) = 10,2 kvar
Q2 = −13·tan(arccos 0,95) = −4,273 kvar
Totais
P = 10 + 13 = 23 kW
Q = 10,2 + (−4,273) = 5,929 kvar
S = √(23² + 5,929²) = 23,75 kVA
Corrente total
I = S/V = 23752/230 = 103,3 A
Resposta
I = 103,3 A
6.Potência CA e fator de potência
Resposta: I = 84,2 A
Potência CA: a potência aparente S = V·I (VA) se divide em potência ativa P = S·cos φ (W), que realiza trabalho útil, e potência reativa Q = S·sin φ (var), que vai e volta entre fonte e carga. O fator de potência é cos φ. Um capacitor em paralelo fornece potência reativa localmente, então a corrente de linha cai para a mesma potência ativa.
Potência reativa antes e depois
A potência ativa P não muda; só muda a potência reativa tirada da rede.
Q1 = 16·tan(arccos 0,7) = 16,32 kvar
QC = V²·2πf·C = 240²·2π·50·220·10⁻⁶ = 3981 var = 3,981 kvar
Q2 = 16,32 − 3,981 = 12,34 kvar
Nova potência aparente
S2 = √(16² + 12,34²) = 20,21 kVA
Nova corrente de linha
I = S2/V = 20207/240 = 84,2 A
Resposta
I = 84,2 A
7.Potência trifásica
Resposta: P = 22,72 kW
Sistemas trifásicos equilibrados: em uma ligação Y (estrela) a tensão de linha é √3 vezes a tensão de fase, VL = √3·Vph, e a corrente de linha é igual à corrente de fase. Em uma ligação Δ (triângulo) a tensão de linha é igual à tensão de fase e a corrente de linha é √3 vezes a corrente de fase, IL = √3·Iph. A potência total é três vezes a potência de uma fase: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ.
Potência aparente
S = √3·VL·IL = √3·400·40 = 27,71 kVA
Potência ativa
P = S·cos φ = 27,71·0,82 = 22,72 kW
Resposta
P = 22,72 kW
8.Potência trifásica
Resposta: Cph = 99,47 µF
Sistemas trifásicos equilibrados: em uma ligação Y (estrela) a tensão de linha é √3 vezes a tensão de fase, VL = √3·Vph, e a corrente de linha é igual à corrente de fase. Em uma ligação Δ (triângulo) a tensão de linha é igual à tensão de fase e a corrente de linha é √3 vezes a corrente de fase, IL = √3·Iph. A potência total é três vezes a potência de uma fase: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ. Correção do fator de potência: os capacitores fornecem potência reativa localmente, QC = P·(tan φ1 − tan φ2). Cada um dos três capacitores fornece QC/3 = V²·ω·C, onde V é a tensão sobre aquele capacitor: VL em um banco em Δ, VL/√3 em um banco em Y.
Potência reativa antes e depois
A potência ativa não muda, então cada fator de potência fixa a potência reativa: Q = P·tan φ.
Q1 = 80·tan(acos 0,8) = 80·0,75 = 60 kvar
Q2 = 80·tan(acos 0,92) = 80·0,426 = 34,08 kvar
Potência reativa dos capacitores
QC = Q1 − Q2 = 25,92 kvar
Capacitância por fase
Em um banco em Δ cada capacitor está ligado entre duas linhas.