Eletrônica de Potência e Acionamentos: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 8 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Conversores CC-CC

Buck
Vo = D·Vin
Boost
Vo = Vin/(1 − D)
Buck-boost inversor
|Vo| = Vin·D/(1 − D)
Balanço de potência ideal
VinIin = VoIo
Ondulação do indutor
ΔIL = VL,on·D/(L·f); buck Vin − Vo, boost and buck-boost Vin
Corrente média no indutor
buck Io; boost e buck-boost Io/(1 − D)
Ondulação da saída
buck ΔIL/(8fC); boost e buck-boost Io·D/(fC)
Limite da CCM
buck (1 − D)R/(2f); boost D(1 − D)²R/(2f); buck-boost (1 − D)²R/(2f)

Método

  1. Identifique o conversor (buck, boost ou buck-boost) e a razão cíclica D a partir da relação de tensões.
  2. Use o equilíbrio volt-segundo no indutor: a tensão média no indutor ao longo de um período é zero.
  3. Encontre a tensão no indutor enquanto a chave conduz e depois ΔIL = VL·D/(L·f).
  4. Para a ondulação da saída, encontre a carga que entra e sai do capacitor; para o limite da CCM, iguale a corrente média no indutor a ΔIL/2.

Motores CC

Circuito de armadura
V = E + IaRa
fcem e torque
E = k·ω, T = k·Ia
Velocidade
ω = 2π·n/60, ω = (V − IaRa)/k
Velocidade a vazio e torque de travamento
ω0 = V/k, Tstall = k·V/Ra
Potências
Pin = V·Ia, Pdev = E·Ia = T·ω, Pout = Pdev − Prot
Partida
Istart = V/(Ra + Rst)
Regulação de velocidade
SR = (n0 − nFL)/nFL
Potência desenvolvida máxima
Pmax = V²/(4Ra)
Acionamento com chopper
Va = D·Vdc

Método

  1. Desenhe o circuito da armadura: alimentação V, resistência Ra e fcem E em série.
  2. Use V = E + Ia·Ra para relacionar tensão, corrente e fcem.
  3. Use E = k·ω para a velocidade e T = k·Ia para o torque, com ω = 2π·n/60.
  4. Para potência e rendimento, parta de V·Ia, subtraia a perda no cobre Ia²·Ra e depois as perdas rotacionais.

Potência CA e fator de potência

Potência ativa
P = V·I·cos φ
Potência reativa
Q = V·I·sin φ
Potência aparente
S = V·I = √(P² + Q²)
Fator de potência
pf = cos φ = P/S
Capacitor de correção
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(ωV²)

Potência trifásica

Ligação em Y
VL = √3·Vph, IL = Iph
Ligação em Δ
VL = Vph, IL = √3·Iph
Potência ativa total
P = √3·VL·IL·cos φ = 3·Iph²·R
Potência aparente e reativa
S = √3·VL·IL, Q = P·tan φ
Capacitores de correção
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(3ωV²)
Tensão sobre cada capacitor
Δ: VL Y: VL/√3
Potência de entrada do motor
Pin = Pout/η

2Exercícios

1.Conversores CC-CCMédia
+−24 VSL = ?CR+−16,8 V

Um conversor buck ideal converte 24 V em 16,8 V com uma frequência de chaveamento de 200 kHz. Encontre a indutância L que mantém a ondulação pico a pico da corrente no indutor em 0,2 A.

Vin​ = 24 VVo​ = 16,8 Vf = 200 kHzΔIL = 0,2 A
L = µH
2.Conversores CC-CCDifícil
tiL​Imax​Io​DTT2T

Um conversor buck converte 15 V em 6 V a 20 kHz com L = 47 µH. Encontre a menor corrente de carga Io,min para a qual ele permanece em condução contínua.

Vin​ = 15 VVo​ = 6 Vf = 20 kHzL = 47 µH
Io,min = A
3.Motores CCMédia
+−VRa​M+−En = 3000 rpmT = ?

Um motor CC fornece 0,5 kW de potência mecânica a 3000 rpm. Encontre o torque no eixo T.

P = 0,5 kWn = 3000 rpm
T = N·m
4.Motores CCDifícil
T (N·m)n (rpm)36 N·m300 rpm

Um motor CC com k = 1,2 V·s/rad e Ra = 0,2 Ω deve acionar uma carga de 36 N·m a 300 rpm. Encontre a tensão de armadura V de que ele precisa.

k = 1,2 V·s/radRa = 0,2 ΩT = 36 N·mn = 300 rpm
V = V
5.Potência CA e fator de potênciaMédia
240 V120 kW, 0,827 kW, 0,85I

Duas cargas estão ligadas em paralelo a uma fonte monofásica de 240 V: uma carga de 20 kW com fator de potência 0,8 indutivo e uma carga de 7 kW com fator de potência 0,85 indutivo. Encontre o fator de potência global cos φ visto pela fonte.

V = 240 VP1 = 20 kW, pf1 = 0,8 indutivoP2 = 7 kW, pf2 = 0,85 indutivo
cos φ =
6.Potência CA e fator de potênciaDifícil
P = 45 kWQ1​S1​φ1​QC​

Uma carga monofásica consome 45 kW com fator de potência 0,6 indutivo de uma fonte de 230 V, 60 Hz. Um capacitor ligado em paralelo eleva o fator de potência para 0,98. Encontre a nova corrente de linha Inew.

P = 45 kWpf1 = 0,6pf2 = 0,98V = 230 Vf = 60 Hz
Inew = A
7.Potência trifásicaMédia
ABCVL​ = 480 VIL​ = 15 Acos φ = 0,85indutivo

Uma carga trifásica equilibrada consome uma corrente de linha de 15 A de uma alimentação com tensão de linha de 480 V. O fator de potência é 0,85 indutivo. Encontre a potência ativa total P consumida pela carga em kW.

VL = 480 VIL = 15 Acos φ = 0,85
P = kW
8.Potência trifásicaDifícil
P = 80 kWφ1​S1​Q2​QC​

Uma carga trifásica equilibrada consome 80 kW com fator de potência 0,7 indutivo de uma alimentação de 400 V (tensão de linha), 60 Hz. Um banco de capacitores trifásico em paralelo com a carga deve elevar o fator de potência total para 0,9 indutivo. A potência ativa permanece a mesma. Os capacitores estão ligados em Y. Encontre a capacitância Cph de cada capacitor em µF.

P = 80 kWpf1 = 0,7pf2 = 0,9VL = 400 Vf = 60 Hz
Cph = µF

3Soluções

1.Conversores CC-CC

Resposta: L = 126 µH

Conversores CC-CC: uma chave S conduz durante a fração D de cada período T = 1/f. Em regime permanente a tensão média no indutor é zero (equilíbrio volt-segundo), o que dá as relações de conversão ideais em condução contínua: buck Vo = D·Vin, boost Vo = Vin/(1 − D), buck-boost inversor |Vo| = Vin·D/(1 − D). Um conversor ideal conserva a potência: Vin·Iin = Vo·Io. Enquanto S conduz, a corrente no indutor sobe ΔIL = VL·D·T/L, com VL = Vin − Vo no buck e Vin no boost e no buck-boost. A ondulação da saída é ΔVo = ΔIL/(8fC) no buck e Io·D/(fC) no boost e no buck-boost. A corrente no indutor apenas toca o zero (o limite da CCM) quando a corrente média no indutor é igual a ΔIL/2.

Ciclo de trabalho

D = 16,8/24 = 0,7

Indutância

L = 7,2·0,7/(0,2·200·10³) = 126 µH

Resposta

L = 126 µH
2.Conversores CC-CC

Resposta: Io,min = 1,915 A

Conversores CC-CC: uma chave S conduz durante a fração D de cada período T = 1/f. Em regime permanente a tensão média no indutor é zero (equilíbrio volt-segundo), o que dá as relações de conversão ideais em condução contínua: buck Vo = D·Vin, boost Vo = Vin/(1 − D), buck-boost inversor |Vo| = Vin·D/(1 − D). Um conversor ideal conserva a potência: Vin·Iin = Vo·Io. Enquanto S conduz, a corrente no indutor sobe ΔIL = VL·D·T/L, com VL = Vin − Vo no buck e Vin no boost e no buck-boost. A ondulação da saída é ΔVo = ΔIL/(8fC) no buck e Io·D/(fC) no boost e no buck-boost. A corrente no indutor apenas toca o zero (o limite da CCM) quando a corrente média no indutor é igual a ΔIL/2.

Ciclo de trabalho

D = 6/15 = 0,4

Ondulação de corrente

ΔIL = 6·0,6/(47·10⁻⁶·20·10³) = 3,83 A

Corrente de carga no limite

Io,min = ΔIL/2 = 1,915 A

Resposta

Io,min = 1,915 A

Abaixo dessa corrente o conversor entra em condução descontínua e Vo sobe acima de D·Vin.

3.Motores CC

Resposta: T = 1,592 N·m

Motor CC: a armadura é uma resistência Ra em série com a força contraeletromotriz (fcem) E, de modo que V = E + Ia·Ra. A fcem cresce com a velocidade, E = k·ω, e o torque com a corrente, T = k·Ia, com a mesma constante do motor k (V·s/rad = N·m/A) em unidades SI. Converta velocidades com ω = 2π·n/60. A potência desenvolvida é E·Ia = T·ω; a potência de entrada é V·Ia, e a perda no cobre Ia²Ra e a perda rotacional fazem a diferença. A velocidade cai em linha reta com o torque, ω = V/k − Ra·T/k², da velocidade a vazio V/k até zero no torque de travamento k·V/Ra. Com o motor parado E = 0, então a corrente de partida V/Ra é grande, a menos que um resistor a limite.

Velocidade em rad/s

ω = 2π·3000/60 = 314,2 rad/s

Torque

T = P/ω = 500/314,2 = 1,592 N·m

Resposta

T = 1,592 N·m
4.Motores CC

Resposta: V = 43,7 V

Motor CC: a armadura é uma resistência Ra em série com a força contraeletromotriz (fcem) E, de modo que V = E + Ia·Ra. A fcem cresce com a velocidade, E = k·ω, e o torque com a corrente, T = k·Ia, com a mesma constante do motor k (V·s/rad = N·m/A) em unidades SI. Converta velocidades com ω = 2π·n/60. A potência desenvolvida é E·Ia = T·ω; a potência de entrada é V·Ia, e a perda no cobre Ia²Ra e a perda rotacional fazem a diferença. A velocidade cai em linha reta com o torque, ω = V/k − Ra·T/k², da velocidade a vazio V/k até zero no torque de travamento k·V/Ra. Com o motor parado E = 0, então a corrente de partida V/Ra é grande, a menos que um resistor a limite.

Força contraeletromotriz

E = 1,2·31,42 = 37,7 V

Corrente de armadura

Ia = 36/1,2 = 30 A

Tensão de armadura

V = 37,7 + 30·0,2 = 43,7 V

Resposta

V = 43,7 V
5.Potência CA e fator de potência

Resposta: cos φ = 0,813

Potência CA: a potência aparente S = V·I (VA) se divide em potência ativa P = S·cos φ (W), que realiza trabalho útil, e potência reativa Q = S·sin φ (var), que vai e volta entre fonte e carga. O fator de potência é cos φ. Um capacitor em paralelo fornece potência reativa localmente, então a corrente de linha cai para a mesma potência ativa.

Potência reativa de cada carga

Uma carga indutiva consome potência reativa (Q > 0); uma carga capacitiva a fornece (Q < 0).

Q1 = 20·tan(arccos 0,8) = 15 kvar
Q2 = 7·tan(arccos 0,85) = 4,338 kvar

Totais

P = 20 + 7 = 27 kW
Q = 15 + 4,338 = 19,34 kvar
S = √(27² + 19,34²) = 33,21 kVA

Fator de potência global

cos φ = P/S = 27/33,21 = 0,813 indutivo

Resposta

cos φ = 0,813
6.Potência CA e fator de potência

Resposta: Inew = 199,6 A

Potência CA: a potência aparente S = V·I (VA) se divide em potência ativa P = S·cos φ (W), que realiza trabalho útil, e potência reativa Q = S·sin φ (var), que vai e volta entre fonte e carga. O fator de potência é cos φ. Um capacitor em paralelo fornece potência reativa localmente, então a corrente de linha cai para a mesma potência ativa.

Potência reativa antes e depois

A potência ativa P não muda; só muda a potência reativa tirada da rede.

Q1 = P·tan φ1 = 45·tan(53,13°) = 60 kvar
Q2 = P·tan φ2 = 45·tan(11,48°) = 9,138 kvar
QC = Q1 − Q2 = 50,86 kvar

Nova corrente de linha

Inew = P/(V·cos φ2) = 45000/(230·0,98) = 199,6 A

Resposta

Inew = 199,6 A
7.Potência trifásica

Resposta: P = 10,6 kW

Sistemas trifásicos equilibrados: em uma ligação Y (estrela) a tensão de linha é √3 vezes a tensão de fase, VL = √3·Vph, e a corrente de linha é igual à corrente de fase. Em uma ligação Δ (triângulo) a tensão de linha é igual à tensão de fase e a corrente de linha é √3 vezes a corrente de fase, IL = √3·Iph. A potência total é três vezes a potência de uma fase: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ.

Potência aparente

S = √3·VL·IL = √3·480·15 = 12,47 kVA

Potência ativa

P = S·cos φ = 12,47·0,85 = 10,6 kW

Resposta

P = 10,6 kW
8.Potência trifásica

Resposta: Cph = 710,7 µF

Sistemas trifásicos equilibrados: em uma ligação Y (estrela) a tensão de linha é √3 vezes a tensão de fase, VL = √3·Vph, e a corrente de linha é igual à corrente de fase. Em uma ligação Δ (triângulo) a tensão de linha é igual à tensão de fase e a corrente de linha é √3 vezes a corrente de fase, IL = √3·Iph. A potência total é três vezes a potência de uma fase: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ. Correção do fator de potência: os capacitores fornecem potência reativa localmente, QC = P·(tan φ1 − tan φ2). Cada um dos três capacitores fornece QC/3 = V²·ω·C, onde V é a tensão sobre aquele capacitor: VL em um banco em Δ, VL/√3 em um banco em Y.

Potência reativa antes e depois

A potência ativa não muda, então cada fator de potência fixa a potência reativa: Q = P·tan φ.

Q1 = 80·tan(acos 0,7) = 80·1,02 = 81,62 kvar
Q2 = 80·tan(acos 0,9) = 80·0,4843 = 38,75 kvar

Potência reativa dos capacitores

QC = Q1 − Q2 = 42,87 kvar

Capacitância por fase

Em um banco em Y cada capacitor está ligado entre uma linha e o centro da estrela.

V = 400/√3 = 230,9 V, ω = 2π·60 = 377 rad/s
Cph = (QC/3)/(ω·V²) = 14290/(377·230,9²) = 710,7 µF

Resposta

Cph = 710,7 µF

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