Sinais e Sistemas: pacote de revisão

Convolução contínua: y(t) = ∫ x(τ)·h(t − τ) dτ. Inverta h, deslize-a até a posição t e integre o produto das partes sobrepostas. Para sinais causais a integral vai de 0 a t. Resultados úteis: a área de y é a área de x vezes a área de h; se x dura de t₁ a t₂ e h de t₃ a t₄, y dura de t₁ + t₃ a t₂ + t₄. Para h(t) = e^−atu(t) e um degrau de altura A, y(t) = (A/a)(1 − e^−at).

Resposta ao impulso e série de Fourier: a resposta ao impulso h(t) descreve completamente um sistema LIT: para y′ + a·y = b·x ela é h(t) = b·e^−atu(t), e para y[n] = a·y[n − 1] + b·x[n] ela é h[n] = b·aⁿu[n]. Uma senoide cos ωt passa com ganho |H(jω)| e fase ∠H(jω), onde H é a transformada de Fourier de h. Um sinal periódico é uma soma de harmônicos em k/T: uma onda quadrada de ±A tem apenas harmônicos ímpares com amplitudes 4A/(kπ), uma onda triangular de pico A tem 8A/(π²k²), e um trem de pulsos de altura A e ciclo de trabalho D tem a média A·D e os harmônicos (2A/(kπ))·|sen(kπD)|.

Transformada de Laplace: F(s) = ∫₀^∞ f(t)·e^−st dt transforma derivadas em multiplicações por s: ℒ{f′} = sF(s) − f(0), ℒ{f″} = s²F(s) − s·f(0) − f′(0). Pares usuais: 1 ↔ 1/s, e^−at ↔ 1/(s + a), t·e^−at ↔ 1/(s + a)², sin ωt ↔ ω/(s² + ω²), cos ωt ↔ s/(s² + ω²), e um deslocamento s → s + σ multiplica a função do tempo por e^−σt. Para inverter uma F(s) racional, decomponha-a em frações parciais: o resíduo de um polo simples p é A = [(s − p)·F(s)] em s = p. Teorema do valor final: f(∞) = lim_s→0 s·F(s), válido apenas quando todos os polos de s·F(s) estão no semiplano esquerdo. Teorema do valor inicial: f(0⁺) = lim_s→∞ s·F(s).

Transformada de Laplace: F(s) = ∫₀^∞ f(t)·e^−st dt transforma derivadas em multiplicações por s: ℒ{f′} = sF(s) − f(0), ℒ{f″} = s²F(s) − s·f(0) − f′(0). Pares usuais: 1 ↔ 1/s, e^−at ↔ 1/(s + a), t·e^−at ↔ 1/(s + a)², sin ωt ↔ ω/(s² + ω²), cos ωt ↔ s/(s² + ω²), e um deslocamento s → s + σ multiplica a função do tempo por e^−σt. Para inverter uma F(s) racional, decomponha-a em frações parciais: o resíduo de um polo simples p é A = [(s − p)·F(s)] em s = p. Teorema do valor final: f(∞) = lim_s→0 s·F(s), válido apenas quando todos os polos de s·F(s) estão no semiplano esquerdo. Teorema do valor inicial: f(0⁺) = lim_s→∞ s·F(s).

Resposta ao degrau: um sistema de primeira ordem G(s) = K/(τs + 1) responde a um degrau de tamanho U com y(t) = K·U·(1 − e^−t/τ): ele atinge 63,2 % do valor final K·U após uma constante de tempo τ e 98 % após 4τ. Um sistema de segunda ordem G(s) = K·ωₙ²/(s² + 2ζωₙs + ωₙ²) tem os polos s = −ζωₙ ± jω_d com ω_d = ωₙ√(1 − ζ²). Para 0 < ζ < 1 a resposta ao degrau tem sobressinal: sobressinal percentual %OS = 100·e^{−ζπ/√(1−ζ²)}, tempo de pico t_p = π/ω_d e tempo de acomodação de 2 % t_s ≈ 4/(ζωₙ). Compare o denominador com s² + 2ζωₙs + ωₙ² para obter ωₙ e ζ. Para um sistema massa–mola–amortecedor, ωₙ = √(k/m) e ζ = c/(2√(km)); para um circuito RLC série, ωₙ = 1/√(LC) e ζ = (R/2)·√(C/L).

Resposta ao degrau: um sistema de primeira ordem G(s) = K/(τs + 1) responde a um degrau de tamanho U com y(t) = K·U·(1 − e^−t/τ): ele atinge 63,2 % do valor final K·U após uma constante de tempo τ e 98 % após 4τ. Um sistema de segunda ordem G(s) = K·ωₙ²/(s² + 2ζωₙs + ωₙ²) tem os polos s = −ζωₙ ± jω_d com ω_d = ωₙ√(1 − ζ²). Para 0 < ζ < 1 a resposta ao degrau tem sobressinal: sobressinal percentual %OS = 100·e^{−ζπ/√(1−ζ²)}, tempo de pico t_p = π/ω_d e tempo de acomodação de 2 % t_s ≈ 4/(ζωₙ). Compare o denominador com s² + 2ζωₙs + ωₙ² para obter ωₙ e ζ. Para um sistema massa–mola–amortecedor, ωₙ = √(k/m) e ζ = c/(2√(km)); para um circuito RLC série, ωₙ = 1/√(LC) e ζ = (R/2)·√(C/L).

Resposta em frequência: substitua s = jω na função de transferência. O módulo em decibéis é 20·log₁₀|H(jω)| e a fase é a soma dos ângulos dos fatores do numerador menos os do denominador. Um filtro RC ou RL de primeira ordem tem sua frequência de corte (−3 dB) em ω_c = 1/(RC) ou R/L, e f_c = ω_c/(2π); um filtro passa-baixas dá |H| = 1/√(1 + (ω/ω_c)²) e φ = −atan(ω/ω_c). No diagrama de Bode assintótico (de retas), cada polo inclina o módulo para baixo em 20 dB/década na sua frequência de canto, cada zero o inclina para cima em 20 dB/década, e um integrador 1/s dá −20 dB/década em todas as frequências. Cruzamento de ganho ω_c: |L(jω)| = 1 (0 dB); margem de fase MF = 180° + ∠L(jω_c). Cruzamento de fase ω₁₈₀: ∠L(jω) = −180°; margem de ganho MG = −20·log₁₀|L(jω₁₈₀)| dB. A malha fechada é estável quando as duas margens são positivas.

Resposta em frequência: substitua s = jω na função de transferência. O módulo em decibéis é 20·log₁₀|H(jω)| e a fase é a soma dos ângulos dos fatores do numerador menos os do denominador. Um filtro RC ou RL de primeira ordem tem sua frequência de corte (−3 dB) em ω_c = 1/(RC) ou R/L, e f_c = ω_c/(2π); um filtro passa-baixas dá |H| = 1/√(1 + (ω/ω_c)²) e φ = −atan(ω/ω_c). No diagrama de Bode assintótico (de retas), cada polo inclina o módulo para baixo em 20 dB/década na sua frequência de canto, cada zero o inclina para cima em 20 dB/década, e um integrador 1/s dá −20 dB/década em todas as frequências. Cruzamento de ganho ω_c: |L(jω)| = 1 (0 dB); margem de fase MF = 180° + ∠L(jω_c). Cruzamento de fase ω₁₈₀: ∠L(jω) = −180°; margem de ganho MG = −20·log₁₀|L(jω₁₈₀)| dB. A malha fechada é estável quando as duas margens são positivas.