Eletrônica de Potência e Acionamentos: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 8 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Conversores CC-CC

Buck
Vo = D·Vin
Boost
Vo = Vin/(1 − D)
Buck-boost inversor
|Vo| = Vin·D/(1 − D)
Balanço de potência ideal
VinIin = VoIo
Ondulação do indutor
ΔIL = VL,on·D/(L·f); buck Vin − Vo, boost and buck-boost Vin
Corrente média no indutor
buck Io; boost e buck-boost Io/(1 − D)
Ondulação da saída
buck ΔIL/(8fC); boost e buck-boost Io·D/(fC)
Limite da CCM
buck (1 − D)R/(2f); boost D(1 − D)²R/(2f); buck-boost (1 − D)²R/(2f)

Método

  1. Identifique o conversor (buck, boost ou buck-boost) e a razão cíclica D a partir da relação de tensões.
  2. Use o equilíbrio volt-segundo no indutor: a tensão média no indutor ao longo de um período é zero.
  3. Encontre a tensão no indutor enquanto a chave conduz e depois ΔIL = VL·D/(L·f).
  4. Para a ondulação da saída, encontre a carga que entra e sai do capacitor; para o limite da CCM, iguale a corrente média no indutor a ΔIL/2.

Motores CC

Circuito de armadura
V = E + IaRa
fcem e torque
E = k·ω, T = k·Ia
Velocidade
ω = 2π·n/60, ω = (V − IaRa)/k
Velocidade a vazio e torque de travamento
ω0 = V/k, Tstall = k·V/Ra
Potências
Pin = V·Ia, Pdev = E·Ia = T·ω, Pout = Pdev − Prot
Partida
Istart = V/(Ra + Rst)
Regulação de velocidade
SR = (n0 − nFL)/nFL
Potência desenvolvida máxima
Pmax = V²/(4Ra)
Acionamento com chopper
Va = D·Vdc

Método

  1. Desenhe o circuito da armadura: alimentação V, resistência Ra e fcem E em série.
  2. Use V = E + Ia·Ra para relacionar tensão, corrente e fcem.
  3. Use E = k·ω para a velocidade e T = k·Ia para o torque, com ω = 2π·n/60.
  4. Para potência e rendimento, parta de V·Ia, subtraia a perda no cobre Ia²·Ra e depois as perdas rotacionais.

Potência CA e fator de potência

Potência ativa
P = V·I·cos φ
Potência reativa
Q = V·I·sin φ
Potência aparente
S = V·I = √(P² + Q²)
Fator de potência
pf = cos φ = P/S
Capacitor de correção
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(ωV²)

Potência trifásica

Ligação em Y
VL = √3·Vph, IL = Iph
Ligação em Δ
VL = Vph, IL = √3·Iph
Potência ativa total
P = √3·VL·IL·cos φ = 3·Iph²·R
Potência aparente e reativa
S = √3·VL·IL, Q = P·tan φ
Capacitores de correção
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(3ωV²)
Tensão sobre cada capacitor
Δ: VL Y: VL/√3
Potência de entrada do motor
Pin = Pout/η

2Exercícios

1.Conversores CC-CCMédia
tiL​Imax​Imin​ΔI = ?DTT2T

Um conversor buck ideal converte 9 V em 4,5 V a 250 kHz com L = 100 µH. Encontre a ondulação pico a pico da corrente no indutor ΔIL.

Vin​ = 9 VVo​ = 4,5 Vf = 250 kHzL = 100 µH
ΔIL = A
2.Conversores CC-CCDifícil
tiL​Imax​Io​DTT2T

Um conversor buck converte 36 V em 10,8 V a 200 kHz com L = 47 µH. Encontre a menor corrente de carga Io,min para a qual ele permanece em condução contínua.

Vin​ = 36 VVo​ = 10,8 Vf = 200 kHzL = 47 µH
Io,min = A
3.Motores CCMédia
T (N·m)n (rpm)n0​ = ?

Um motor CC com k = 0,6 V·s/rad funciona com 120 V. Desprezando todas as perdas a vazio, encontre sua velocidade a vazio n0 em rpm.

V = 120 Vk = 0,6 V·s/rad
n0 = rpm
4.Motores CCDifícil
+−110 VRst​ = ?Ra​ = 0,4 Ω50 AM+−E = 0n = 0T

Um motor CC de 110 V tem resistência de armadura de 0,4 Ω. Encontre a resistência de partida em série Rst que limita a corrente de partida a 50 A.

V = 110 VRa = 0,4 ΩImax = 50 A
Rst = Ω
5.Potência CA e fator de potênciaMédia
230 VZ16 + j12 ΩI

Uma carga com impedância Z = 16 + j12 Ω está ligada a uma fonte monofásica de 230 V (eficaz). Encontre a potência aparente S.

V = 230 VZ = 16 + j12 Ω
S = VA
6.Potência CA e fator de potênciaDifícil
P1​ = 32 kWQ1​S1​φ

Um transformador monofásico de 75 kVA alimenta uma carga de 32 kW com fator de potência 0,6 indutivo. Quanta potência ativa adicional ΔP pode ser acrescentada como carga resistiva (fator de potência unitário) antes que o transformador atinja sua potência nominal em kVA?

Smax = 75 kVAP1 = 32 kWpf1 = 0,6
ΔP = kW
7.Potência trifásicaMédia
ABCVL​ = 400 VIL​ = ?M7,5 kW, η = 94%cos φ = 0,85

Um motor de indução trifásico fornece 7,5 kW de potência mecânica de saída a plena carga. Nessa carga seu rendimento é 94% e seu fator de potência é 0,85 indutivo. A alimentação tem tensão de linha de 400 V. Encontre a corrente de linha IL.

Pout = 7,5 kWη = 94%cos φ = 0,85VL = 400 V
IL = A
8.Potência trifásicaDifícil
P = 75 kWφ1​S1​Q2​QC​

Uma carga trifásica equilibrada consome 75 kW com fator de potência 0,8 indutivo de uma alimentação de 480 V (tensão de linha), 50 Hz. Um banco de capacitores trifásico em paralelo com a carga deve elevar o fator de potência total para 0,95 indutivo. A potência ativa permanece a mesma. Os capacitores estão ligados em Δ. Encontre a capacitância Cph de cada capacitor em µF.

P = 75 kWpf1 = 0,8pf2 = 0,95VL = 480 Vf = 50 Hz
Cph = µF

3Soluções

1.Conversores CC-CC

Resposta: ΔIL = 0,09 A

Conversores CC-CC: uma chave S conduz durante a fração D de cada período T = 1/f. Em regime permanente a tensão média no indutor é zero (equilíbrio volt-segundo), o que dá as relações de conversão ideais em condução contínua: buck Vo = D·Vin, boost Vo = Vin/(1 − D), buck-boost inversor |Vo| = Vin·D/(1 − D). Um conversor ideal conserva a potência: Vin·Iin = Vo·Io. Enquanto S conduz, a corrente no indutor sobe ΔIL = VL·D·T/L, com VL = Vin − Vo no buck e Vin no boost e no buck-boost. A ondulação da saída é ΔVo = ΔIL/(8fC) no buck e Io·D/(fC) no boost e no buck-boost. A corrente no indutor apenas toca o zero (o limite da CCM) quando a corrente média no indutor é igual a ΔIL/2.

Ciclo de trabalho

D = 4,5/9 = 0,5

Tensão no indutor durante o tempo de condução

Enquanto S conduz, o indutor fica entre Vin e Vo.

VL = 9 − 4,5 = 4,5 V

Ondulação de corrente

ΔIL = VL·D/(L·f) = 4,5·0,5/(100·10⁻⁶·250·10³) = 0,09 A

Resposta

ΔIL = 0,09 A
2.Conversores CC-CC

Resposta: Io,min = 0,4021 A

Conversores CC-CC: uma chave S conduz durante a fração D de cada período T = 1/f. Em regime permanente a tensão média no indutor é zero (equilíbrio volt-segundo), o que dá as relações de conversão ideais em condução contínua: buck Vo = D·Vin, boost Vo = Vin/(1 − D), buck-boost inversor |Vo| = Vin·D/(1 − D). Um conversor ideal conserva a potência: Vin·Iin = Vo·Io. Enquanto S conduz, a corrente no indutor sobe ΔIL = VL·D·T/L, com VL = Vin − Vo no buck e Vin no boost e no buck-boost. A ondulação da saída é ΔVo = ΔIL/(8fC) no buck e Io·D/(fC) no boost e no buck-boost. A corrente no indutor apenas toca o zero (o limite da CCM) quando a corrente média no indutor é igual a ΔIL/2.

Ciclo de trabalho

D = 10,8/36 = 0,3

Ondulação de corrente

ΔIL = 10,8·0,7/(47·10⁻⁶·200·10³) = 0,8043 A

Corrente de carga no limite

Io,min = ΔIL/2 = 0,4021 A

Resposta

Io,min = 0,4021 A

Abaixo dessa corrente o conversor entra em condução descontínua e Vo sobe acima de D·Vin.

3.Motores CC

Resposta: n0 = 1910 rpm

Motor CC: a armadura é uma resistência Ra em série com a força contraeletromotriz (fcem) E, de modo que V = E + Ia·Ra. A fcem cresce com a velocidade, E = k·ω, e o torque com a corrente, T = k·Ia, com a mesma constante do motor k (V·s/rad = N·m/A) em unidades SI. Converta velocidades com ω = 2π·n/60. A potência desenvolvida é E·Ia = T·ω; a potência de entrada é V·Ia, e a perda no cobre Ia²Ra e a perda rotacional fazem a diferença. A velocidade cai em linha reta com o torque, ω = V/k − Ra·T/k², da velocidade a vazio V/k até zero no torque de travamento k·V/Ra. Com o motor parado E = 0, então a corrente de partida V/Ra é grande, a menos que um resistor a limite.

Velocidade a vazio

ω₀ = V/k = 120/0,6 = 200 rad/s
n0 = 60·200/(2π) = 1910 rpm

Resposta

n0 = 1910 rpm
4.Motores CC

Resposta: Rst = 1,8 Ω

Motor CC: a armadura é uma resistência Ra em série com a força contraeletromotriz (fcem) E, de modo que V = E + Ia·Ra. A fcem cresce com a velocidade, E = k·ω, e o torque com a corrente, T = k·Ia, com a mesma constante do motor k (V·s/rad = N·m/A) em unidades SI. Converta velocidades com ω = 2π·n/60. A potência desenvolvida é E·Ia = T·ω; a potência de entrada é V·Ia, e a perda no cobre Ia²Ra e a perda rotacional fazem a diferença. A velocidade cai em linha reta com o torque, ω = V/k − Ra·T/k², da velocidade a vazio V/k até zero no torque de travamento k·V/Ra. Com o motor parado E = 0, então a corrente de partida V/Ra é grande, a menos que um resistor a limite.

Resistência total

Ra + Rst = 110/50 = 2,2 Ω

Resistor de partida

Rst = 2,2 − 0,4 = 1,8 Ω

Resposta

Rst = 1,8 Ω

O resistor é retirado por etapas à medida que o motor acelera e a fcem cresce.

5.Potência CA e fator de potência

Resposta: S = 2645 VA

Potência CA: a potência aparente S = V·I (VA) se divide em potência ativa P = S·cos φ (W), que realiza trabalho útil, e potência reativa Q = S·sin φ (var), que vai e volta entre fonte e carga. O fator de potência é cos φ. Um capacitor em paralelo fornece potência reativa localmente, então a corrente de linha cai para a mesma potência ativa.

Corrente

|Z| = √(16² + 12²) = 20 Ω
I = V/|Z| = 230/20 = 11,5 A

Potência aparente

S = V·I = 230·11,5 = 2645 VA

Resposta

S = 2645 VA
6.Potência CA e fator de potência

Resposta: ΔP = 29,68 kW

Potência CA: a potência aparente S = V·I (VA) se divide em potência ativa P = S·cos φ (W), que realiza trabalho útil, e potência reativa Q = S·sin φ (var), que vai e volta entre fonte e carga. O fator de potência é cos φ. Um capacitor em paralelo fornece potência reativa localmente, então a corrente de linha cai para a mesma potência ativa.

Potência reativa da carga existente

Q1 = 32·tan(arccos 0,6) = 42,67 kvar

Maior potência ativa total

Na potência nominal S = Smax, e Q não é alterada pela carga resistiva.

P = √(Smax² − Q1²) = √(75² − 42,67²) = 61,68 kW

Potência ativa adicional

ΔP = 61,68 − 32 = 29,68 kW

Resposta

ΔP = 29,68 kW
7.Potência trifásica

Resposta: IL = 13,55 A

Sistemas trifásicos equilibrados: em uma ligação Y (estrela) a tensão de linha é √3 vezes a tensão de fase, VL = √3·Vph, e a corrente de linha é igual à corrente de fase. Em uma ligação Δ (triângulo) a tensão de linha é igual à tensão de fase e a corrente de linha é √3 vezes a corrente de fase, IL = √3·Iph. A potência total é três vezes a potência de uma fase: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ.

Potência elétrica de entrada

Pin = Pout/η = 7,5/0,94 = 7,979 kW

Corrente de linha

IL = Pin/(√3·VL·cos φ) = 7979/(√3·400·0,85) = 13,55 A

Resposta

IL = 13,55 A
8.Potência trifásica

Resposta: Cph = 145,5 µF

Sistemas trifásicos equilibrados: em uma ligação Y (estrela) a tensão de linha é √3 vezes a tensão de fase, VL = √3·Vph, e a corrente de linha é igual à corrente de fase. Em uma ligação Δ (triângulo) a tensão de linha é igual à tensão de fase e a corrente de linha é √3 vezes a corrente de fase, IL = √3·Iph. A potência total é três vezes a potência de uma fase: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ. Correção do fator de potência: os capacitores fornecem potência reativa localmente, QC = P·(tan φ1 − tan φ2). Cada um dos três capacitores fornece QC/3 = V²·ω·C, onde V é a tensão sobre aquele capacitor: VL em um banco em Δ, VL/√3 em um banco em Y.

Potência reativa antes e depois

A potência ativa não muda, então cada fator de potência fixa a potência reativa: Q = P·tan φ.

Q1 = 75·tan(acos 0,8) = 75·0,75 = 56,25 kvar
Q2 = 75·tan(acos 0,95) = 75·0,3287 = 24,65 kvar

Potência reativa dos capacitores

QC = Q1 − Q2 = 31,6 kvar

Capacitância por fase

Em um banco em Δ cada capacitor está ligado entre duas linhas.

V = 480 V, ω = 2π·50 = 314,2 rad/s
Cph = (QC/3)/(ω·V²) = 10533/(314,2·480²) = 145,5 µF

Resposta

Cph = 145,5 µF

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