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1Fórmulas e métodos
Vetores: produto escalar e vetorial
Módulo
|a| = √(ax² + ay² + az²)
Vetor unitário
û = a/|a|
Componentes a partir de um ângulo
Fx = F·cos θ, Fy = F·sin θ
Produto escalar
a·b = axbx + ayby + azbz = |a||b|cos θ
Projeção escalar de a sobre b
a·b/|b|
Trabalho
W = F·d
Produto vetorial
a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx)
Áreas
paralelogramo |a × b|, triângulo ½|a × b|
Momento em relação a O
MO = r × F, r = A − O
Volume de um paralelepípedo
V = |a·(b × c)|
Método
Escreva todo vetor em componentes; para uma força dada por um módulo e um ângulo, use F·cos θ e F·sin θ.
Para comprimentos e direções use o módulo √(x² + y² + z²) e o vetor unitário a/|a|.
Use o produto escalar para ângulos, projeções, perpendicularidade e trabalho: a·b = |a||b|cos θ.
Use o produto vetorial para vetores perpendiculares, áreas e momentos: escreva as três componentes com cuidado, mantendo a ordem a × b.
Reações de apoio em vigas
Equilíbrio
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Carga uniforme
resultante w·L no meio da carga
Momento
M = F·d
Método
Desenhe um diagrama de corpo livre e substitua cada apoio por suas reações.
Substitua cada carga distribuída por uma única força no seu centroide.
Tome momentos em relação a um apoio para encontrar a reação no outro.
Use ΣFy = 0 para encontrar a reação restante e confira com uma segunda equação de momentos.
Treliça: método dos nós
Método dos nós
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
Método das seções
ΣM = 0 about a cut point
Esforço na barra
positivo = tração, negativo = compressão
Método
Encontre as reações de apoio da treliça inteira.
Método dos nós: comece em um nó com no máximo duas forças de barra desconhecidas e use ΣFx = 0 e ΣFy = 0.
Método das seções: corte a barra de que você precisa e tome momentos em relação a um ponto onde as outras barras desconhecidas se encontram.
Suponha tração; uma resposta negativa significa compressão.
Pórticos e máquinas
Equilíbrio de cada membro
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Membro de duas forças
força ao longo da reta que passa pelos seus dois pinos
Força no pino
iguais e opostas nos dois membros que ele liga
Módulo de uma força no pino
F = √(Fx² + Fy²)
Alavanca, alicate, alavanca angular
Fin·a = Fout·b
Articulação de joelho
Flink = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
Carga uniforme
resultante w·L no meio da carga
Método
Desenhe a estrutura inteira e encontre as reações de apoio se houver no máximo três incógnitas.
Identifique os membros de duas forças: carregados apenas em dois pinos, sua força atua ao longo da reta entre os pinos.
Desmonte o pórtico e desenhe cada membro separadamente, com forças nos pinos iguais e opostas onde os membros se encontram.
Para cada membro, tome momentos em torno de um pino com forças desconhecidas e use depois ΣFx = 0 e ΣFy = 0; combine as componentes em um módulo só no final.
Esforço cortante e momento fletor
Cortante e momento
V = ΣF de um lado, M = ΣF·d de um lado
Tensão de flexão
σ = M·y/I
Retângulo
I = bh³/12
Módulo de resistência
W = I/ymax
Viga biapoiada, carga uniforme
Mmax = wL²/8
Método
Encontre as reações de apoio pelo equilíbrio da viga inteira.
Corte a viga na seção de que você precisa e fique com um dos lados.
Esforço cortante: soma das forças verticais daquele lado. Momento fletor: soma dos momentos dessas forças em relação ao corte.
Para o momento máximo, encontre onde o esforço cortante é zero.
Centroide e momento de inércia
Centroide
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
Retângulo
I = bh³/12
Teorema dos eixos paralelos
I = Ic + A·d²
Seção composta
I = Σ(Ic,i + Aidi²)
2Exercícios
1.Vetores: produto escalar e vetorialMédia
Uma força constante F = (20, −20, −5) N atua sobre um objeto enquanto ele se move em linha reta do ponto A(3, 4, 4) ao ponto B(4, −5, −1). As coordenadas estão em metros. Encontre o trabalho W realizado pela força.
F = (20, −20, −5) NA(3, 4, 4) mB(4, −5, −1) m
W = J
2.Vetores: produto escalar e vetorialDifícil
O vetor unitário n̂ é perpendicular a a = (5, 2, −3) e a b = (−4, −5, 5) e tem componente z positiva. Encontre sua componente y n̂y.
a = (5, 2, −3)b = (−4, −5, 5)n̂z > 0
n̂y =
3.Reações de apoio em vigasMédia
A viga em balanço está engastada na parede em A. Ela suporta uma carga uniformemente distribuída w em todo o comprimento e uma carga concentrada P a 2 m da parede. Encontre o módulo do momento de reação MA na parede.
L = 4 mP = 10 kN em 2 mw = 6 kN/m de 0 a 4 m
MA = kN·m
4.Reações de apoio em vigasDifícil
A viga simplesmente apoiada tem um apoio fixo em A e um apoio móvel em B. Encontre a reação vertical de apoio RA.
L = 8 mP = 10 kN em 7 mw = 3 kN/m de 6 a 8 m
RA = kN
5.Treliça: método dos nósMédia
Exatamente um membro desta treliça não suporta força sob estas cargas. Qual é o membro de força nula? Clique nele no diagrama.
B: 15 kN ↓
1membro AB
2membro BC
3membro CD
4membro DE
5membro FG
6membro GH
7membro AF
8membro HE
9membro BF
10membro CG
11membro DH
12membro BG
13membro DG
6.Treliça: método dos nósDifícil
Use o método dos nós para encontrar a força FAC na barra AC. Dê tração como positiva e compressão como negativa.
vão = 4 maltura = 3 mB está a 3 m de Acarga vertical = 15 kNcarga horizontal = 15 kN →
FAC = kN
7.Pórticos e máquinasMédia
Uma viga horizontal AB está articulada a uma parede em A e escorada pela escora CD, articulada à parede em C, 1,2 m abaixo de A. Uma carga de 10 kN está pendurada em B. Despreze os pesos. Encontre o módulo da força A no pino sobre a viga em A.
P = 10 kNAD = 1 mAB = 3 mAC = 1,2 m
A = kN
8.Pórticos e máquinasDifícil
O pórtico mostrado tem pinos em A, B e C; A e C estão fixados ao solo a 3 m de distância, e B está a 2,5 m de altura e a 1,35 m à direita de A. O membro AB suporta uma carga vertical de 6 kN em K, a 1,012 m (na horizontal) de A, e uma carga horizontal de 2 kN para a direita atua em B sobre o membro AB. Encontre o valor da reação horizontal Ax em A.
P = 6 kNQ = 2 kNL = 3 mH = 2,5 mdistância horizontal de A a B = 1,35 mdistância horizontal de A a K = 1,012 m
Ax = kN
9.Esforço cortante e momento fletorMédia
Encontre o momento fletor Mx na seção x = 5 m a partir do apoio A. Use momentos positivos quando tracionam a face inferior e cortante para cima na face esquerda positivo.
L = 6 mw = 8 kN/m de 0 a 6 mx = 5 m
Mx = kN·m
10.Esforço cortante e momento fletorDifícil
A viga simplesmente apoiada suporta uma carga uniformemente distribuída sobre parte do vão. Encontre a distância x0 de A até a seção onde o momento fletor é máximo.
L = 6 mw = 10 kN/m de 3 a 5 m
x0 = m
11.Centroide e momento de inérciaMédia
Uma placa de 150 mm × 300 mm tem um furo circular de diâmetro 50 mm na sua linha de centro vertical, com o centro a 105 mm acima da base. Encontre o momento de inércia da área Ix em torno do eixo horizontal que passa pelo centroide.
b = 150 mmh = 300 mmd = 50 mmcentro do furo: y = 105 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
12.Centroide e momento de inérciaDifícil
Uma placa de 200 mm × 240 mm tem um recorte retangular de 40 mm de largura e 20 mm de altura, centrado na linha de centro vertical, com seu centro a 144 mm acima da base. Encontre o momento de inércia da área Ix em torno do eixo horizontal que passa pelo centroide.
b = 200 mmh = 240 mmrecorte: 40 × 20 mmcentro do furo: y = 144 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
3Soluções
1.Vetores: produto escalar e vetorial
Resposta: W = 225 J
Dot product:a·b = axbx + ayby + azbz = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.
Deslocamento
d = B − A = (4, −5, −1) − (3, 4, 4) = (1, −9, −5) m
Trabalho
W = F·d = 20·1 + (−20)·(−9) + (−5)·(−5) = 225 J
Resposta
W = 225 J
2.Vetores: produto escalar e vetorial
Resposta: n̂y = 0,5915
Cross product:a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is MO = r × F, with r = A − O.
Produto vetorial
(a × b)x = aybz − azby = 2·5 − (−3)·(−5) = −5
(a × b)y = azbx − axbz = (−3)·(−4) − 5·5 = −13
(a × b)z = axby − aybx = 5·(−5) − 2·(−4) = −17
Normalize
A componente z de a × b é negativa, então use −(a × b).
Equilíbrio de balanços: um engaste pode empurrar para cima e também impedir a rotação, então dá uma reação vertical RA e um momento de reação MA. ΣFy = 0 dá RA, e os momentos em relação à parede dão MA = Σ(carga × distância até a parede). Uma carga distribuída atua como sua resultante no centroide do diagrama de carga.
Resultante da carga distribuída
W = 6·4 = 24 kN, x̄ = 2 m
Momento em relação à parede
MA = P·a + W·x̄ = 10·2 + 24·2 = 68 kN·m
Resposta
MA = 68 kN·m
4.Reações de apoio em vigas
Resposta: RA = 2 kN
Equilíbrio estático: um corpo em repouso tem ΣFx = 0, ΣFy = 0 e ΣM = 0 em relação a qualquer ponto. Tomar momentos em relação a um apoio elimina a reação desse apoio da equação.
Diagrama de corpo livre
Substitua os apoios por forças de reação. Um apoio móvel dá uma reação vertical; com apenas cargas verticais, o apoio fixo também dá uma reação vertical.
Equilíbrio
Momentos em relação a A, positivos no sentido anti-horário. Depois o equilíbrio das forças verticais.
Resultante da carga distribuída: W = w·ℓ = 3·2 = 6 kN, atuando em x̄ = 7 m
ΣMA = 0: RB·8 = 10·7 + 3·2·7
RB = 112/8 = 14 kN
ΣFy = 0: RA = 16 − 14 = 2 kN
Resposta
RA = 2 kN
5.Treliça: método dos nós
Resposta: membro CG
Membros de força nula: em um nó, as forças devem se equilibrar em todas as direções. Se um nó não tem carga nem apoio, e dois de seus três membros estão alinhados, então o equilíbrio na direção perpendicular a essa linha envolve apenas o terceiro membro, e portanto sua força é zero. Se apenas dois membros se encontram em um nó sem carga e não estão alinhados, ambos são nulos.
Nó C
BC e CD estão em uma mesma reta e o nó não tem carga. Equilibrar as forças na direção perpendicular a essa reta deixa apenas CG.
ΣF⊥ = 0 → FCG = 0
Verifique com o método dos nós
Resolver todos os nós dá estas forças nos membros (T = tração, C = compressão).
Método dos nós: cada nó de uma treliça está em equilíbrio, então ΣFx = 0 e ΣFy = 0 em cada nó. Comece por um nó com no máximo duas forças de barra desconhecidas. Um resultado negativo significa que a barra está comprimida.
Reações de apoio
Equilíbrio da treliça inteira. Momentos em relação a A, positivos no sentido anti-horário.
ΣMA = 0: Cy·4 = 15·3 + 15·3 → Cy = 22,5 kN
ΣFy = 0: Ay = 15 − 22,5 = −7,5 kN
ΣFx = 0: Ax = −15 kN
Nó C
O apoio móvel dá apenas uma reação vertical, então o nó C tem só duas forças de barra desconhecidas. Suponha ambas tracionadas.
sin γ = 3/3,162 = 0,9487, cos γ = 1/3,162 = 0,3162
Pórticos e máquinas: ao contrário de uma treliça, um pórtico contém pelo menos um membro que suporta forças em mais de dois pontos, ou uma carga entre seus pinos. Procure primeiro os membros de duas forças: um membro carregado apenas em dois pinos tem sua força ao longo da reta que passa por eles, de modo que traz uma incógnita, e não duas. Depois use a estrutura inteira para as reações de apoio quando houver no máximo três incógnitas. Por fim, desmonte o pórtico: desenhe cada membro separadamente, com as forças nos pinos iguais e opostas nos dois membros que eles ligam, e escreva ΣFx = 0, ΣFy = 0 e ΣM = 0 para ele. Tomar momentos em torno de um pino elimina da equação as duas componentes da força desse pino.
Força na escora
FCD = 10·3/(0,7682·1) = 39,05 kN
Componentes em A
Ax = FCD·cos α = 25 kN (em direção à parede)
Ay = 10 − FCD·sin α = −20 kN
Módulo
A = √(25² + −20²) = 32,02 kN
Resposta
A = 32,02 kN
Um Ay negativo significa que a parede puxa a viga para baixo em A.
8.Pórticos e máquinas
Resposta: Ax = 0,4365 kN
Pórticos e máquinas: ao contrário de uma treliça, um pórtico contém pelo menos um membro que suporta forças em mais de dois pontos, ou uma carga entre seus pinos. Procure primeiro os membros de duas forças: um membro carregado apenas em dois pinos tem sua força ao longo da reta que passa por eles, de modo que traz uma incógnita, e não duas. Depois use a estrutura inteira para as reações de apoio quando houver no máximo três incógnitas. Por fim, desmonte o pórtico: desenhe cada membro separadamente, com as forças nos pinos iguais e opostas nos dois membros que eles ligam, e escreva ΣFx = 0, ΣFy = 0 e ΣM = 0 para ele. Tomar momentos em torno de um pino elimina da equação as duas componentes da força desse pino.
Direção de BC
BC = 2,995 m, cos = 0,5508, sin = 0,8346
Pórtico inteiro: momentos em torno de A
FBC·0,8346·3 = 6·1,012 + 2·2,5
FBC = 4,423 kN
Equilíbrio horizontal
Ax + 2 − 4,423·0,5508 = 0
Ax = 0,4365 kN → |Ax| = 0,4365 kN
Resposta
Ax = 0,4365 kN
Ax aponta para a direita.
9.Esforço cortante e momento fletor
Resposta: Mx = 20 kN·m
Método das seções: corte a viga onde você quer os esforços internos e fique com um lado. O esforço cortante V equilibra as forças verticais desse lado, e o momento fletor M equilibra os momentos delas em relação ao corte.
Reações de apoio
Equilíbrio da viga inteira.
Resultante da carga distribuída: W = w·ℓ = 8·6 = 48 kN, atuando em x̄ = 3 m
ΣMA = 0: RB·6 = 8·6·3
RB = 144/6 = 24 kN
ΣFy = 0: RA = 48 − 24 = 24 kN
Corte em x = 5 m e fique com a parte esquerda
Só aparecem as forças à esquerda do corte. Uma parte da carga distribuída age como uma única força no meio dessa parte.
M = RA·x − (cada carga à esquerda do corte × sua distância até o corte)
Mx = 24·5 − 8·5·2,5 = 20 kN·m
Resposta
Mx = 20 kN·m
10.Esforço cortante e momento fletor
Resposta: x0 = 3,667 m
Método das seções: corte a viga onde você quer os esforços internos e fique com um lado. O esforço cortante V equilibra as forças verticais desse lado, e o momento fletor M equilibra os momentos delas em relação ao corte. Momento máximo: como dM/dx = V, o momento fletor atinge seu pico onde o esforço cortante passa por zero, seja em uma carga concentrada, seja dentro de uma carga distribuída.
Reações de apoio
Equilíbrio da viga inteira.
Resultante da carga distribuída: W = w·ℓ = 10·2 = 20 kN, atuando em x̄ = 4 m
ΣMA = 0: RB·6 = 10·2·4
RB = 80/6 = 13,33 kN
ΣFy = 0: RA = 20 − 13,33 = 6,667 kN
Cortante nulo
O esforço cortante começa em RA, fica constante em qualquer trecho descarregado e cai com inclinação w dentro da carga.
RA − w·(x0 − 3) = 0
x0 = 3 + 6,667/10 = 3,667 m
Resposta
x0 = 3,667 m
11.Centroide e momento de inércia
Resposta: Ix = 333 × 10⁶ mm⁴
Seções com furos: trate um furo como uma área negativa. O centroide é ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), com A₁, y₁ para a placa inteira e A₂, y₂ para o furo. Para o momento de inércia da área (segundo momento de área) em torno do eixo que passa pelo centroide, use o teorema dos eixos paralelos para cada parte e subtraia o furo: I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²), em que d é a distância do centroide próprio de cada parte ao eixo que passa por ȳ. Um retângulo tem Ic = bh³/12 e um círculo Ic = πd⁴/64.
Centroide
ȳ = (45000·150 − 1963·105)/(45000 − 1963) = 152,1 mm
Placa inteira em torno de ȳ
150·300³/12 + 45000·−2,053² = 337,7 × 10⁶ mm⁴
Furo em torno de ȳ
π·50⁴/64 + 1963·−47,05² = 4,654 × 10⁶ mm⁴
Subtraia
Ix = 333 × 10⁶ mm⁴
Resposta
Ix = 333 × 10⁶ mm⁴
12.Centroide e momento de inércia
Resposta: Ix = 229,9 × 10⁶ mm⁴
Seções com furos: trate um furo como uma área negativa. O centroide é ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), com A₁, y₁ para a placa inteira e A₂, y₂ para o furo. Para o momento de inércia da área (segundo momento de área) em torno do eixo que passa pelo centroide, use o teorema dos eixos paralelos para cada parte e subtraia o furo: I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²), em que d é a distância do centroide próprio de cada parte ao eixo que passa por ȳ. Um retângulo tem Ic = bh³/12 e um círculo Ic = πd⁴/64.
Centroide
ȳ = (48000·120 − 800·144)/(48000 − 800) = 119,6 mm