Identifique o conversor (buck, boost ou buck-boost) e a razão cíclica D a partir da relação de tensões.
Use o equilíbrio volt-segundo no indutor: a tensão média no indutor ao longo de um período é zero.
Encontre a tensão no indutor enquanto a chave conduz e depois ΔIL = VL·D/(L·f).
Para a ondulação da saída, encontre a carga que entra e sai do capacitor; para o limite da CCM, iguale a corrente média no indutor a ΔIL/2.
Motores CC
Circuito de armadura
V = E + IaRa
fcem e torque
E = k·ω, T = k·Ia
Velocidade
ω = 2π·n/60, ω = (V − IaRa)/k
Velocidade a vazio e torque de travamento
ω0 = V/k, Tstall = k·V/Ra
Potências
Pin = V·Ia, Pdev = E·Ia = T·ω, Pout = Pdev − Prot
Partida
Istart = V/(Ra + Rst)
Regulação de velocidade
SR = (n0 − nFL)/nFL
Potência desenvolvida máxima
Pmax = V²/(4Ra)
Acionamento com chopper
Va = D·Vdc
Método
Desenhe o circuito da armadura: alimentação V, resistência Ra e fcem E em série.
Use V = E + Ia·Ra para relacionar tensão, corrente e fcem.
Use E = k·ω para a velocidade e T = k·Ia para o torque, com ω = 2π·n/60.
Para potência e rendimento, parta de V·Ia, subtraia a perda no cobre Ia²·Ra e depois as perdas rotacionais.
Potência CA e fator de potência
Potência ativa
P = V·I·cos φ
Potência reativa
Q = V·I·sin φ
Potência aparente
S = V·I = √(P² + Q²)
Fator de potência
pf = cos φ = P/S
Capacitor de correção
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(ωV²)
Potência trifásica
Ligação em Y
VL = √3·Vph, IL = Iph
Ligação em Δ
VL = Vph, IL = √3·Iph
Potência ativa total
P = √3·VL·IL·cos φ = 3·Iph²·R
Potência aparente e reativa
S = √3·VL·IL, Q = P·tan φ
Capacitores de correção
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(3ωV²)
Tensão sobre cada capacitor
Δ: VL Y: VL/√3
Potência de entrada do motor
Pin = Pout/η
2Exercícios
1.Conversores CC-CCMédia
Um conversor buck-boost inversor ideal converte 48 V em −72 V a 40 kHz com L = 330 µH. Encontre a ondulação pico a pico da corrente no indutor ΔIL.
Vin = 48 VVo = −72 Vf = 40 kHzL = 330 µH
ΔIL = A
2.Conversores CC-CCDifícil
Um conversor buck-boost inversor ideal converte 12 V em −4 V para uma carga de 10 Ω a 50 kHz. Encontre a menor indutância Lcrit para condução contínua.
Vin = 12 VVo = −4 Vf = 50 kHzR = 10 Ω
Lcrit = µH
3.Motores CCMédia
Um motor CC fornece 0,5 kW de potência mecânica a 2000 rpm. Encontre o torque no eixo T.
P = 0,5 kWn = 2000 rpm
T = N·m
4.Motores CCDifícil
Um motor CC de excitação independente (k = 0,4 V·s/rad com campo pleno, Ra = 1 Ω, V = 120 V) aciona um torque de carga constante de 1,6 N·m. O fluxo de campo é reduzido a 90 % do seu valor pleno. Encontre a nova velocidade n.
Duas cargas estão ligadas em paralelo a uma fonte monofásica de 230 V: uma carga de 6 kW com fator de potência 0,6 indutivo e uma carga de 27 kW com fator de potência 0,85 capacitivo. Encontre o fator de potência global cos φ visto pela fonte.
Um transformador monofásico de 15 kVA alimenta uma carga de 6 kW com fator de potência 0,75 indutivo. Quanta potência ativa adicional ΔP pode ser acrescentada como carga resistiva (fator de potência unitário) antes que o transformador atinja sua potência nominal em kVA?
Smax = 15 kVAP1 = 6 kWpf1 = 0,75
ΔP = kW
7.Potência trifásicaMédia
Uma carga trifásica equilibrada consome uma corrente de linha de 50 A de uma alimentação com tensão de linha de 415 V. O fator de potência é 0,92 indutivo. Encontre a potência ativa total P consumida pela carga em kW.
VL = 415 VIL = 50 Acos φ = 0,92
P = kW
8.Potência trifásicaDifícil
Uma carga trifásica equilibrada consome 150 kW com fator de potência 0,8 indutivo de uma alimentação de 690 V (tensão de linha), 50 Hz. Um banco de capacitores trifásico em paralelo com a carga deve elevar o fator de potência total para 0,98 indutivo. A potência ativa permanece a mesma. Encontre a potência reativa total QC que o banco de capacitores deve fornecer, em kvar.
P = 150 kWpf1 = 0,8pf2 = 0,98VL = 690 Vf = 50 Hz
QC = kvar
3Soluções
1.Conversores CC-CC
Resposta: ΔIL = 2,182 A
Conversores CC-CC: uma chave S conduz durante a fração D de cada período T = 1/f. Em regime permanente a tensão média no indutor é zero (equilíbrio volt-segundo), o que dá as relações de conversão ideais em condução contínua: buck Vo = D·Vin, boost Vo = Vin/(1 − D), buck-boost inversor |Vo| = Vin·D/(1 − D). Um conversor ideal conserva a potência: Vin·Iin = Vo·Io. Enquanto S conduz, a corrente no indutor sobe ΔIL = VL·D·T/L, com VL = Vin − Vo no buck e Vin no boost e no buck-boost. A ondulação da saída é ΔVo = ΔIL/(8fC) no buck e Io·D/(fC) no boost e no buck-boost. A corrente no indutor apenas toca o zero (o limite da CCM) quando a corrente média no indutor é igual a ΔIL/2.
Ciclo de trabalho
D = 72/(48 + 72) = 0,6
Tensão no indutor durante o tempo de condução
Enquanto S conduz, o indutor fica diretamente sobre Vin.
VL = 48 V
Ondulação de corrente
ΔIL = VL·D/(L·f) = 48·0,6/(330·10⁻⁶·40·10³) = 2,182 A
Resposta
ΔIL = 2,182 A
2.Conversores CC-CC
Resposta: Lcrit = 56,25 µH
Conversores CC-CC: uma chave S conduz durante a fração D de cada período T = 1/f. Em regime permanente a tensão média no indutor é zero (equilíbrio volt-segundo), o que dá as relações de conversão ideais em condução contínua: buck Vo = D·Vin, boost Vo = Vin/(1 − D), buck-boost inversor |Vo| = Vin·D/(1 − D). Um conversor ideal conserva a potência: Vin·Iin = Vo·Io. Enquanto S conduz, a corrente no indutor sobe ΔIL = VL·D·T/L, com VL = Vin − Vo no buck e Vin no boost e no buck-boost. A ondulação da saída é ΔVo = ΔIL/(8fC) no buck e Io·D/(fC) no boost e no buck-boost. A corrente no indutor apenas toca o zero (o limite da CCM) quando a corrente média no indutor é igual a ΔIL/2.
Ciclo de trabalho
D = 4/(12 + 4) = 0,25
Condição de limite
Iguale a corrente média no indutor à metade da ondulação de corrente e resolva para L.
Lcrit = (1 − D)²·R/(2f)
Indutância crítica
Lcrit = (1 − 0,25)²·10/(250·10³) = 56,25 µH
Resposta
Lcrit = 56,25 µH
3.Motores CC
Resposta: T = 2,387 N·m
Motor CC: a armadura é uma resistência Ra em série com a força contraeletromotriz (fcem) E, de modo que V = E + Ia·Ra. A fcem cresce com a velocidade, E = k·ω, e o torque com a corrente, T = k·Ia, com a mesma constante do motor k (V·s/rad = N·m/A) em unidades SI. Converta velocidades com ω = 2π·n/60. A potência desenvolvida é E·Ia = T·ω; a potência de entrada é V·Ia, e a perda no cobre Ia²Ra e a perda rotacional fazem a diferença. A velocidade cai em linha reta com o torque, ω = V/k − Ra·T/k², da velocidade a vazio V/k até zero no torque de travamento k·V/Ra. Com o motor parado E = 0, então a corrente de partida V/Ra é grande, a menos que um resistor a limite.
Velocidade em rad/s
ω = 2π·2000/60 = 209,4 rad/s
Torque
T = P/ω = 500/209,4 = 2,387 N·m
Resposta
T = 2,387 N·m
4.Motores CC
Resposta: n = 3065 rpm
Motor CC: a armadura é uma resistência Ra em série com a força contraeletromotriz (fcem) E, de modo que V = E + Ia·Ra. A fcem cresce com a velocidade, E = k·ω, e o torque com a corrente, T = k·Ia, com a mesma constante do motor k (V·s/rad = N·m/A) em unidades SI. Converta velocidades com ω = 2π·n/60. A potência desenvolvida é E·Ia = T·ω; a potência de entrada é V·Ia, e a perda no cobre Ia²Ra e a perda rotacional fazem a diferença. A velocidade cai em linha reta com o torque, ω = V/k − Ra·T/k², da velocidade a vazio V/k até zero no torque de travamento k·V/Ra. Com o motor parado E = 0, então a corrente de partida V/Ra é grande, a menos que um resistor a limite.
O enfraquecimento de campo é a forma de um acionamento CC operar acima da sua velocidade base.
5.Potência CA e fator de potência
Resposta: cos φ = 0,9667
Potência CA: a potência aparente S = V·I (VA) se divide em potência ativa P = S·cos φ (W), que realiza trabalho útil, e potência reativa Q = S·sin φ (var), que vai e volta entre fonte e carga. O fator de potência é cos φ. Um capacitor em paralelo fornece potência reativa localmente, então a corrente de linha cai para a mesma potência ativa.
Potência reativa de cada carga
Uma carga indutiva consome potência reativa (Q > 0); uma carga capacitiva a fornece (Q < 0).
Q1 = 6·tan(arccos 0,6) = 8 kvar
Q2 = −27·tan(arccos 0,85) = −16,73 kvar
Totais
P = 6 + 27 = 33 kW
Q = 8 + (−16,73) = −8,733 kvar
S = √(33² + (−8,733)²) = 34,14 kVA
Fator de potência global
cos φ = P/S = 33/34,14 = 0,9667 capacitivo
Resposta
cos φ = 0,9667
6.Potência CA e fator de potência
Resposta: ΔP = 8,036 kW
Potência CA: a potência aparente S = V·I (VA) se divide em potência ativa P = S·cos φ (W), que realiza trabalho útil, e potência reativa Q = S·sin φ (var), que vai e volta entre fonte e carga. O fator de potência é cos φ. Um capacitor em paralelo fornece potência reativa localmente, então a corrente de linha cai para a mesma potência ativa.
Potência reativa da carga existente
Q1 = 6·tan(arccos 0,75) = 5,292 kvar
Maior potência ativa total
Na potência nominal S = Smax, e Q não é alterada pela carga resistiva.
P = √(Smax² − Q1²) = √(15² − 5,292²) = 14,04 kW
Potência ativa adicional
ΔP = 14,04 − 6 = 8,036 kW
Resposta
ΔP = 8,036 kW
7.Potência trifásica
Resposta: P = 33,06 kW
Sistemas trifásicos equilibrados: em uma ligação Y (estrela) a tensão de linha é √3 vezes a tensão de fase, VL = √3·Vph, e a corrente de linha é igual à corrente de fase. Em uma ligação Δ (triângulo) a tensão de linha é igual à tensão de fase e a corrente de linha é √3 vezes a corrente de fase, IL = √3·Iph. A potência total é três vezes a potência de uma fase: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ.
Potência aparente
S = √3·VL·IL = √3·415·50 = 35,94 kVA
Potência ativa
P = S·cos φ = 35,94·0,92 = 33,06 kW
Resposta
P = 33,06 kW
8.Potência trifásica
Resposta: QC = 82,04 kvar
Sistemas trifásicos equilibrados: em uma ligação Y (estrela) a tensão de linha é √3 vezes a tensão de fase, VL = √3·Vph, e a corrente de linha é igual à corrente de fase. Em uma ligação Δ (triângulo) a tensão de linha é igual à tensão de fase e a corrente de linha é √3 vezes a corrente de fase, IL = √3·Iph. A potência total é três vezes a potência de uma fase: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ. Correção do fator de potência: os capacitores fornecem potência reativa localmente, QC = P·(tan φ1 − tan φ2). Cada um dos três capacitores fornece QC/3 = V²·ω·C, onde V é a tensão sobre aquele capacitor: VL em um banco em Δ, VL/√3 em um banco em Y.
Potência reativa antes e depois
A potência ativa não muda, então cada fator de potência fixa a potência reativa: Q = P·tan φ.