Identifique o conversor (buck, boost ou buck-boost) e a razão cíclica D a partir da relação de tensões.
Use o equilíbrio volt-segundo no indutor: a tensão média no indutor ao longo de um período é zero.
Encontre a tensão no indutor enquanto a chave conduz e depois ΔIL = VL·D/(L·f).
Para a ondulação da saída, encontre a carga que entra e sai do capacitor; para o limite da CCM, iguale a corrente média no indutor a ΔIL/2.
Motores CC
Circuito de armadura
V = E + IaRa
fcem e torque
E = k·ω, T = k·Ia
Velocidade
ω = 2π·n/60, ω = (V − IaRa)/k
Velocidade a vazio e torque de travamento
ω0 = V/k, Tstall = k·V/Ra
Potências
Pin = V·Ia, Pdev = E·Ia = T·ω, Pout = Pdev − Prot
Partida
Istart = V/(Ra + Rst)
Regulação de velocidade
SR = (n0 − nFL)/nFL
Potência desenvolvida máxima
Pmax = V²/(4Ra)
Acionamento com chopper
Va = D·Vdc
Método
Desenhe o circuito da armadura: alimentação V, resistência Ra e fcem E em série.
Use V = E + Ia·Ra para relacionar tensão, corrente e fcem.
Use E = k·ω para a velocidade e T = k·Ia para o torque, com ω = 2π·n/60.
Para potência e rendimento, parta de V·Ia, subtraia a perda no cobre Ia²·Ra e depois as perdas rotacionais.
Potência CA e fator de potência
Potência ativa
P = V·I·cos φ
Potência reativa
Q = V·I·sin φ
Potência aparente
S = V·I = √(P² + Q²)
Fator de potência
pf = cos φ = P/S
Capacitor de correção
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(ωV²)
Potência trifásica
Ligação em Y
VL = √3·Vph, IL = Iph
Ligação em Δ
VL = Vph, IL = √3·Iph
Potência ativa total
P = √3·VL·IL·cos φ = 3·Iph²·R
Potência aparente e reativa
S = √3·VL·IL, Q = P·tan φ
Capacitores de correção
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(3ωV²)
Tensão sobre cada capacitor
Δ: VL Y: VL/√3
Potência de entrada do motor
Pin = Pout/η
2Exercícios
1.Conversores CC-CCMédia
Um conversor buck converte 9 V em 3,6 V para uma carga de 2 Ω. Ele chaveia a 500 kHz com L = 33 µH. Encontre a corrente de pico no indutor Imax.
Vin = 9 VVo = 3,6 Vf = 500 kHzL = 33 µHR = 2 Ω
Imax = A
2.Conversores CC-CCDifícil
Um conversor buck converte 15 V em 7,5 V para uma carga de 50 Ω a 500 kHz, com L = 150 µH e C = 470 µF. Encontre a ondulação pico a pico da tensão de saída ΔVo em mV.
Um motor CC consome 12 A de uma alimentação de 48 V. Sua resistência de armadura é 0,25 Ω e suas perdas rotacionais (atrito, ventilação e ferro) são 32 W. Encontre seu rendimento η.
V = 48 VIa = 12 ARa = 0,25 ΩProt = 32 W
η = %
4.Motores CCDifícil
Um chopper CC alimenta um motor (k = 0,08 V·s/rad, Ra = 0,2 Ω) a partir de um barramento CC de 240 V. A tensão média de armadura é D·240 V. Encontre a razão cíclica D que faz o motor funcionar a 500 rpm com uma carga de 0,8 N·m.
Uma carga com impedância Z = 12 + j16 Ω está ligada a uma fonte monofásica de 230 V (eficaz). Encontre a potência aparente S.
V = 230 VZ = 12 + j16 Ω
S = VA
6.Potência CA e fator de potênciaDifícil
Uma fonte de 10 V (eficaz), 1000 Hz tem impedância interna Zs = 50 + j6 Ω. A impedância de carga ZL pode ser escolhida livremente. Encontre a potência ativa máxima Pmax que pode ser entregue à carga.
Vs = 10 V (rms)f = 1000 HzZs = 50 + j6 Ω
Pmax = W
7.Potência trifásicaMédia
Um motor de indução trifásico fornece 90 kW de potência mecânica de saída a plena carga. Nessa carga seu rendimento é 94% e seu fator de potência é 0,9 indutivo. A alimentação tem tensão de linha de 400 V. Encontre a corrente de linha IL.
Pout = 90 kWη = 94%cos φ = 0,9VL = 400 V
IL = A
8.Potência trifásicaDifícil
Uma carga trifásica equilibrada consome 60 kW com fator de potência 0,7 indutivo de uma alimentação de 415 V (tensão de linha), 60 Hz. Um banco de capacitores trifásico em paralelo com a carga deve elevar o fator de potência total para 0,98 indutivo. A potência ativa permanece a mesma. Os capacitores estão ligados em Y. Encontre a capacitância Cph de cada capacitor em µF.
P = 60 kWpf1 = 0,7pf2 = 0,98VL = 415 Vf = 60 Hz
Cph = µF
3Soluções
1.Conversores CC-CC
Resposta: Imax = 1,865 A
Conversores CC-CC: uma chave S conduz durante a fração D de cada período T = 1/f. Em regime permanente a tensão média no indutor é zero (equilíbrio volt-segundo), o que dá as relações de conversão ideais em condução contínua: buck Vo = D·Vin, boost Vo = Vin/(1 − D), buck-boost inversor |Vo| = Vin·D/(1 − D). Um conversor ideal conserva a potência: Vin·Iin = Vo·Io. Enquanto S conduz, a corrente no indutor sobe ΔIL = VL·D·T/L, com VL = Vin − Vo no buck e Vin no boost e no buck-boost. A ondulação da saída é ΔVo = ΔIL/(8fC) no buck e Io·D/(fC) no boost e no buck-boost. A corrente no indutor apenas toca o zero (o limite da CCM) quando a corrente média no indutor é igual a ΔIL/2.
Ciclo de trabalho
D = 3,6/9 = 0,4
Corrente média e ondulação
Io = 3,6/2 = 1,8 A
ΔIL = VL·D/(L·f) = 5,4·0,4/(33·10⁻⁶·500·10³) = 0,1309 A
Corrente de pico
Imax = 1,8 + 0,1309/2 = 1,865 A
Resposta
Imax = 1,865 A
2.Conversores CC-CC
Resposta: ΔVo = 0,0266 mV
Conversores CC-CC: uma chave S conduz durante a fração D de cada período T = 1/f. Em regime permanente a tensão média no indutor é zero (equilíbrio volt-segundo), o que dá as relações de conversão ideais em condução contínua: buck Vo = D·Vin, boost Vo = Vin/(1 − D), buck-boost inversor |Vo| = Vin·D/(1 − D). Um conversor ideal conserva a potência: Vin·Iin = Vo·Io. Enquanto S conduz, a corrente no indutor sobe ΔIL = VL·D·T/L, com VL = Vin − Vo no buck e Vin no boost e no buck-boost. A ondulação da saída é ΔVo = ΔIL/(8fC) no buck e Io·D/(fC) no boost e no buck-boost. A corrente no indutor apenas toca o zero (o limite da CCM) quando a corrente média no indutor é igual a ΔIL/2.
Ciclo de trabalho
D = 7,5/15 = 0,5
Ondulação de corrente no indutor
ΔIL = (15 − 7,5)·0,5/(150·10⁻⁶·500·10³) = 0,05 A
Ondulação da saída
ΔVo = 0,05/(8·500·10³·470·10⁻⁶) = 0,0266 mV
Resposta
ΔVo = 0,0266 mV
3.Motores CC
Resposta: η = 88,19 %
Motor CC: a armadura é uma resistência Ra em série com a força contraeletromotriz (fcem) E, de modo que V = E + Ia·Ra. A fcem cresce com a velocidade, E = k·ω, e o torque com a corrente, T = k·Ia, com a mesma constante do motor k (V·s/rad = N·m/A) em unidades SI. Converta velocidades com ω = 2π·n/60. A potência desenvolvida é E·Ia = T·ω; a potência de entrada é V·Ia, e a perda no cobre Ia²Ra e a perda rotacional fazem a diferença. A velocidade cai em linha reta com o torque, ω = V/k − Ra·T/k², da velocidade a vazio V/k até zero no torque de travamento k·V/Ra. Com o motor parado E = 0, então a corrente de partida V/Ra é grande, a menos que um resistor a limite.
Potências
Pin = 48·12 = 576 W
Pdev = 45·12 = 540 W
Pout = 540 − 32 = 508 W
Rendimento
η = 508/576·100 = 88,19 %
Resposta
η = 88,19 %
4.Motores CC
Resposta: D = 2,579 %
Motor CC: a armadura é uma resistência Ra em série com a força contraeletromotriz (fcem) E, de modo que V = E + Ia·Ra. A fcem cresce com a velocidade, E = k·ω, e o torque com a corrente, T = k·Ia, com a mesma constante do motor k (V·s/rad = N·m/A) em unidades SI. Converta velocidades com ω = 2π·n/60. A potência desenvolvida é E·Ia = T·ω; a potência de entrada é V·Ia, e a perda no cobre Ia²Ra e a perda rotacional fazem a diferença. A velocidade cai em linha reta com o torque, ω = V/k − Ra·T/k², da velocidade a vazio V/k até zero no torque de travamento k·V/Ra. Com o motor parado E = 0, então a corrente de partida V/Ra é grande, a menos que um resistor a limite.
Tensão de armadura necessária
Va = 0,08·52,36 + 10·0,2 = 6,189 V
Ciclo de trabalho
D = 6,189/240 = 2,579 %
Resposta
D = 2,579 %
5.Potência CA e fator de potência
Resposta: S = 2645 VA
Potência CA: a potência aparente S = V·I (VA) se divide em potência ativa P = S·cos φ (W), que realiza trabalho útil, e potência reativa Q = S·sin φ (var), que vai e volta entre fonte e carga. O fator de potência é cos φ. Um capacitor em paralelo fornece potência reativa localmente, então a corrente de linha cai para a mesma potência ativa.
Corrente
|Z| = √(12² + 16²) = 20 Ω
I = V/|Z| = 230/20 = 11,5 A
Potência aparente
S = V·I = 230·11,5 = 2645 VA
Resposta
S = 2645 VA
6.Potência CA e fator de potência
Resposta: Pmax = 0,5 W
Potência CA: a potência aparente S = V·I (VA) se divide em potência ativa P = S·cos φ (W), que realiza trabalho útil, e potência reativa Q = S·sin φ (var), que vai e volta entre fonte e carga. O fator de potência é cos φ. Um capacitor em paralelo fornece potência reativa localmente, então a corrente de linha cai para a mesma potência ativa.
Casamento conjugado
A reatância da carga anula a reatância da fonte, e a resistência da carga é igual à resistência da fonte.
ZL = Zs* = 50 − j6 Ω
Potência máxima
I = Vs/(2Rs) = 10/100 = 0,1 A
Pmax = I²·RL = Vs²/(4Rs) = 10²/(4·50) = 0,5 W
Resposta
Pmax = 0,5 W
7.Potência trifásica
Resposta: IL = 153,6 A
Sistemas trifásicos equilibrados: em uma ligação Y (estrela) a tensão de linha é √3 vezes a tensão de fase, VL = √3·Vph, e a corrente de linha é igual à corrente de fase. Em uma ligação Δ (triângulo) a tensão de linha é igual à tensão de fase e a corrente de linha é √3 vezes a corrente de fase, IL = √3·Iph. A potência total é três vezes a potência de uma fase: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ.
Potência elétrica de entrada
Pin = Pout/η = 90/0,94 = 95,74 kW
Corrente de linha
IL = Pin/(√3·VL·cos φ) = 95745/(√3·400·0,9) = 153,6 A
Resposta
IL = 153,6 A
8.Potência trifásica
Resposta: Cph = 755,1 µF
Sistemas trifásicos equilibrados: em uma ligação Y (estrela) a tensão de linha é √3 vezes a tensão de fase, VL = √3·Vph, e a corrente de linha é igual à corrente de fase. Em uma ligação Δ (triângulo) a tensão de linha é igual à tensão de fase e a corrente de linha é √3 vezes a corrente de fase, IL = √3·Iph. A potência total é três vezes a potência de uma fase: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ. Correção do fator de potência: os capacitores fornecem potência reativa localmente, QC = P·(tan φ1 − tan φ2). Cada um dos três capacitores fornece QC/3 = V²·ω·C, onde V é a tensão sobre aquele capacitor: VL em um banco em Δ, VL/√3 em um banco em Y.
Potência reativa antes e depois
A potência ativa não muda, então cada fator de potência fixa a potência reativa: Q = P·tan φ.
Q1 = 60·tan(acos 0,7) = 60·1,02 = 61,21 kvar
Q2 = 60·tan(acos 0,98) = 60·0,2031 = 12,18 kvar
Potência reativa dos capacitores
QC = Q1 − Q2 = 49,03 kvar
Capacitância por fase
Em um banco em Y cada capacitor está ligado entre uma linha e o centro da estrela.