Estática: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 12 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Vetores: produto escalar e vetorial

Módulo: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
Vetor unitário: û = a/|a|
Componentes a partir de um ângulo: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
Produto escalar: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
Projeção escalar de a sobre b: a·b/|b|
Trabalho: W = F·d
Produto vetorial: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
Áreas: paralelogramo |a × b|, triângulo ½|a × b|
Momento em relação a O: M_O = r × F, r = A − O
Volume de um paralelepípedo: V = |a·(b × c)|

Método

Escreva todo vetor em componentes; para uma força dada por um módulo e um ângulo, use F·cos θ e F·sin θ.
Para comprimentos e direções use o módulo √(x² + y² + z²) e o vetor unitário a/|a|.
Use o produto escalar para ângulos, projeções, perpendicularidade e trabalho: a·b = |a||b|cos θ.
Use o produto vetorial para vetores perpendiculares, áreas e momentos: escreva as três componentes com cuidado, mantendo a ordem a × b.

Reações de apoio em vigas

Equilíbrio: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Carga uniforme: resultante w·L no meio da carga
Momento: M = F·d

Método

Desenhe um diagrama de corpo livre e substitua cada apoio por suas reações.
Substitua cada carga distribuída por uma única força no seu centroide.
Tome momentos em relação a um apoio para encontrar a reação no outro.
Use ΣF_y = 0 para encontrar a reação restante e confira com uma segunda equação de momentos.

Treliça: método dos nós

Método dos nós: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Método das seções: ΣM = 0 about a cut point
Esforço na barra: positivo = tração, negativo = compressão

Método

Encontre as reações de apoio da treliça inteira.
Método dos nós: comece em um nó com no máximo duas forças de barra desconhecidas e use ΣF_x = 0 e ΣF_y = 0.
Método das seções: corte a barra de que você precisa e tome momentos em relação a um ponto onde as outras barras desconhecidas se encontram.
Suponha tração; uma resposta negativa significa compressão.

Pórticos e máquinas

Equilíbrio de cada membro: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Membro de duas forças: força ao longo da reta que passa pelos seus dois pinos
Força no pino: iguais e opostas nos dois membros que ele liga
Módulo de uma força no pino: F = √(F_x² + F_y²)
Alavanca, alicate, alavanca angular: F_in·a = F_out·b
Articulação de joelho: F_link = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
Carga uniforme: resultante w·L no meio da carga

Método

Desenhe a estrutura inteira e encontre as reações de apoio se houver no máximo três incógnitas.
Identifique os membros de duas forças: carregados apenas em dois pinos, sua força atua ao longo da reta entre os pinos.
Desmonte o pórtico e desenhe cada membro separadamente, com forças nos pinos iguais e opostas onde os membros se encontram.
Para cada membro, tome momentos em torno de um pino com forças desconhecidas e use depois ΣF_x = 0 e ΣF_y = 0; combine as componentes em um módulo só no final.

Esforço cortante e momento fletor

Cortante e momento: V = ΣF de um lado, M = ΣF·d de um lado
Tensão de flexão: σ = M·y/I
Retângulo: I = bh³/12
Módulo de resistência: W = I/y_max
Viga biapoiada, carga uniforme: M_max = wL²/8

Método

Encontre as reações de apoio pelo equilíbrio da viga inteira.
Corte a viga na seção de que você precisa e fique com um dos lados.
Esforço cortante: soma das forças verticais daquele lado. Momento fletor: soma dos momentos dessas forças em relação ao corte.
Para o momento máximo, encontre onde o esforço cortante é zero.

Centroide e momento de inércia

Centroide: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Retângulo: I = bh³/12
Teorema dos eixos paralelos: I = I_c + A·d²
Seção composta: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

2Exercícios

1.Vetores: produto escalar e vetorialMédia

Uma força constante F = (10, 25, 0) N atua sobre um objeto enquanto ele se move em linha reta do ponto A(−5, −4, 1) ao ponto B(−4, 5, −1). As coordenadas estão em metros. Encontre o trabalho W realizado pela força.

F = (10, 25, 0) NA(−5, −4, 1) mB(−4, 5, −1) m

W = J

2.Vetores: produto escalar e vetorialDifícil

Encontre a área A do triângulo de vértices A(−4, 1, −4), B(2, 2, 2) e C(−1, 0, 1). As coordenadas estão em metros.

A(−4, 1, −4)B(2, 2, 2)C(−1, 0, 1)

A = m²

3.Reações de apoio em vigasMédia

A viga simplesmente apoiada tem um apoio fixo em A e um apoio móvel em B. Ela suporta uma carga concentrada P a 1,5 m de A e um binário horário M a 2 m de A. Encontre a reação vertical R_A, considerando positivo para cima.

L = 4 mP = 45 kN em 1,5 mM = 40 kN·m (horário) em 2 m

R_A = kN

4.Reações de apoio em vigasDifícil

Uma viga composta está engastada na parede em A, tem uma rótula interna em C (a 4 m de A) e se apoia em um apoio móvel em D (a 10 m de A). Ela suporta uma carga concentrada P a 7 m de A e uma carga concentrada Q a 2 m de A. Encontre a reação R_D no apoio móvel.

AC = 4 mAD = 10 mP = 25 kN em 7 mQ = 25 kN em 2 m

R_D = kN

5.Treliça: método dos nósMédia

Use o método dos nós para encontrar a força F_BC na barra BC. Dê tração como positiva e compressão como negativa.

vão = 4 maltura = 4 mB está a 3 m de Acarga vertical = 55 kN

F_BC = kN

6.Treliça: método dos nósDifícil

Use o método dos nós para encontrar a força F_AC na barra AC. Dê tração como positiva e compressão como negativa.

vão = 4 maltura = 3 mB está a 3 m de Acarga vertical = 45 kNcarga horizontal = 5 kN ←

F_AC = kN

7.Pórticos e máquinasMédia

O pórtico em A mostrado está apoiado em um pino em A e em um rolete em B, a 2,4 m de distância, com o pino do vértice C a 4 m de altura e o tirante horizontal DE a 1 m acima do solo. Uma carga vertical de 2 kN atua na perna AC em K, a 0,72 m (na horizontal) de A. Encontre a tração T no tirante.

P = 2 kNAB = 2,4 maltura de C = 4 maltura de DE = 1 mdistância horizontal de A a K = 0,72 m

T = kN

8.Pórticos e máquinasDifícil

Uma lança horizontal uniforme AB de peso 1,5 kN está articulada a uma parede em A e sustentada por um cabo que vai da sua extremidade B ao ponto C da parede, 3 m acima de A. Uma carga de 5 kN está pendurada em B. Encontre a tração T no cabo.

W = 5 kNW_b = 1,5 kNAB = 2 mAC = 3 m

T = kN

9.Esforço cortante e momento fletorMédia

As marcas A a G dividem a viga em seis partes iguais. Em qual marca o momento fletor é maior em valor absoluto, positivo ou negativo? Clique nela no diagrama.

40 kN @ 2 m10 kN/m, 0–6 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

10.Esforço cortante e momento fletorDifícil

A viga simplesmente apoiada suporta uma carga uniformemente distribuída w em todo o vão e uma carga concentrada P. Encontre o momento fletor máximo M_max na viga.

L = 8 mP = 60 kN em 2 mw = 4 kN/m de 0 a 8 m

M_max = kN·m

11.Centroide e momento de inérciaMédia

Um tubo circular tem diâmetro externo D = 280 mm e diâmetro interno d = 248 mm. Encontre seu raio de giração r em relação ao eixo centroidal horizontal.

D = 280 mmd = 248 mm

r = mm

12.Centroide e momento de inérciaDifícil

A seção T é usada como viga com a mesa em cima e suporta um momento fletor positivo de 20 kN·m. Encontre a tensão de flexão σ_base na borda inferior.

b_f = 180 mmt_f = 30 mmt_w = 16 mmh_w = 200 mmM = 20 kN·m

σ_base = MPa

3Soluções

1.Vetores: produto escalar e vetorial

Resposta: W = 235 J

Dot product: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.

Deslocamento

d = B − A = (−4, 5, −1) − (−5, −4, 1) = (1, 9, −2) m

Trabalho

W = F·d = 10·1 + 25·9 + 0·(−2) = 235 J

Resposta

W = 235 J

2.Vetores: produto escalar e vetorial

Resposta: A = 9,301 m²

Cross product: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is M_O = r × F, with r = A − O.

Vetores das arestas

AB = B − A = (6, 1, 6)

AC = C − A = (3, −1, 5)

Produto vetorial

(AB × AC)_x = AB_yAC_z − AB_zAC_y = 1·5 − 6·(−1) = 11

(AB × AC)_y = AB_zAC_x − AB_xAC_z = 6·3 − 6·5 = −12

(AB × AC)_z = AB_xAC_y − AB_yAC_x = 6·(−1) − 1·3 = −9

|AB × AC| = √(11² + (−12)² + (−9)²) = 18,6

Área do triângulo

A = ½·18,6 = 9,301 m²

Resposta

A = 9,301 m²

3.Reações de apoio em vigas

Resposta: R_A = 18,13 kN

Momentos em relação a A

Anti-horário positivo.

ΣM_A = 0: R_B·4 − 45·1,5 − 40 = 0

R_B = 107,5/4 = 26,88 kN

Equilíbrio vertical

R_A = 45 − 26,88 = 18,13 kN

Resposta

R_A = 18,13 kN

Uma reação negativa atua para baixo.

4.Reações de apoio em vigas

Resposta: R_D = 12,5 kN

Equilíbrio estático: um corpo em repouso tem ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 e ΣM = 0 em relação a qualquer ponto. Substitua cada carga distribuída pela sua resultante (a sua área) atuando no centroide do diagrama de carga, e tome momentos em relação a um apoio para eliminar a reação desse apoio da equação. Uma rótula interna não pode transmitir momento fletor, o que dá uma equação adicional: o momento em relação à rótula das forças de qualquer um dos lados é zero.

Trecho CD

A rótula não tem momento, então os momentos em relação a C só no trecho CD devem se equilibrar.

ΣM_C = 0: R_D·6 = 25·3

R_D = 12,5 kN

V_C = 25 − 12,5 = 12,5 kN

Resposta

R_D = 12,5 kN

5.Treliça: método dos nós

Resposta: F_BC = −42,52 kN

Método dos nós: cada nó de uma treliça está em equilíbrio, então ΣF_x = 0 e ΣF_y = 0 em cada nó. Comece por um nó com no máximo duas forças de barra desconhecidas. Um resultado negativo significa que a barra está comprimida.

Reações de apoio

Equilíbrio da treliça inteira. Momentos em relação a A, positivos no sentido anti-horário.

ΣM_A = 0: C_y·4 = 55·3 → C_y = 41,25 kN

ΣF_y = 0: A_y = 55 − 41,25 = 13,75 kN

Nó C

O apoio móvel dá apenas uma reação vertical, então o nó C tem só duas forças de barra desconhecidas. Suponha ambas tracionadas.

sin γ = 4/4,123 = 0,9701, cos γ = 1/4,123 = 0,2425

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −41,25/0,9701 = −42,52 kN

Resposta

F_BC = −42,52 kN (compressão)

6.Treliça: método dos nós

Resposta: F_AC = 10 kN

Reações de apoio

Equilíbrio da treliça inteira. Momentos em relação a A, positivos no sentido anti-horário.

ΣM_A = 0: C_y·4 = 45·3 − 5·3 → C_y = 30 kN

ΣF_y = 0: A_y = 45 − 30 = 15 kN

ΣF_x = 0: A_x = 5 kN

Nó C

O apoio móvel dá apenas uma reação vertical, então o nó C tem só duas forças de barra desconhecidas. Suponha ambas tracionadas.

sin γ = 3/3,162 = 0,9487, cos γ = 1/3,162 = 0,3162

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −30/0,9487 = −31,62 kN

ΣF_x = 0: −F_AC − F_BC·cos γ = 0 → F_AC = −(−31,62)·0,3162 = 10 kN

Resposta

F_AC = 10 kN (tração)

7.Pórticos e máquinas

Resposta: T = 0,24 kN

Pórticos e máquinas: ao contrário de uma treliça, um pórtico contém pelo menos um membro que suporta forças em mais de dois pontos, ou uma carga entre seus pinos. Procure primeiro os membros de duas forças: um membro carregado apenas em dois pinos tem sua força ao longo da reta que passa por eles, de modo que traz uma incógnita, e não duas. Depois use a estrutura inteira para as reações de apoio quando houver no máximo três incógnitas. Por fim, desmonte o pórtico: desenhe cada membro separadamente, com as forças nos pinos iguais e opostas nos dois membros que eles ligam, e escreva ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 e ΣM = 0 para ele. Tomar momentos em torno de um pino elimina da equação as duas componentes da força desse pino.

Pórtico inteiro: momentos em torno de A

B_y = 2·0,72/2,4 = 0,6 kN

Perna BC: momentos em torno de C

0,6·1,2 = T·3

T = 0,24 kN

Resposta

T = 0,24 kN

8.Pórticos e máquinas

Resposta: T = 6,911 kN

Ângulo do cabo

BC = √(2² + 3²) = 3,606 m, sin β = 0,8321

Momentos em relação a A

T·0,8321·2 = 5·2 + 1,5·1

T = 6,911 kN

Resposta

T = 6,911 kN

9.Esforço cortante e momento fletor

Resposta: C (x = 2 m)

Maior momento fletor: M muda de inclinação onde quer que a força cortante mude, então seus picos ficam onde a força cortante cruza o zero: sob uma carga pontual, dentro de uma carga distribuída ou sobre um apoio de um balanço. No engaste de uma viga em balanço, o momento é maior na parede. Compare o tamanho de M nesses lugares, positivo ou negativo.

Reações de apoio

Tome momentos em torno de um apoio e depois use o equilíbrio das forças verticais.

R₁ = 56,67 kN, R₂ = 43,33 kN

Momento fletor em cada marca

Some os momentos de todas as forças de um lado do corte. O momento que traciona embaixo é positivo, o que traciona em cima é negativo.

M_A = 0, M_B = 51,67, M_C = 93,33 kN·m, M_D = 85, M_E = 66,67, M_F = 38,33, M_G = 0

Resposta

Marca C: M_C = 93,33 kN·m

10.Esforço cortante e momento fletor

Resposta: M_max = 114 kN·m

Método das seções: corte a viga onde você quer os esforços internos e fique com um lado. O esforço cortante V equilibra as forças verticais desse lado, e o momento fletor M equilibra os momentos delas em relação ao corte. Momento máximo: como dM/dx = V, o momento fletor atinge seu pico onde o esforço cortante passa por zero, seja em uma carga concentrada, seja dentro de uma carga distribuída.

Reações de apoio

Equilíbrio da viga inteira.

Resultante da carga distribuída: W = w·ℓ = 4·8 = 32 kN, atuando em x̄ = 4 m

ΣM_A = 0: R_B·8 = 60·2 + 4·8·4

R_B = 248/8 = 31 kN

ΣF_y = 0: R_A = 92 − 31 = 61 kN

Onde V = 0?

V(2⁻) = R_A − w·2 = 53 kN

V(2⁺) = 53 − 60 = −7 kN

O cortante muda de sinal na carga, então o máximo fica sob a carga.

Momento máximo

M_max = R_A·2 − w·2²/2 = 61·2 − 4·2²/2 = 114 kN·m

Resposta

M_max = 114 kN·m

Ele ocorre em x = 2 m a partir de A.

11.Centroide e momento de inércia

Resposta: r = 93,51 mm

Momento de inércia de área: para um retângulo em relação ao seu próprio eixo centroidal I = bh³/12, e em relação à sua base bh³/3 (teorema dos eixos paralelos I = I_c + A·d²). Um furo é tratado subtraindo seu I, desde que as duas partes usem o mesmo eixo. O módulo de resistência elástico é S = I/c, onde c é a distância até a fibra mais afastada. O raio de giração r = √(I/A) é a distância na qual toda a área daria o mesmo I; ele é usado na flambagem de pilares.

Área e momento de inércia líquidos

A = π(D² − d²)/4 = 13270 mm²

I = π(D⁴ − d⁴)/64 = 1,16 × 10⁸ mm⁴

Raio de giração

r = √(I/A) = √(1,16 × 10⁸/13270) = 93,51 mm

Resposta

r = 93,51 mm

12.Centroide e momento de inércia

Resposta: σ_base = 91,49 MPa

Áreas compostas: divida a seção em retângulos. O centroide é a média ponderada pelas áreas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. O momento de inércia em relação ao eixo centroidal soma o bh³/12 próprio de cada parte e seu termo de eixos paralelos A·d², onde d é a distância do centroide da parte ao centroide geral. A tensão de flexão é σ = M·y/I.

Divida em dois retângulos

Meça todo y a partir da borda inferior.

mesa: A_f = 180·30 = 5400 mm², y_f = 200 + 30/2 = 215 mm

alma: A_w = 16·200 = 3200 mm², y_w = 200/2 = 100 mm

Centroide

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (5400·215 + 3200·100)/8600 = 172,2 mm

Teorema dos eixos paralelos

mesa: 180·30³/12 + 5400·(215 − 172,2)² = 1,029 × 10⁷ mm⁴

alma: 16·200³/12 + 3200·(100 − 172,2)² = 2,735 × 10⁷ mm⁴

I_x = 1,029 × 10⁷ + 2,735 × 10⁷ = 3,764 × 10⁷ mm⁴

Tensão de flexão

A borda inferior está a ȳ do eixo.

y = 172,2 mm

σ = M·y/I = 2 × 10⁷·172,2/3,764 × 10⁷ = 91,49 MPa

Resposta

σ_base = 91,49 MPa

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