Estática: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 12 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Vetores: produto escalar e vetorial

Módulo: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
Vetor unitário: û = a/|a|
Componentes a partir de um ângulo: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
Produto escalar: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
Projeção escalar de a sobre b: a·b/|b|
Trabalho: W = F·d
Produto vetorial: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
Áreas: paralelogramo |a × b|, triângulo ½|a × b|
Momento em relação a O: M_O = r × F, r = A − O
Volume de um paralelepípedo: V = |a·(b × c)|

Método

Escreva todo vetor em componentes; para uma força dada por um módulo e um ângulo, use F·cos θ e F·sin θ.
Para comprimentos e direções use o módulo √(x² + y² + z²) e o vetor unitário a/|a|.
Use o produto escalar para ângulos, projeções, perpendicularidade e trabalho: a·b = |a||b|cos θ.
Use o produto vetorial para vetores perpendiculares, áreas e momentos: escreva as três componentes com cuidado, mantendo a ordem a × b.

Reações de apoio em vigas

Equilíbrio: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Carga uniforme: resultante w·L no meio da carga
Momento: M = F·d

Método

Desenhe um diagrama de corpo livre e substitua cada apoio por suas reações.
Substitua cada carga distribuída por uma única força no seu centroide.
Tome momentos em relação a um apoio para encontrar a reação no outro.
Use ΣF_y = 0 para encontrar a reação restante e confira com uma segunda equação de momentos.

Treliça: método dos nós

Método dos nós: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Método das seções: ΣM = 0 about a cut point
Esforço na barra: positivo = tração, negativo = compressão

Método

Encontre as reações de apoio da treliça inteira.
Método dos nós: comece em um nó com no máximo duas forças de barra desconhecidas e use ΣF_x = 0 e ΣF_y = 0.
Método das seções: corte a barra de que você precisa e tome momentos em relação a um ponto onde as outras barras desconhecidas se encontram.
Suponha tração; uma resposta negativa significa compressão.

Pórticos e máquinas

Equilíbrio de cada membro: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Membro de duas forças: força ao longo da reta que passa pelos seus dois pinos
Força no pino: iguais e opostas nos dois membros que ele liga
Módulo de uma força no pino: F = √(F_x² + F_y²)
Alavanca, alicate, alavanca angular: F_in·a = F_out·b
Articulação de joelho: F_link = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
Carga uniforme: resultante w·L no meio da carga

Método

Desenhe a estrutura inteira e encontre as reações de apoio se houver no máximo três incógnitas.
Identifique os membros de duas forças: carregados apenas em dois pinos, sua força atua ao longo da reta entre os pinos.
Desmonte o pórtico e desenhe cada membro separadamente, com forças nos pinos iguais e opostas onde os membros se encontram.
Para cada membro, tome momentos em torno de um pino com forças desconhecidas e use depois ΣF_x = 0 e ΣF_y = 0; combine as componentes em um módulo só no final.

Esforço cortante e momento fletor

Cortante e momento: V = ΣF de um lado, M = ΣF·d de um lado
Tensão de flexão: σ = M·y/I
Retângulo: I = bh³/12
Módulo de resistência: W = I/y_max
Viga biapoiada, carga uniforme: M_max = wL²/8

Método

Encontre as reações de apoio pelo equilíbrio da viga inteira.
Corte a viga na seção de que você precisa e fique com um dos lados.
Esforço cortante: soma das forças verticais daquele lado. Momento fletor: soma dos momentos dessas forças em relação ao corte.
Para o momento máximo, encontre onde o esforço cortante é zero.

Centroide e momento de inércia

Centroide: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Retângulo: I = bh³/12
Teorema dos eixos paralelos: I = I_c + A·d²
Seção composta: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

2Exercícios

1.Vetores: produto escalar e vetorialMédia

Encontre a projeção escalar comp_b a de a = (−3, 2, 6) sobre b = (−2, 0, −3), isto é, a componente de a na direção de b.

a = (−3, 2, 6)b = (−2, 0, −3)

comp_b a =

2.Vetores: produto escalar e vetorialDifícil

Para a = (5, −4, −5) e b = (−4, 2, 2), encontre a componente y (a × b)_y do produto vetorial a × b.

a = (5, −4, −5)b = (−4, 2, 2)

(a × b)_y =

3.Reações de apoio em vigasMédia

A viga simplesmente apoiada tem um apoio fixo em A e um apoio móvel em B. Encontre a reação vertical de apoio R_A.

L = 4 mP₁ = 30 kN em 1 mP₂ = 40 kN em 3 m

R_A = kN

4.Reações de apoio em vigasDifícil

A viga simplesmente apoiada tem um apoio fixo em A e um apoio móvel em B. Encontre a reação vertical de apoio R_B.

L = 8 mP = 40 kN em 1 mw = 3 kN/m de 5 a 6 m

R_B = kN

5.Treliça: método dos nósMédia

Exatamente um membro desta treliça não suporta força sob estas cargas. Qual é o membro de força nula? Clique nele no diagrama.

C: 20 kN ↓D: 35 kN ↓G: 10 kN ↓

1membro AB
2membro BC
3membro CD
4membro DE
5membro FG
6membro GH
7membro AF
8membro HE
9membro BF
10membro CG
11membro DH
12membro FC
13membro HC

6.Treliça: método dos nósDifícil

Use o método dos nós para encontrar a força F_AB na barra AB. Dê tração como positiva e compressão como negativa.

vão = 4 maltura = 2 mB está a 3 m de Acarga vertical = 40 kNcarga horizontal = 25 kN ←

F_AB = kN

7.Pórticos e máquinasMédia

O pórtico em A mostrado está apoiado em um pino em A e em um rolete em B, a 6 m de distância. As pernas se encontram no pino C, a 4 m de altura, e o tirante horizontal DE está a 0,8 m acima do solo. Uma carga de 10 kN atua em C. Encontre o módulo da força C que o pino C exerce sobre a perna BC.

P = 10 kNAB = 6 maltura de C = 4 maltura de DE = 0,8 m

C = kN

8.Pórticos e máquinasDifícil

A viga AB do suporte de parede mostrado está articulada em A e escorada pela escora CD (C está 1 m abaixo de A). A viga suporta uma carga uniforme de 1,5 kN/m em todo o seu comprimento e uma carga concentrada de 6 kN na extremidade livre B. Encontre a força F_CD na escora.

w = 1,5 kN/mP = 6 kNAD = 1 mAB = 3 mAC = 1 m

F_CD = kN

9.Esforço cortante e momento fletorMédia

A viga em balanço está engastada em A. Ela suporta uma carga uniformemente distribuída w em todo o comprimento e uma carga concentrada P a 3 m de A. Encontre o momento fletor M_A no engaste A. Use momentos positivos quando tracionam a face inferior e cortante para cima na face esquerda positivo.

L = 3 mP = 30 kN em 3 mw = 5 kN/m de 0 a 3 m

M_A = kN·m

10.Esforço cortante e momento fletorDifícil

Encontre o momento fletor M_x na seção x = 4 m a partir do apoio A. Use momentos positivos quando tracionam a face inferior e cortante para cima na face esquerda positivo.

L = 8 mP = 25 kN em 4 mw = 8 kN/m de 0 a 8 mx = 4 m

M_x = kN·m

11.Centroide e momento de inérciaMédia

Uma seção retangular vazada (caixão) tem largura externa B = 240 mm, altura externa H = 375 mm e espessura de parede uniforme t = 10 mm. Encontre seu raio de giração r em relação ao eixo centroidal horizontal.

B = 240 mmH = 375 mmt = 10 mm

r = mm

12.Centroide e momento de inérciaDifícil

Uma viga de ferro fundido tem a seção T mostrada, com a mesa em cima. As tensões admissíveis são 40 MPa na tração e 120 MPa na compressão. Encontre o maior momento fletor positivo M_allow que a viga pode suportar.

b_f = 160 mmt_f = 25 mmt_w = 18 mmh_w = 120 mmσ_t,allow = 40 MPaσ_c,allow = 120 MPa

M_allow = kN·m

3Soluções

1.Vetores: produto escalar e vetorial

Resposta: comp_b a = −3,328

Produto escalar: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, um escalar. Ele dá o ângulo entre dois vetores, cos θ = a·b/(|a|·|b|), e é nulo quando eles são perpendiculares. A projeção escalar de a sobre b é a·b/|b|, e uma força constante F que atua ao longo de um deslocamento d realiza o trabalho W = F·d.

Produto escalar

a·b = (−3)·(−2) + 2·0 + 6·(−3) = −12

Comprimento de b

|b| = √((−2)² + 0² + (−3)²) = 3,606

Projeção escalar

comp_b a = a·b/|b| = −12/3,606 = −3,328

Resposta

comp_b a = −3,328

Negativa: a tem uma componente que aponta contra b.

2.Vetores: produto escalar e vetorial

Resposta: (a × b)_y = 10

Produto vetorial: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) é perpendicular aos dois vetores, e |a × b| = |a|·|b|·sin θ é a área do paralelogramo que eles formam (o triângulo tem metade dela). A ordem importa: b × a = −(a × b). O momento de uma força F aplicada no ponto A em relação ao ponto O é M_O = r × F, com r = A − O.

Produto vetorial, componente por componente

(a × b)_x = a_yb_z − a_zb_y = (−4)·2 − (−5)·2 = 2

(a × b)_y = a_zb_x − a_xb_z = (−5)·(−4) − 5·2 = 10

(a × b)_z = a_xb_y − a_yb_x = 5·2 − (−4)·(−4) = −6

Componente pedida

(a × b)_y = 10

Resposta

(a × b)_y = 10

Verificação: a × b é perpendicular aos dois vetores, então o seu produto escalar com a e com b é zero.

3.Reações de apoio em vigas

Resposta: R_A = 32,5 kN

Equilíbrio estático: um corpo em repouso tem ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 e ΣM = 0 em relação a qualquer ponto. Tomar momentos em relação a um apoio elimina a reação desse apoio da equação.

Diagrama de corpo livre

Substitua os apoios por forças de reação. Um apoio móvel dá uma reação vertical; com apenas cargas verticais, o apoio fixo também dá uma reação vertical.

Equilíbrio

Momentos em relação a A, positivos no sentido anti-horário. Depois o equilíbrio das forças verticais.

ΣM_A = 0: R_B·4 = 30·1 + 40·3

R_B = 150/4 = 37,5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 70 − 37,5 = 32,5 kN

Resposta

R_A = 32,5 kN

4.Reações de apoio em vigas

Resposta: R_B = 7,063 kN

Equilíbrio estático: um corpo em repouso tem ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 e ΣM = 0 em relação a qualquer ponto. Tomar momentos em relação a um apoio elimina a reação desse apoio da equação.

Diagrama de corpo livre

Substitua os apoios por forças de reação. Um apoio móvel dá uma reação vertical; com apenas cargas verticais, o apoio fixo também dá uma reação vertical.

Equilíbrio

Momentos em relação a A, positivos no sentido anti-horário. Depois o equilíbrio das forças verticais.

Resultante da carga distribuída: W = w·ℓ = 3·1 = 3 kN, atuando em x̄ = 5,5 m

ΣM_A = 0: R_B·8 = 40·1 + 3·1·5,5

R_B = 56,5/8 = 7,063 kN

ΣF_y = 0: R_A = 43 − 7,063 = 35,94 kN

Resposta

R_B = 7,063 kN

5.Treliça: método dos nós

Resposta: membro BF

Membros de força nula: em um nó, as forças devem se equilibrar em todas as direções. Se um nó não tem carga nem apoio, e dois de seus três membros estão alinhados, então o equilíbrio na direção perpendicular a essa linha envolve apenas o terceiro membro, e portanto sua força é zero. Se apenas dois membros se encontram em um nó sem carga e não estão alinhados, ambos são nulos.

Nó B

AB e BC estão em uma mesma reta e o nó não tem carga. Equilibrar as forças na direção perpendicular a essa reta deixa apenas BF.

ΣF⊥ = 0 → F_BF = 0

Verifique com o método dos nós

Resolver todos os nós dá estas forças nos membros (T = tração, C = compressão).

AB: 23,75 kN (T), BC: 23,75 kN (T), CD: 41,25 kN (T), DE: 41,25 kN (T), FG: 47,5 kN (C), GH: 47,5 kN (C), AF: 33,59 kN (C), HE: 58,34 kN (C), BF: 0, CG: 10 kN (C), DH: 35 kN (T), FC: 33,59 kN (T), HC: 8,839 kN (T)

Resposta

Membro de força nula: BF

6.Treliça: método dos nós

Resposta: F_AB = −40,56 kN

Método dos nós: cada nó de uma treliça está em equilíbrio, então ΣF_x = 0 e ΣF_y = 0 em cada nó. Comece por um nó com no máximo duas forças de barra desconhecidas. Um resultado negativo significa que a barra está comprimida.

Reações de apoio

Equilíbrio da treliça inteira. Momentos em relação a A, positivos no sentido anti-horário.

ΣM_A = 0: C_y·4 = 40·3 − 25·2 → C_y = 17,5 kN

ΣF_y = 0: A_y = 40 − 17,5 = 22,5 kN

ΣF_x = 0: A_x = 25 kN

Nó A

Suponha que toda barra está tracionada (puxando para fora do nó). Só AB tem componente vertical em A.

sin α = 2/3,606 = 0,5547

ΣF_y = 0: A_y + F_AB·sin α = 0

F_AB = −22,5/0,5547 = −40,56 kN

Resposta

F_AB = −40,56 kN (compressão)

7.Pórticos e máquinas

Resposta: C = 6,854 kN

Pórticos e máquinas: ao contrário de uma treliça, um pórtico contém pelo menos um membro que suporta forças em mais de dois pontos, ou uma carga entre seus pinos. Procure primeiro os membros de duas forças: um membro carregado apenas em dois pinos tem sua força ao longo da reta que passa por eles, de modo que traz uma incógnita, e não duas. Depois use a estrutura inteira para as reações de apoio quando houver no máximo três incógnitas. Por fim, desmonte o pórtico: desenhe cada membro separadamente, com as forças nos pinos iguais e opostas nos dois membros que eles ligam, e escreva ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 e ΣM = 0 para ele. Tomar momentos em torno de um pino elimina da equação as duas componentes da força desse pino.

Força no tirante a partir da perna BC

B_y = 5 kN

T = 5·3/3,2 = 4,688 kN

Componentes da força no pino sobre BC

C_x = T = 4,688 kN, C_y = −B_y = −5 kN

Módulo

C = √(4,688² + 5²) = 6,854 kN

Resposta

C = 6,854 kN

8.Pórticos e máquinas

Resposta: F_CD = 35 kN

Resultante da carga uniforme

w·L = 1,5·3 = 4,5 kN em 1,5 m

Momentos em torno de A para a viga

F_CD·0,7071·1 = 4,5·1,5 + 6·3 = 24,75 kN·m

F_CD = 35 kN

Resposta

F_CD = 35 kN

9.Esforço cortante e momento fletor

Resposta: M_A = −112,5 kN·m

Método das seções: corte a viga onde você quer os esforços internos e fique com um lado. O esforço cortante V equilibra as forças verticais desse lado, e o momento fletor M equilibra os momentos delas em relação ao corte.

Fique com a parte da extremidade livre

P: −30·3 = −90 kN·m

w: −5·3²/2 = −22,5 kN·m

M_A = −90 − 22,5 = −112,5 kN·m

Resposta

M_A = −112,5 kN·m

Negativo significa tração na face superior.

10.Esforço cortante e momento fletor

Resposta: M_x = 114 kN·m

Reações de apoio

Equilíbrio da viga inteira.

Resultante da carga distribuída: W = w·ℓ = 8·8 = 64 kN, atuando em x̄ = 4 m

ΣM_A = 0: R_B·8 = 25·4 + 8·8·4

R_B = 356/8 = 44,5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 89 − 44,5 = 44,5 kN

Corte em x = 4 m e fique com a parte esquerda

Só aparecem as forças à esquerda do corte. Uma parte da carga distribuída age como uma única força no meio dessa parte.

M = R_A·x − (cada carga à esquerda do corte × sua distância até o corte)

M_x = 44,5·4 − 8·4·2 = 114 kN·m

Resposta

M_x = 114 kN·m

11.Centroide e momento de inércia

Resposta: r = 140,4 mm

Momento de inércia de área: para um retângulo em relação ao seu próprio eixo centroidal I = bh³/12, e em relação à sua base bh³/3 (teorema dos eixos paralelos I = I_c + A·d²). Um furo é tratado subtraindo seu I, desde que as duas partes usem o mesmo eixo. O módulo de resistência elástico é S = I/c, onde c é a distância até a fibra mais afastada. O raio de giração r = √(I/A) é a distância na qual toda a área daria o mesmo I; ele é usado na flambagem de pilares.

Área e momento de inércia líquidos

b = 220 mm, h = 355 mm

A = BH − bh = 240·375 − 220·355 = 11900 mm²

I = (BH³ − bh³)/12 = 2,345 × 10⁸ mm⁴

Raio de giração

r = √(I/A) = √(2,345 × 10⁸/11900) = 140,4 mm

Resposta

r = 140,4 mm

12.Centroide e momento de inércia

Resposta: M_allow = 3,8 kN·m

Áreas compostas: divida a seção em retângulos. O centroide é a média ponderada pelas áreas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. O momento de inércia em relação ao eixo centroidal soma o bh³/12 próprio de cada parte e seu termo de eixos paralelos A·d², onde d é a distância do centroide da parte ao centroide geral. A tensão de flexão é σ = M·y/I.

Centroide

ȳ = (4000·132,5 + 2160·60)/6160 = 107,1 mm

borda superior: c = 145 − 107,1 = 37,92 mm

Momento de inércia de área

I = 160·25³/12 + 4000·25,42² + 18·120³/12 + 2160·47,08² = 1,017 × 10⁷ mm⁴

Momento admitido por cada borda

Momento positivo: a face superior fica comprimida, a inferior tracionada.

borda superior: M = 120·1,017 × 10⁷/37,92 = 32,19 kN·m

borda inferior: M = 40·1,017 × 10⁷/107,1 = 3,8 kN·m

Valor determinante

M_allow = min = 3,8 kN·m (borda inferior)

Resposta

M_allow = 3,8 kN·m

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