Estática: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 12 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Vetores: produto escalar e vetorial

Módulo: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
Vetor unitário: û = a/|a|
Componentes a partir de um ângulo: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
Produto escalar: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
Projeção escalar de a sobre b: a·b/|b|
Trabalho: W = F·d
Produto vetorial: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
Áreas: paralelogramo |a × b|, triângulo ½|a × b|
Momento em relação a O: M_O = r × F, r = A − O
Volume de um paralelepípedo: V = |a·(b × c)|

Método

Escreva todo vetor em componentes; para uma força dada por um módulo e um ângulo, use F·cos θ e F·sin θ.
Para comprimentos e direções use o módulo √(x² + y² + z²) e o vetor unitário a/|a|.
Use o produto escalar para ângulos, projeções, perpendicularidade e trabalho: a·b = |a||b|cos θ.
Use o produto vetorial para vetores perpendiculares, áreas e momentos: escreva as três componentes com cuidado, mantendo a ordem a × b.

Reações de apoio em vigas

Equilíbrio: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Carga uniforme: resultante w·L no meio da carga
Momento: M = F·d

Método

Desenhe um diagrama de corpo livre e substitua cada apoio por suas reações.
Substitua cada carga distribuída por uma única força no seu centroide.
Tome momentos em relação a um apoio para encontrar a reação no outro.
Use ΣF_y = 0 para encontrar a reação restante e confira com uma segunda equação de momentos.

Treliça: método dos nós

Método dos nós: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Método das seções: ΣM = 0 about a cut point
Esforço na barra: positivo = tração, negativo = compressão

Método

Encontre as reações de apoio da treliça inteira.
Método dos nós: comece em um nó com no máximo duas forças de barra desconhecidas e use ΣF_x = 0 e ΣF_y = 0.
Método das seções: corte a barra de que você precisa e tome momentos em relação a um ponto onde as outras barras desconhecidas se encontram.
Suponha tração; uma resposta negativa significa compressão.

Pórticos e máquinas

Equilíbrio de cada membro: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Membro de duas forças: força ao longo da reta que passa pelos seus dois pinos
Força no pino: iguais e opostas nos dois membros que ele liga
Módulo de uma força no pino: F = √(F_x² + F_y²)
Alavanca, alicate, alavanca angular: F_in·a = F_out·b
Articulação de joelho: F_link = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
Carga uniforme: resultante w·L no meio da carga

Método

Desenhe a estrutura inteira e encontre as reações de apoio se houver no máximo três incógnitas.
Identifique os membros de duas forças: carregados apenas em dois pinos, sua força atua ao longo da reta entre os pinos.
Desmonte o pórtico e desenhe cada membro separadamente, com forças nos pinos iguais e opostas onde os membros se encontram.
Para cada membro, tome momentos em torno de um pino com forças desconhecidas e use depois ΣF_x = 0 e ΣF_y = 0; combine as componentes em um módulo só no final.

Esforço cortante e momento fletor

Cortante e momento: V = ΣF de um lado, M = ΣF·d de um lado
Tensão de flexão: σ = M·y/I
Retângulo: I = bh³/12
Módulo de resistência: W = I/y_max
Viga biapoiada, carga uniforme: M_max = wL²/8

Método

Encontre as reações de apoio pelo equilíbrio da viga inteira.
Corte a viga na seção de que você precisa e fique com um dos lados.
Esforço cortante: soma das forças verticais daquele lado. Momento fletor: soma dos momentos dessas forças em relação ao corte.
Para o momento máximo, encontre onde o esforço cortante é zero.

Centroide e momento de inércia

Centroide: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Retângulo: I = bh³/12
Teorema dos eixos paralelos: I = I_c + A·d²
Seção composta: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

2Exercícios

1.Vetores: produto escalar e vetorialMédia

Encontre o ângulo θ entre os vetores a = (4, 2, 5) e b = (1, −6, 5), em graus.

a = (4, 2, 5)b = (1, −6, 5)

θ = °

2.Vetores: produto escalar e vetorialDifícil

Uma força F = (30, 40, −20) N atua no ponto A(−2, 4, 3). As coordenadas estão em metros. Encontre a componente z M_z do momento da força em relação a o ponto O(3, 3, −3).

F = (30, 40, −20) NA(−2, 4, 3) mO(3, 3, −3) m

M_z = N·m

3.Reações de apoio em vigasMédia

A viga simplesmente apoiada tem um apoio fixo em A e um apoio móvel em B. Encontre a reação vertical de apoio R_B.

L = 4 mP₁ = 55 kN em 2,5 mP₂ = 55 kN em 3 m

R_B = kN

4.Reações de apoio em vigasDifícil

A viga simplesmente apoiada tem um apoio fixo em A e um apoio móvel em B. Encontre a reação vertical de apoio R_A.

L = 6 mP = 55 kN em 4 mw = 10 kN/m de 1 a 5 m

R_A = kN

5.Treliça: método dos nósMédia

Use o método dos nós para encontrar a força F_BC na barra BC. Dê tração como positiva e compressão como negativa.

vão = 4 maltura = 4 mB está a 1 m de Acarga vertical = 35 kN

F_BC = kN

6.Treliça: método dos nósDifícil

Use o método dos nós para encontrar a força F_AC na barra AC. Dê tração como positiva e compressão como negativa.

vão = 4 maltura = 3 mB está a 3 m de Acarga vertical = 60 kNcarga horizontal = 25 kN ←

F_AC = kN

7.Pórticos e máquinasMédia

O pórtico em A mostrado está apoiado em um pino em A e em um rolete em B, a 2,4 m de distância. As pernas se encontram no pino C, a 3 m de altura, e o tirante horizontal DE está a 1,5 m acima do solo. Uma carga de 12 kN atua em C. Encontre o módulo da força C que o pino C exerce sobre a perna BC.

P = 12 kNAB = 2,4 maltura de C = 3 maltura de DE = 1,5 m

C = kN

8.Pórticos e máquinasDifícil

O pórtico mostrado tem pinos em A, B e C; A e C estão fixados ao solo a 8 m de distância, e B está a 3 m de altura e a 1,2 m à direita de A. O membro AB suporta uma carga vertical de 15 kN em K, a 0,3 m (na horizontal) de A, e uma carga horizontal de 3 kN para a direita atua em B sobre o membro AB. Encontre o valor da reação horizontal A_x em A.

P = 15 kNQ = 3 kNL = 8 mH = 3 mdistância horizontal de A a B = 1,2 mdistância horizontal de A a K = 0,3 m

A_x = kN

9.Esforço cortante e momento fletorMédia

As marcas A a G dividem a viga em seis partes iguais. Em qual marca o momento fletor é maior em valor absoluto, positivo ou negativo? Clique nela no diagrama.

50 kN @ 2 m5 kN/m, 1–5 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

10.Esforço cortante e momento fletorDifícil

As marcas A a G dividem a viga em seis partes iguais. Em qual marca o momento fletor é maior em valor absoluto, positivo ou negativo? Clique nela no diagrama.

15 kN @ 0 m35 kN @ 6 m12 kN/m, 1–5 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

11.Centroide e momento de inérciaMédia

Encontre o momento de inércia I_x da seção T em relação ao eixo horizontal x pelo seu centroide.

b_f = 300 mmt_f = 20 mmt_w = 14 mmh_w = 240 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.Centroide e momento de inérciaDifícil

Uma placa de 200 mm × 300 mm tem um recorte retangular de 40 mm de largura e 40 mm de altura, centrado na linha de centro vertical, com seu centro a 120 mm acima da base. Encontre o momento de inércia da área I_x em torno do eixo horizontal que passa pelo centroide.

b = 200 mmh = 300 mmrecorte: 40 × 40 mmcentro do furo: y = 120 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

3Soluções

1.Vetores: produto escalar e vetorial

Resposta: θ = 71,23 °

Dot product: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.

Produto escalar

a·b = 4·1 + 2·(−6) + 5·5 = 17

Módulos

|a| = √(4² + 2² + 5²) = 6,708

|b| = √(1² + (−6)² + 5²) = 7,874

Ângulo

cos θ = 17/(6,708·7,874) = 0,3218

θ = arccos(0,3218) = 71,23°

Resposta

θ = 71,23°

2.Vetores: produto escalar e vetorial

Resposta: M_z = −230 N·m

Cross product: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is M_O = r × F, with r = A − O.

Vetor de posição de O a A

r = A − O = (−2, 4, 3) − (3, 3, −3) = (−5, 1, 6) m

Momento M = r × F

(r × F)_x = r_yF_z − r_zF_y = 1·(−20) − 6·40 = −260 N·m

(r × F)_y = r_zF_x − r_xF_z = 6·30 − (−5)·(−20) = 80 N·m

(r × F)_z = r_xF_y − r_yF_x = (−5)·40 − 1·30 = −230 N·m

Componente pedida

M_z = −230 N·m

Resposta

M_z = −230 N·m

3.Reações de apoio em vigas

Resposta: R_B = 75,63 kN

Equilíbrio estático: um corpo em repouso tem ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 e ΣM = 0 em relação a qualquer ponto. Tomar momentos em relação a um apoio elimina a reação desse apoio da equação.

Diagrama de corpo livre

Substitua os apoios por forças de reação. Um apoio móvel dá uma reação vertical; com apenas cargas verticais, o apoio fixo também dá uma reação vertical.

Equilíbrio

Momentos em relação a A, positivos no sentido anti-horário. Depois o equilíbrio das forças verticais.

ΣM_A = 0: R_B·4 = 55·2,5 + 55·3

R_B = 302,5/4 = 75,63 kN

ΣF_y = 0: R_A = 110 − 75,63 = 34,38 kN

Resposta

R_B = 75,63 kN

4.Reações de apoio em vigas

Resposta: R_A = 38,33 kN

Equilíbrio estático: um corpo em repouso tem ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 e ΣM = 0 em relação a qualquer ponto. Tomar momentos em relação a um apoio elimina a reação desse apoio da equação.

Diagrama de corpo livre

Substitua os apoios por forças de reação. Um apoio móvel dá uma reação vertical; com apenas cargas verticais, o apoio fixo também dá uma reação vertical.

Equilíbrio

Momentos em relação a A, positivos no sentido anti-horário. Depois o equilíbrio das forças verticais.

Resultante da carga distribuída: W = w·ℓ = 10·4 = 40 kN, atuando em x̄ = 3 m

ΣM_A = 0: R_B·6 = 55·4 + 10·4·3

R_B = 340/6 = 56,67 kN

ΣF_y = 0: R_A = 95 − 56,67 = 38,33 kN

Resposta

R_A = 38,33 kN

5.Treliça: método dos nós

Resposta: F_BC = −10,94 kN

Método dos nós: cada nó de uma treliça está em equilíbrio, então ΣF_x = 0 e ΣF_y = 0 em cada nó. Comece por um nó com no máximo duas forças de barra desconhecidas. Um resultado negativo significa que a barra está comprimida.

Reações de apoio

Equilíbrio da treliça inteira. Momentos em relação a A, positivos no sentido anti-horário.

ΣM_A = 0: C_y·4 = 35·1 → C_y = 8,75 kN

ΣF_y = 0: A_y = 35 − 8,75 = 26,25 kN

Nó C

O apoio móvel dá apenas uma reação vertical, então o nó C tem só duas forças de barra desconhecidas. Suponha ambas tracionadas.

sin γ = 4/5 = 0,8, cos γ = 3/5 = 0,6

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −8,75/0,8 = −10,94 kN

Resposta

F_BC = −10,94 kN (compressão)

6.Treliça: método dos nós

Resposta: F_AC = 8,75 kN

Reações de apoio

Equilíbrio da treliça inteira. Momentos em relação a A, positivos no sentido anti-horário.

ΣM_A = 0: C_y·4 = 60·3 − 25·3 → C_y = 26,25 kN

ΣF_y = 0: A_y = 60 − 26,25 = 33,75 kN

ΣF_x = 0: A_x = 25 kN

Nó C

O apoio móvel dá apenas uma reação vertical, então o nó C tem só duas forças de barra desconhecidas. Suponha ambas tracionadas.

sin γ = 3/3,162 = 0,9487, cos γ = 1/3,162 = 0,3162

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −26,25/0,9487 = −27,67 kN

ΣF_x = 0: −F_AC − F_BC·cos γ = 0 → F_AC = −(−27,67)·0,3162 = 8,75 kN

Resposta

F_AC = 8,75 kN (tração)

7.Pórticos e máquinas

Resposta: C = 7,684 kN

Pórticos e máquinas: ao contrário de uma treliça, um pórtico contém pelo menos um membro que suporta forças em mais de dois pontos, ou uma carga entre seus pinos. Procure primeiro os membros de duas forças: um membro carregado apenas em dois pinos tem sua força ao longo da reta que passa por eles, de modo que traz uma incógnita, e não duas. Depois use a estrutura inteira para as reações de apoio quando houver no máximo três incógnitas. Por fim, desmonte o pórtico: desenhe cada membro separadamente, com as forças nos pinos iguais e opostas nos dois membros que eles ligam, e escreva ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 e ΣM = 0 para ele. Tomar momentos em torno de um pino elimina da equação as duas componentes da força desse pino.

Força no tirante a partir da perna BC

B_y = 6 kN

T = 6·1,2/1,5 = 4,8 kN

Componentes da força no pino sobre BC

C_x = T = 4,8 kN, C_y = −B_y = −6 kN

Módulo

C = √(4,8² + 6²) = 7,684 kN

Resposta

C = 7,684 kN

8.Pórticos e máquinas

Resposta: A_x = 0,825 kN

Direção de BC

BC = 7,432 m, cos = 0,9149, sin = 0,4036

Pórtico inteiro: momentos em torno de A

F_BC·0,4036·8 = 15·0,3 + 3·3

F_BC = 4,181 kN

Equilíbrio horizontal

A_x + 3 − 4,181·0,9149 = 0

A_x = 0,825 kN → |A_x| = 0,825 kN

Resposta

A_x = 0,825 kN

A_x aponta para a direita.

9.Esforço cortante e momento fletor

Resposta: C (x = 2 m)

Maior momento fletor: M muda de inclinação onde quer que a força cortante mude, então seus picos ficam onde a força cortante cruza o zero: sob uma carga pontual, dentro de uma carga distribuída ou sobre um apoio de um balanço. No engaste de uma viga em balanço, o momento é maior na parede. Compare o tamanho de M nesses lugares, positivo ou negativo.

Reações de apoio

Tome momentos em torno de um apoio e depois use o equilíbrio das forças verticais.

R₁ = 43,33 kN, R₂ = 26,67 kN

Momento fletor em cada marca

Some os momentos de todas as forças de um lado do corte. O momento que traciona embaixo é positivo, o que traciona em cima é negativo.

M_A = 0, M_B = 43,33, M_C = 84,17 kN·m, M_D = 70, M_E = 50,83, M_F = 26,67, M_G = 0

Resposta

Marca C: M_C = 84,17 kN·m

10.Esforço cortante e momento fletor

Resposta: F (x = 5 m)

Reações de apoio

Tome momentos em torno de um apoio e depois use o equilíbrio das forças verticais.

R₁ = 34 kN, R₂ = 64 kN

Momento fletor em cada marca

Some os momentos de todas as forças de um lado do corte. O momento que traciona embaixo é positivo, o que traciona em cima é negativo.

M_A = 0, M_B = −15, M_C = −2, M_D = −1, M_E = −12, M_F = −35 kN·m, M_G = 0

Resposta

Marca F: M_F = −35 kN·m

11.Centroide e momento de inércia

Resposta: I_x = 52,73 × 10⁶ mm⁴

Áreas compostas: divida a seção em retângulos. O centroide é a média ponderada pelas áreas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. O momento de inércia em relação ao eixo centroidal soma o bh³/12 próprio de cada parte e seu termo de eixos paralelos A·d², onde d é a distância do centroide da parte ao centroide geral. A tensão de flexão é σ = M·y/I.

Divida em dois retângulos

Meça todo y a partir da borda inferior.

mesa: A_f = 300·20 = 6000 mm², y_f = 240 + 20/2 = 250 mm

alma: A_w = 14·240 = 3360 mm², y_w = 240/2 = 120 mm

Centroide

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (6000·250 + 3360·120)/9360 = 203,3 mm

Teorema dos eixos paralelos

mesa: 300·20³/12 + 6000·(250 − 203,3)² = 1,327 × 10⁷ mm⁴

alma: 14·240³/12 + 3360·(120 − 203,3)² = 3,946 × 10⁷ mm⁴

I_x = 1,327 × 10⁷ + 3,946 × 10⁷ = 5,273 × 10⁷ mm⁴ = 52,73 × 10⁶ mm⁴

Resposta

I_x = 52,73 × 10⁶ mm⁴

12.Centroide e momento de inércia

Resposta: I_x = 448,3 × 10⁶ mm⁴

Seções com furos: trate um furo como uma área negativa. O centroide é ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), com A₁, y₁ para a placa inteira e A₂, y₂ para o furo. Para o momento de inércia da área (segundo momento de área) em torno do eixo que passa pelo centroide, use o teorema dos eixos paralelos para cada parte e subtraia o furo: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), em que d é a distância do centroide próprio de cada parte ao eixo que passa por ȳ. Um retângulo tem I_c = bh³/12 e um círculo I_c = πd⁴/64.

Centroide

ȳ = (60000·150 − 1600·120)/(60000 − 1600) = 150,8 mm

Placa inteira em torno de ȳ

200·300³/12 + 60000·−0,8219² = 450 × 10⁶ mm⁴

Furo em torno de ȳ

40·40³/12 + 1600·−30,82² = 1,733 × 10⁶ mm⁴

Subtraia

I_x = 448,3 × 10⁶ mm⁴

Resposta

I_x = 448,3 × 10⁶ mm⁴

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