Identifique o conversor (buck, boost ou buck-boost) e a razão cíclica D a partir da relação de tensões.
Use o equilíbrio volt-segundo no indutor: a tensão média no indutor ao longo de um período é zero.
Encontre a tensão no indutor enquanto a chave conduz e depois ΔIL = VL·D/(L·f).
Para a ondulação da saída, encontre a carga que entra e sai do capacitor; para o limite da CCM, iguale a corrente média no indutor a ΔIL/2.
Motores CC
Circuito de armadura
V = E + IaRa
fcem e torque
E = k·ω, T = k·Ia
Velocidade
ω = 2π·n/60, ω = (V − IaRa)/k
Velocidade a vazio e torque de travamento
ω0 = V/k, Tstall = k·V/Ra
Potências
Pin = V·Ia, Pdev = E·Ia = T·ω, Pout = Pdev − Prot
Partida
Istart = V/(Ra + Rst)
Regulação de velocidade
SR = (n0 − nFL)/nFL
Potência desenvolvida máxima
Pmax = V²/(4Ra)
Acionamento com chopper
Va = D·Vdc
Método
Desenhe o circuito da armadura: alimentação V, resistência Ra e fcem E em série.
Use V = E + Ia·Ra para relacionar tensão, corrente e fcem.
Use E = k·ω para a velocidade e T = k·Ia para o torque, com ω = 2π·n/60.
Para potência e rendimento, parta de V·Ia, subtraia a perda no cobre Ia²·Ra e depois as perdas rotacionais.
Potência CA e fator de potência
Potência ativa
P = V·I·cos φ
Potência reativa
Q = V·I·sin φ
Potência aparente
S = V·I = √(P² + Q²)
Fator de potência
pf = cos φ = P/S
Capacitor de correção
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(ωV²)
Potência trifásica
Ligação em Y
VL = √3·Vph, IL = Iph
Ligação em Δ
VL = Vph, IL = √3·Iph
Potência ativa total
P = √3·VL·IL·cos φ = 3·Iph²·R
Potência aparente e reativa
S = √3·VL·IL, Q = P·tan φ
Capacitores de correção
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(3ωV²)
Tensão sobre cada capacitor
Δ: VL Y: VL/√3
Potência de entrada do motor
Pin = Pout/η
2Exercícios
1.Conversores CC-CCMédia
Um conversor buck ideal converte 36 V em 25,2 V com uma frequência de chaveamento de 50 kHz. Encontre a indutância L que mantém a ondulação pico a pico da corrente no indutor em 0,6 A.
Vin = 36 VVo = 25,2 Vf = 50 kHzΔIL = 0,6 A
L = µH
2.Conversores CC-CCDifícil
Um conversor buck converte 15 V em 6 V para uma carga de 50 Ω a 500 kHz, com L = 47 µH e C = 220 µF. Encontre a ondulação pico a pico da tensão de saída ΔVo em mV.
Um motor CC consome 2 A de uma alimentação de 48 V. Sua resistência de armadura é 1 Ω e suas perdas rotacionais (atrito, ventilação e ferro) são 6 W. Encontre seu rendimento η.
V = 48 VIa = 2 ARa = 1 ΩProt = 6 W
η = %
4.Motores CCDifícil
Um chopper CC alimenta um motor (k = 1,2 V·s/rad, Ra = 0,2 Ω) a partir de um barramento CC de 240 V. A tensão média de armadura é D·240 V. Encontre a razão cíclica D que faz o motor funcionar a 600 rpm com uma carga de 48 N·m.
Uma carga com impedância Z = 15 + j20 Ω está ligada a uma fonte monofásica de 230 V (eficaz). Encontre a potência ativa P que ela absorve.
V = 230 VZ = 15 + j20 Ω
P = W
6.Potência CA e fator de potênciaDifícil
Uma carga monofásica consome 17 kW com fator de potência 0,7 indutivo de uma fonte de 240 V, 50 Hz. Um capacitor de 220 µF é ligado em paralelo com a carga. Encontre o novo fator de potência cos φ visto pela fonte.
P = 17 kWpf1 = 0,7V = 240 Vf = 50 HzC = 220 µF
cos φ =
7.Potência trifásicaMédia
Uma carga equilibrada ligada em Y com impedância de 24 + j18 Ω por fase está ligada a uma alimentação trifásica equilibrada com tensão de linha de 415 V. Encontre a potência ativa total P absorvida pela carga em kW.
VL = 415 VZ = 24 + j18 Ω por fase
P = kW
8.Potência trifásicaDifícil
Uma carga trifásica equilibrada consome 200 kW com fator de potência 0,75 indutivo de uma alimentação de 400 V (tensão de linha), 60 Hz. Um banco de capacitores trifásico em paralelo com a carga deve elevar o fator de potência total para 0,92 indutivo. A potência ativa permanece a mesma. Os capacitores estão ligados em Y. Encontre a capacitância Cph de cada capacitor em µF.
P = 200 kWpf1 = 0,75pf2 = 0,92VL = 400 Vf = 60 Hz
Cph = µF
3Soluções
1.Conversores CC-CC
Resposta: L = 252 µH
Conversores CC-CC: uma chave S conduz durante a fração D de cada período T = 1/f. Em regime permanente a tensão média no indutor é zero (equilíbrio volt-segundo), o que dá as relações de conversão ideais em condução contínua: buck Vo = D·Vin, boost Vo = Vin/(1 − D), buck-boost inversor |Vo| = Vin·D/(1 − D). Um conversor ideal conserva a potência: Vin·Iin = Vo·Io. Enquanto S conduz, a corrente no indutor sobe ΔIL = VL·D·T/L, com VL = Vin − Vo no buck e Vin no boost e no buck-boost. A ondulação da saída é ΔVo = ΔIL/(8fC) no buck e Io·D/(fC) no boost e no buck-boost. A corrente no indutor apenas toca o zero (o limite da CCM) quando a corrente média no indutor é igual a ΔIL/2.
Ciclo de trabalho
D = 25,2/36 = 0,7
Indutância
L = 10,8·0,7/(0,6·50·10³) = 252 µH
Resposta
L = 252 µH
2.Conversores CC-CC
Resposta: ΔVo = 0,1741 mV
Conversores CC-CC: uma chave S conduz durante a fração D de cada período T = 1/f. Em regime permanente a tensão média no indutor é zero (equilíbrio volt-segundo), o que dá as relações de conversão ideais em condução contínua: buck Vo = D·Vin, boost Vo = Vin/(1 − D), buck-boost inversor |Vo| = Vin·D/(1 − D). Um conversor ideal conserva a potência: Vin·Iin = Vo·Io. Enquanto S conduz, a corrente no indutor sobe ΔIL = VL·D·T/L, com VL = Vin − Vo no buck e Vin no boost e no buck-boost. A ondulação da saída é ΔVo = ΔIL/(8fC) no buck e Io·D/(fC) no boost e no buck-boost. A corrente no indutor apenas toca o zero (o limite da CCM) quando a corrente média no indutor é igual a ΔIL/2.
Ciclo de trabalho
D = 6/15 = 0,4
Ondulação de corrente no indutor
ΔIL = (15 − 6)·0,4/(47·10⁻⁶·500·10³) = 0,1532 A
Ondulação da saída
ΔVo = 0,1532/(8·500·10³·220·10⁻⁶) = 0,1741 mV
Resposta
ΔVo = 0,1741 mV
3.Motores CC
Resposta: η = 89,58 %
Motor CC: a armadura é uma resistência Ra em série com a força contraeletromotriz (fcem) E, de modo que V = E + Ia·Ra. A fcem cresce com a velocidade, E = k·ω, e o torque com a corrente, T = k·Ia, com a mesma constante do motor k (V·s/rad = N·m/A) em unidades SI. Converta velocidades com ω = 2π·n/60. A potência desenvolvida é E·Ia = T·ω; a potência de entrada é V·Ia, e a perda no cobre Ia²Ra e a perda rotacional fazem a diferença. A velocidade cai em linha reta com o torque, ω = V/k − Ra·T/k², da velocidade a vazio V/k até zero no torque de travamento k·V/Ra. Com o motor parado E = 0, então a corrente de partida V/Ra é grande, a menos que um resistor a limite.
Potências
Pin = 48·2 = 96 W
Pdev = 46·2 = 92 W
Pout = 92 − 6 = 86 W
Rendimento
η = 86/96·100 = 89,58 %
Resposta
η = 89,58 %
4.Motores CC
Resposta: D = 34,75 %
Motor CC: a armadura é uma resistência Ra em série com a força contraeletromotriz (fcem) E, de modo que V = E + Ia·Ra. A fcem cresce com a velocidade, E = k·ω, e o torque com a corrente, T = k·Ia, com a mesma constante do motor k (V·s/rad = N·m/A) em unidades SI. Converta velocidades com ω = 2π·n/60. A potência desenvolvida é E·Ia = T·ω; a potência de entrada é V·Ia, e a perda no cobre Ia²Ra e a perda rotacional fazem a diferença. A velocidade cai em linha reta com o torque, ω = V/k − Ra·T/k², da velocidade a vazio V/k até zero no torque de travamento k·V/Ra. Com o motor parado E = 0, então a corrente de partida V/Ra é grande, a menos que um resistor a limite.
Tensão de armadura necessária
Va = 1,2·62,83 + 40·0,2 = 83,4 V
Ciclo de trabalho
D = 83,4/240 = 34,75 %
Resposta
D = 34,75 %
5.Potência CA e fator de potência
Resposta: P = 1270 W
Potência CA: a potência aparente S = V·I (VA) se divide em potência ativa P = S·cos φ (W), que realiza trabalho útil, e potência reativa Q = S·sin φ (var), que vai e volta entre fonte e carga. O fator de potência é cos φ. Um capacitor em paralelo fornece potência reativa localmente, então a corrente de linha cai para a mesma potência ativa.
Corrente
|Z| = √(15² + 20²) = 25 Ω
I = V/|Z| = 230/25 = 9,2 A
Potência ativa
P = I²·R = 9,2²·15 = 1270 W
Resposta
P = 1270 W
6.Potência CA e fator de potência
Resposta: cos φ = 0,7862
Potência CA: a potência aparente S = V·I (VA) se divide em potência ativa P = S·cos φ (W), que realiza trabalho útil, e potência reativa Q = S·sin φ (var), que vai e volta entre fonte e carga. O fator de potência é cos φ. Um capacitor em paralelo fornece potência reativa localmente, então a corrente de linha cai para a mesma potência ativa.
Potência reativa antes e depois
A potência ativa P não muda; só muda a potência reativa tirada da rede.
Q1 = 17·tan(arccos 0,7) = 17,34 kvar
QC = V²·2πf·C = 240²·2π·50·220·10⁻⁶ = 3981 var = 3,981 kvar
Q2 = 17,34 − 3,981 = 13,36 kvar
Nova potência aparente
S2 = √(17² + 13,36²) = 21,62 kVA
Novo fator de potência
cos φ = P/S2 = 17/21,62 = 0,7862
Resposta
cos φ = 0,7862
7.Potência trifásica
Resposta: P = 4,593 kW
Sistemas trifásicos equilibrados: em uma ligação Y (estrela) a tensão de linha é √3 vezes a tensão de fase, VL = √3·Vph, e a corrente de linha é igual à corrente de fase. Em uma ligação Δ (triângulo) a tensão de linha é igual à tensão de fase e a corrente de linha é √3 vezes a corrente de fase, IL = √3·Iph. A potência total é três vezes a potência de uma fase: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ.
Tensão de fase
Vph = 415/√3 = 239,6 V
Corrente de fase
|Z| = √(24² + 18²) = 30 Ω
Iph = 239,6/30 = 7,987 A
Potência ativa total
Só a parte resistiva de cada impedância absorve potência ativa.
P = 3·Iph²·R = 3·7,987²·24 = 4,593 kW
Resposta
P = 4,593 kW
Verificação: cos φ = R/|Z| = 0,8, e √3·VL·IL·cos φ dá a mesma potência.
8.Potência trifásica
Resposta: Cph = 1512 µF
Sistemas trifásicos equilibrados: em uma ligação Y (estrela) a tensão de linha é √3 vezes a tensão de fase, VL = √3·Vph, e a corrente de linha é igual à corrente de fase. Em uma ligação Δ (triângulo) a tensão de linha é igual à tensão de fase e a corrente de linha é √3 vezes a corrente de fase, IL = √3·Iph. A potência total é três vezes a potência de uma fase: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ. Correção do fator de potência: os capacitores fornecem potência reativa localmente, QC = P·(tan φ1 − tan φ2). Cada um dos três capacitores fornece QC/3 = V²·ω·C, onde V é a tensão sobre aquele capacitor: VL em um banco em Δ, VL/√3 em um banco em Y.
Potência reativa antes e depois
A potência ativa não muda, então cada fator de potência fixa a potência reativa: Q = P·tan φ.
Q1 = 200·tan(acos 0,75) = 200·0,8819 = 176,4 kvar
Q2 = 200·tan(acos 0,92) = 200·0,426 = 85,2 kvar
Potência reativa dos capacitores
QC = Q1 − Q2 = 91,18 kvar
Capacitância por fase
Em um banco em Y cada capacitor está ligado entre uma linha e o centro da estrela.