Eletrônica de Potência e Acionamentos: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 8 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Conversores CC-CC

Buck
Vo = D·Vin
Boost
Vo = Vin/(1 − D)
Buck-boost inversor
|Vo| = Vin·D/(1 − D)
Balanço de potência ideal
VinIin = VoIo
Ondulação do indutor
ΔIL = VL,on·D/(L·f); buck Vin − Vo, boost and buck-boost Vin
Corrente média no indutor
buck Io; boost e buck-boost Io/(1 − D)
Ondulação da saída
buck ΔIL/(8fC); boost e buck-boost Io·D/(fC)
Limite da CCM
buck (1 − D)R/(2f); boost D(1 − D)²R/(2f); buck-boost (1 − D)²R/(2f)

Método

  1. Identifique o conversor (buck, boost ou buck-boost) e a razão cíclica D a partir da relação de tensões.
  2. Use o equilíbrio volt-segundo no indutor: a tensão média no indutor ao longo de um período é zero.
  3. Encontre a tensão no indutor enquanto a chave conduz e depois ΔIL = VL·D/(L·f).
  4. Para a ondulação da saída, encontre a carga que entra e sai do capacitor; para o limite da CCM, iguale a corrente média no indutor a ΔIL/2.

Motores CC

Circuito de armadura
V = E + IaRa
fcem e torque
E = k·ω, T = k·Ia
Velocidade
ω = 2π·n/60, ω = (V − IaRa)/k
Velocidade a vazio e torque de travamento
ω0 = V/k, Tstall = k·V/Ra
Potências
Pin = V·Ia, Pdev = E·Ia = T·ω, Pout = Pdev − Prot
Partida
Istart = V/(Ra + Rst)
Regulação de velocidade
SR = (n0 − nFL)/nFL
Potência desenvolvida máxima
Pmax = V²/(4Ra)
Acionamento com chopper
Va = D·Vdc

Método

  1. Desenhe o circuito da armadura: alimentação V, resistência Ra e fcem E em série.
  2. Use V = E + Ia·Ra para relacionar tensão, corrente e fcem.
  3. Use E = k·ω para a velocidade e T = k·Ia para o torque, com ω = 2π·n/60.
  4. Para potência e rendimento, parta de V·Ia, subtraia a perda no cobre Ia²·Ra e depois as perdas rotacionais.

Potência CA e fator de potência

Potência ativa
P = V·I·cos φ
Potência reativa
Q = V·I·sin φ
Potência aparente
S = V·I = √(P² + Q²)
Fator de potência
pf = cos φ = P/S
Capacitor de correção
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(ωV²)

Potência trifásica

Ligação em Y
VL = √3·Vph, IL = Iph
Ligação em Δ
VL = Vph, IL = √3·Iph
Potência ativa total
P = √3·VL·IL·cos φ = 3·Iph²·R
Potência aparente e reativa
S = √3·VL·IL, Q = P·tan φ
Capacitores de correção
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(3ωV²)
Tensão sobre cada capacitor
Δ: VL Y: VL/√3
Potência de entrada do motor
Pin = Pout/η

2Exercícios

1.Conversores CC-CCMédia
tiL​Imax​Imin​ΔI = ?DTT2T

Um conversor buck-boost inversor ideal converte 9 V em −9 V a 25 kHz com L = 150 µH. Encontre a ondulação pico a pico da corrente no indutor ΔIL.

Vin​ = 9 VVo​ = −9 Vf = 25 kHzL = 150 µH
ΔIL = A
2.Conversores CC-CCDifícil
+−24 VSL = 150 µHC = ?R+−18 V

Um conversor buck converte 24 V em 18 V a 40 kHz com L = 150 µH. Encontre a capacitância de saída C que limita a ondulação pico a pico da saída a 100 mV.

Vin​ = 24 VVo​ = 18 Vf = 40 kHzL = 150 µHΔVo = 100 mV
C = µF
3.Motores CCMédia
+−VRa​M+−En = 1800 rpmT = ?

Um motor CC fornece 1 kW de potência mecânica a 1800 rpm. Encontre o torque no eixo T.

P = 1 kWn = 1800 rpm
T = N·m
4.Motores CCDifícil
+−24 VRs​ = ?Ra​ = 0,2 ΩM+−En = 1200 rpmT = 1,2 N·m

Um motor CC (k = 0,12 V·s/rad, Ra = 0,2 Ω) em uma alimentação fixa de 24 V aciona uma carga de 1,2 N·m. Encontre a resistência em série Rs que o reduz a 1200 rpm.

V = 24 Vk = 0,12 V·s/radRa = 0,2 ΩT = 1,2 N·mn = 1200 rpm
Rs = Ω
5.Potência CA e fator de potênciaMédia
230 V124 kW, 0,625 kW, 0,95I

Duas cargas estão ligadas em paralelo a uma fonte monofásica de 230 V: uma carga de 24 kW com fator de potência 0,6 indutivo e uma carga de 5 kW com fator de potência 0,95 indutivo. Encontre o fator de potência global cos φ visto pela fonte.

V = 230 VP1 = 24 kW, pf1 = 0,6 indutivoP2 = 5 kW, pf2 = 0,95 indutivo
cos φ =
6.Potência CA e fator de potênciaDifícil
400 V50 Hzcarga24 kW, 0,6C220 µFI = ?

Uma carga monofásica consome 24 kW com fator de potência 0,6 indutivo de uma fonte de 400 V, 50 Hz. Um capacitor de 220 µF é ligado em paralelo com a carga. Encontre a nova corrente de linha I.

P = 24 kWpf1 = 0,6V = 400 Vf = 50 HzC = 220 µF
I = A
7.Potência trifásicaMédia
ABCVL​ = 400 VNZ = 12 + j9 Ωpor fase

Uma carga equilibrada ligada em Y com impedância de 12 + j9 Ω por fase está ligada a uma alimentação trifásica equilibrada com tensão de linha de 400 V. Encontre a potência ativa total P absorvida pela carga em kW.

VL = 400 VZ = 12 + j9 Ω por fase
P = kW
8.Potência trifásicaDifícil
P = 50 kWφ1​S1​Q2​QC​

Uma carga trifásica equilibrada consome 50 kW com fator de potência 0,65 indutivo de uma alimentação de 415 V (tensão de linha), 50 Hz. Um banco de capacitores trifásico em paralelo com a carga deve elevar o fator de potência total para 0,95 indutivo. A potência ativa permanece a mesma. Os capacitores estão ligados em Δ. Encontre a capacitância Cph de cada capacitor em µF.

P = 50 kWpf1 = 0,65pf2 = 0,95VL = 415 Vf = 50 Hz
Cph = µF

3Soluções

1.Conversores CC-CC

Resposta: ΔIL = 1,2 A

Conversores CC-CC: uma chave S conduz durante a fração D de cada período T = 1/f. Em regime permanente a tensão média no indutor é zero (equilíbrio volt-segundo), o que dá as relações de conversão ideais em condução contínua: buck Vo = D·Vin, boost Vo = Vin/(1 − D), buck-boost inversor |Vo| = Vin·D/(1 − D). Um conversor ideal conserva a potência: Vin·Iin = Vo·Io. Enquanto S conduz, a corrente no indutor sobe ΔIL = VL·D·T/L, com VL = Vin − Vo no buck e Vin no boost e no buck-boost. A ondulação da saída é ΔVo = ΔIL/(8fC) no buck e Io·D/(fC) no boost e no buck-boost. A corrente no indutor apenas toca o zero (o limite da CCM) quando a corrente média no indutor é igual a ΔIL/2.

Ciclo de trabalho

D = 9/(9 + 9) = 0,5

Tensão no indutor durante o tempo de condução

Enquanto S conduz, o indutor fica diretamente sobre Vin.

VL = 9 V

Ondulação de corrente

ΔIL = VL·D/(L·f) = 9·0,5/(150·10⁻⁶·25·10³) = 1,2 A

Resposta

ΔIL = 1,2 A
2.Conversores CC-CC

Resposta: C = 23,44 µF

Conversores CC-CC: uma chave S conduz durante a fração D de cada período T = 1/f. Em regime permanente a tensão média no indutor é zero (equilíbrio volt-segundo), o que dá as relações de conversão ideais em condução contínua: buck Vo = D·Vin, boost Vo = Vin/(1 − D), buck-boost inversor |Vo| = Vin·D/(1 − D). Um conversor ideal conserva a potência: Vin·Iin = Vo·Io. Enquanto S conduz, a corrente no indutor sobe ΔIL = VL·D·T/L, com VL = Vin − Vo no buck e Vin no boost e no buck-boost. A ondulação da saída é ΔVo = ΔIL/(8fC) no buck e Io·D/(fC) no boost e no buck-boost. A corrente no indutor apenas toca o zero (o limite da CCM) quando a corrente média no indutor é igual a ΔIL/2.

Ciclo de trabalho

D = 18/24 = 0,75

Ondulação de corrente no indutor

ΔIL = (24 − 18)·0,75/(150·10⁻⁶·40·10³) = 0,75 A

Capacitância

C = 0,75/(8·40·10³·100·10⁻³) = 23,44 µF

Resposta

C = 23,44 µF
3.Motores CC

Resposta: T = 5,305 N·m

Motor CC: a armadura é uma resistência Ra em série com a força contraeletromotriz (fcem) E, de modo que V = E + Ia·Ra. A fcem cresce com a velocidade, E = k·ω, e o torque com a corrente, T = k·Ia, com a mesma constante do motor k (V·s/rad = N·m/A) em unidades SI. Converta velocidades com ω = 2π·n/60. A potência desenvolvida é E·Ia = T·ω; a potência de entrada é V·Ia, e a perda no cobre Ia²Ra e a perda rotacional fazem a diferença. A velocidade cai em linha reta com o torque, ω = V/k − Ra·T/k², da velocidade a vazio V/k até zero no torque de travamento k·V/Ra. Com o motor parado E = 0, então a corrente de partida V/Ra é grande, a menos que um resistor a limite.

Velocidade em rad/s

ω = 2π·1800/60 = 188,5 rad/s

Torque

T = P/ω = 1000/188,5 = 5,305 N·m

Resposta

T = 5,305 N·m
4.Motores CC

Resposta: Rs = 0,692 Ω

Motor CC: a armadura é uma resistência Ra em série com a força contraeletromotriz (fcem) E, de modo que V = E + Ia·Ra. A fcem cresce com a velocidade, E = k·ω, e o torque com a corrente, T = k·Ia, com a mesma constante do motor k (V·s/rad = N·m/A) em unidades SI. Converta velocidades com ω = 2π·n/60. A potência desenvolvida é E·Ia = T·ω; a potência de entrada é V·Ia, e a perda no cobre Ia²Ra e a perda rotacional fazem a diferença. A velocidade cai em linha reta com o torque, ω = V/k − Ra·T/k², da velocidade a vazio V/k até zero no torque de travamento k·V/Ra. Com o motor parado E = 0, então a corrente de partida V/Ra é grande, a menos que um resistor a limite.

Corrente e fcem

Ia = 1,2/0,12 = 10 A
E = 0,12·125,7 = 15,08 V

Resistência em série

Ra + Rs = (24 − 15,08)/10 = 0,892 Ω
Rs = 0,692 Ω

Resposta

Rs = 0,692 Ω

O resistor desperdiça 69,2 W; um chopper controla a velocidade com muito menos perdas.

5.Potência CA e fator de potência

Resposta: cos φ = 0,6529

Potência CA: a potência aparente S = V·I (VA) se divide em potência ativa P = S·cos φ (W), que realiza trabalho útil, e potência reativa Q = S·sin φ (var), que vai e volta entre fonte e carga. O fator de potência é cos φ. Um capacitor em paralelo fornece potência reativa localmente, então a corrente de linha cai para a mesma potência ativa.

Potência reativa de cada carga

Uma carga indutiva consome potência reativa (Q > 0); uma carga capacitiva a fornece (Q < 0).

Q1 = 24·tan(arccos 0,6) = 32 kvar
Q2 = 5·tan(arccos 0,95) = 1,643 kvar

Totais

P = 24 + 5 = 29 kW
Q = 32 + 1,643 = 33,64 kvar
S = √(29² + 33,64²) = 44,42 kVA

Fator de potência global

cos φ = P/S = 29/44,42 = 0,6529 indutivo

Resposta

cos φ = 0,6529
6.Potência CA e fator de potência

Resposta: I = 79,63 A

Potência CA: a potência aparente S = V·I (VA) se divide em potência ativa P = S·cos φ (W), que realiza trabalho útil, e potência reativa Q = S·sin φ (var), que vai e volta entre fonte e carga. O fator de potência é cos φ. Um capacitor em paralelo fornece potência reativa localmente, então a corrente de linha cai para a mesma potência ativa.

Potência reativa antes e depois

A potência ativa P não muda; só muda a potência reativa tirada da rede.

Q1 = 24·tan(arccos 0,6) = 32 kvar
QC = V²·2πf·C = 400²·2π·50·220·10⁻⁶ = 11058 var = 11,06 kvar
Q2 = 32 − 11,06 = 20,94 kvar

Nova potência aparente

S2 = √(24² + 20,94²) = 31,85 kVA

Nova corrente de linha

I = S2/V = 31852/400 = 79,63 A

Resposta

I = 79,63 A
7.Potência trifásica

Resposta: P = 8,533 kW

Sistemas trifásicos equilibrados: em uma ligação Y (estrela) a tensão de linha é √3 vezes a tensão de fase, VL = √3·Vph, e a corrente de linha é igual à corrente de fase. Em uma ligação Δ (triângulo) a tensão de linha é igual à tensão de fase e a corrente de linha é √3 vezes a corrente de fase, IL = √3·Iph. A potência total é três vezes a potência de uma fase: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ.

Tensão de fase

Vph = 400/√3 = 230,9 V

Corrente de fase

|Z| = √(12² + 9²) = 15 Ω
Iph = 230,9/15 = 15,4 A

Potência ativa total

Só a parte resistiva de cada impedância absorve potência ativa.

P = 3·Iph²·R = 3·15,4²·12 = 8,533 kW

Resposta

P = 8,533 kW

Verificação: cos φ = R/|Z| = 0,8, e √3·VL·IL·cos φ dá a mesma potência.

8.Potência trifásica

Resposta: Cph = 258,9 µF

Sistemas trifásicos equilibrados: em uma ligação Y (estrela) a tensão de linha é √3 vezes a tensão de fase, VL = √3·Vph, e a corrente de linha é igual à corrente de fase. Em uma ligação Δ (triângulo) a tensão de linha é igual à tensão de fase e a corrente de linha é √3 vezes a corrente de fase, IL = √3·Iph. A potência total é três vezes a potência de uma fase: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ. Correção do fator de potência: os capacitores fornecem potência reativa localmente, QC = P·(tan φ1 − tan φ2). Cada um dos três capacitores fornece QC/3 = V²·ω·C, onde V é a tensão sobre aquele capacitor: VL em um banco em Δ, VL/√3 em um banco em Y.

Potência reativa antes e depois

A potência ativa não muda, então cada fator de potência fixa a potência reativa: Q = P·tan φ.

Q1 = 50·tan(acos 0,65) = 50·1,169 = 58,46 kvar
Q2 = 50·tan(acos 0,95) = 50·0,3287 = 16,43 kvar

Potência reativa dos capacitores

QC = Q1 − Q2 = 42,02 kvar

Capacitância por fase

Em um banco em Δ cada capacitor está ligado entre duas linhas.

V = 415 V, ω = 2π·50 = 314,2 rad/s
Cph = (QC/3)/(ω·V²) = 14007/(314,2·415²) = 258,9 µF

Resposta

Cph = 258,9 µF

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