Identifique o conversor (buck, boost ou buck-boost) e a razão cíclica D a partir da relação de tensões.
Use o equilíbrio volt-segundo no indutor: a tensão média no indutor ao longo de um período é zero.
Encontre a tensão no indutor enquanto a chave conduz e depois ΔIL = VL·D/(L·f).
Para a ondulação da saída, encontre a carga que entra e sai do capacitor; para o limite da CCM, iguale a corrente média no indutor a ΔIL/2.
Motores CC
Circuito de armadura
V = E + IaRa
fcem e torque
E = k·ω, T = k·Ia
Velocidade
ω = 2π·n/60, ω = (V − IaRa)/k
Velocidade a vazio e torque de travamento
ω0 = V/k, Tstall = k·V/Ra
Potências
Pin = V·Ia, Pdev = E·Ia = T·ω, Pout = Pdev − Prot
Partida
Istart = V/(Ra + Rst)
Regulação de velocidade
SR = (n0 − nFL)/nFL
Potência desenvolvida máxima
Pmax = V²/(4Ra)
Acionamento com chopper
Va = D·Vdc
Método
Desenhe o circuito da armadura: alimentação V, resistência Ra e fcem E em série.
Use V = E + Ia·Ra para relacionar tensão, corrente e fcem.
Use E = k·ω para a velocidade e T = k·Ia para o torque, com ω = 2π·n/60.
Para potência e rendimento, parta de V·Ia, subtraia a perda no cobre Ia²·Ra e depois as perdas rotacionais.
Potência CA e fator de potência
Potência ativa
P = V·I·cos φ
Potência reativa
Q = V·I·sin φ
Potência aparente
S = V·I = √(P² + Q²)
Fator de potência
pf = cos φ = P/S
Capacitor de correção
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(ωV²)
Potência trifásica
Ligação em Y
VL = √3·Vph, IL = Iph
Ligação em Δ
VL = Vph, IL = √3·Iph
Potência ativa total
P = √3·VL·IL·cos φ = 3·Iph²·R
Potência aparente e reativa
S = √3·VL·IL, Q = P·tan φ
Capacitores de correção
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(3ωV²)
Tensão sobre cada capacitor
Δ: VL Y: VL/√3
Potência de entrada do motor
Pin = Pout/η
2Exercícios
1.Conversores CC-CCMédia
Um conversor buck ideal converte 12 V em 3,6 V com uma frequência de chaveamento de 40 kHz. Encontre a indutância L que mantém a ondulação pico a pico da corrente no indutor em 0,5 A.
Vin = 12 VVo = 3,6 Vf = 40 kHzΔIL = 0,5 A
L = µH
2.Conversores CC-CCDifícil
Um conversor boost ideal converte 36 V em 144 V para uma carga de 20 Ω a 50 kHz. Encontre a menor indutância Lcrit para condução contínua.
Vin = 36 VVo = 144 Vf = 50 kHzR = 20 Ω
Lcrit = µH
3.Motores CCMédia
Um motor CC consome 5 A de uma alimentação de 110 V. Sua resistência de armadura é 2 Ω e suas perdas rotacionais (atrito, ventilação e ferro) são 30 W. Encontre seu rendimento η.
V = 110 VIa = 5 ARa = 2 ΩProt = 30 W
η = %
4.Motores CCDifícil
Um motor CC de 48 V tem resistência de armadura de 0,2 Ω. Encontre a resistência de partida em série Rst que limita a corrente de partida a 25 A.
V = 48 VRa = 0,2 ΩImax = 25 A
Rst = Ω
5.Potência CA e fator de potênciaMédia
Duas cargas estão ligadas em paralelo a uma fonte monofásica de 240 V: uma carga de 10 kW com fator de potência 0,8 indutivo e um aquecedor de 28 kW (fator de potência unitário). Encontre o fator de potência global cos φ visto pela fonte.
Uma fonte de 10 V (eficaz), 50 Hz tem impedância interna Zs = 25 + j30 Ω. A impedância de carga ZL pode ser escolhida livremente. Encontre a potência ativa máxima Pmax que pode ser entregue à carga.
Vs = 10 V (rms)f = 50 HzZs = 25 + j30 Ω
Pmax = W
7.Potência trifásicaMédia
Um motor de indução trifásico fornece 90 kW de potência mecânica de saída a plena carga. Nessa carga seu rendimento é 93% e seu fator de potência é 0,88 indutivo. A alimentação tem tensão de linha de 400 V. Encontre a corrente de linha IL.
Pout = 90 kWη = 93%cos φ = 0,88VL = 400 V
IL = A
8.Potência trifásicaDifícil
Uma carga trifásica equilibrada consome 60 kW com fator de potência 0,78 indutivo de uma alimentação de 415 V (tensão de linha), 60 Hz. Um banco de capacitores trifásico em paralelo com a carga deve elevar o fator de potência total para 0,9 indutivo. A potência ativa permanece a mesma. Encontre a potência reativa total QC que o banco de capacitores deve fornecer, em kvar.
P = 60 kWpf1 = 0,78pf2 = 0,9VL = 415 Vf = 60 Hz
QC = kvar
3Soluções
1.Conversores CC-CC
Resposta: L = 126 µH
Conversores CC-CC: uma chave S conduz durante a fração D de cada período T = 1/f. Em regime permanente a tensão média no indutor é zero (equilíbrio volt-segundo), o que dá as relações de conversão ideais em condução contínua: buck Vo = D·Vin, boost Vo = Vin/(1 − D), buck-boost inversor |Vo| = Vin·D/(1 − D). Um conversor ideal conserva a potência: Vin·Iin = Vo·Io. Enquanto S conduz, a corrente no indutor sobe ΔIL = VL·D·T/L, com VL = Vin − Vo no buck e Vin no boost e no buck-boost. A ondulação da saída é ΔVo = ΔIL/(8fC) no buck e Io·D/(fC) no boost e no buck-boost. A corrente no indutor apenas toca o zero (o limite da CCM) quando a corrente média no indutor é igual a ΔIL/2.
Ciclo de trabalho
D = 3,6/12 = 0,3
Indutância
L = 8,4·0,3/(0,5·40·10³) = 126 µH
Resposta
L = 126 µH
2.Conversores CC-CC
Resposta: Lcrit = 9,375 µH
Conversores CC-CC: uma chave S conduz durante a fração D de cada período T = 1/f. Em regime permanente a tensão média no indutor é zero (equilíbrio volt-segundo), o que dá as relações de conversão ideais em condução contínua: buck Vo = D·Vin, boost Vo = Vin/(1 − D), buck-boost inversor |Vo| = Vin·D/(1 − D). Um conversor ideal conserva a potência: Vin·Iin = Vo·Io. Enquanto S conduz, a corrente no indutor sobe ΔIL = VL·D·T/L, com VL = Vin − Vo no buck e Vin no boost e no buck-boost. A ondulação da saída é ΔVo = ΔIL/(8fC) no buck e Io·D/(fC) no boost e no buck-boost. A corrente no indutor apenas toca o zero (o limite da CCM) quando a corrente média no indutor é igual a ΔIL/2.
Ciclo de trabalho
D = 1 − 36/144 = 0,75
Condição de limite
Iguale a corrente média no indutor à metade da ondulação de corrente e resolva para L.
Lcrit = D(1 − D)²·R/(2f)
Indutância crítica
Lcrit = 0,75(1 − 0,75)²·20/(250·10³) = 9,375 µH
Resposta
Lcrit = 9,375 µH
3.Motores CC
Resposta: η = 85,45 %
Motor CC: a armadura é uma resistência Ra em série com a força contraeletromotriz (fcem) E, de modo que V = E + Ia·Ra. A fcem cresce com a velocidade, E = k·ω, e o torque com a corrente, T = k·Ia, com a mesma constante do motor k (V·s/rad = N·m/A) em unidades SI. Converta velocidades com ω = 2π·n/60. A potência desenvolvida é E·Ia = T·ω; a potência de entrada é V·Ia, e a perda no cobre Ia²Ra e a perda rotacional fazem a diferença. A velocidade cai em linha reta com o torque, ω = V/k − Ra·T/k², da velocidade a vazio V/k até zero no torque de travamento k·V/Ra. Com o motor parado E = 0, então a corrente de partida V/Ra é grande, a menos que um resistor a limite.
Potências
Pin = 110·5 = 550 W
Pdev = 100·5 = 500 W
Pout = 500 − 30 = 470 W
Rendimento
η = 470/550·100 = 85,45 %
Resposta
η = 85,45 %
4.Motores CC
Resposta: Rst = 1,72 Ω
Motor CC: a armadura é uma resistência Ra em série com a força contraeletromotriz (fcem) E, de modo que V = E + Ia·Ra. A fcem cresce com a velocidade, E = k·ω, e o torque com a corrente, T = k·Ia, com a mesma constante do motor k (V·s/rad = N·m/A) em unidades SI. Converta velocidades com ω = 2π·n/60. A potência desenvolvida é E·Ia = T·ω; a potência de entrada é V·Ia, e a perda no cobre Ia²Ra e a perda rotacional fazem a diferença. A velocidade cai em linha reta com o torque, ω = V/k − Ra·T/k², da velocidade a vazio V/k até zero no torque de travamento k·V/Ra. Com o motor parado E = 0, então a corrente de partida V/Ra é grande, a menos que um resistor a limite.
Resistência total
Ra + Rst = 48/25 = 1,92 Ω
Resistor de partida
Rst = 1,92 − 0,2 = 1,72 Ω
Resposta
Rst = 1,72 Ω
O resistor é retirado por etapas à medida que o motor acelera e a fcem cresce.
5.Potência CA e fator de potência
Resposta: cos φ = 0,9811
Potência CA: a potência aparente S = V·I (VA) se divide em potência ativa P = S·cos φ (W), que realiza trabalho útil, e potência reativa Q = S·sin φ (var), que vai e volta entre fonte e carga. O fator de potência é cos φ. Um capacitor em paralelo fornece potência reativa localmente, então a corrente de linha cai para a mesma potência ativa.
Potência reativa de cada carga
Uma carga indutiva consome potência reativa (Q > 0); uma carga capacitiva a fornece (Q < 0).
Q1 = 10·tan(arccos 0,8) = 7,5 kvar
Q2 = 0 = 0 kvar
Totais
P = 10 + 28 = 38 kW
Q = 7,5 + 0 = 7,5 kvar
S = √(38² + 7,5²) = 38,73 kVA
Fator de potência global
cos φ = P/S = 38/38,73 = 0,9811 indutivo
Resposta
cos φ = 0,9811
6.Potência CA e fator de potência
Resposta: Pmax = 1 W
Potência CA: a potência aparente S = V·I (VA) se divide em potência ativa P = S·cos φ (W), que realiza trabalho útil, e potência reativa Q = S·sin φ (var), que vai e volta entre fonte e carga. O fator de potência é cos φ. Um capacitor em paralelo fornece potência reativa localmente, então a corrente de linha cai para a mesma potência ativa.
Casamento conjugado
A reatância da carga anula a reatância da fonte, e a resistência da carga é igual à resistência da fonte.
ZL = Zs* = 25 − j30 Ω
Potência máxima
I = Vs/(2Rs) = 10/50 = 0,2 A
Pmax = I²·RL = Vs²/(4Rs) = 10²/(4·25) = 1 W
Resposta
Pmax = 1 W
7.Potência trifásica
Resposta: IL = 158,7 A
Sistemas trifásicos equilibrados: em uma ligação Y (estrela) a tensão de linha é √3 vezes a tensão de fase, VL = √3·Vph, e a corrente de linha é igual à corrente de fase. Em uma ligação Δ (triângulo) a tensão de linha é igual à tensão de fase e a corrente de linha é √3 vezes a corrente de fase, IL = √3·Iph. A potência total é três vezes a potência de uma fase: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ.
Potência elétrica de entrada
Pin = Pout/η = 90/0,93 = 96,77 kW
Corrente de linha
IL = Pin/(√3·VL·cos φ) = 96774/(√3·400·0,88) = 158,7 A
Resposta
IL = 158,7 A
8.Potência trifásica
Resposta: QC = 19,08 kvar
Sistemas trifásicos equilibrados: em uma ligação Y (estrela) a tensão de linha é √3 vezes a tensão de fase, VL = √3·Vph, e a corrente de linha é igual à corrente de fase. Em uma ligação Δ (triângulo) a tensão de linha é igual à tensão de fase e a corrente de linha é √3 vezes a corrente de fase, IL = √3·Iph. A potência total é três vezes a potência de uma fase: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ. Correção do fator de potência: os capacitores fornecem potência reativa localmente, QC = P·(tan φ1 − tan φ2). Cada um dos três capacitores fornece QC/3 = V²·ω·C, onde V é a tensão sobre aquele capacitor: VL em um banco em Δ, VL/√3 em um banco em Y.
Potência reativa antes e depois
A potência ativa não muda, então cada fator de potência fixa a potência reativa: Q = P·tan φ.