Estática: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 12 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Vetores: produto escalar e vetorial

Módulo: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
Vetor unitário: û = a/|a|
Componentes a partir de um ângulo: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
Produto escalar: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
Projeção escalar de a sobre b: a·b/|b|
Trabalho: W = F·d
Produto vetorial: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
Áreas: paralelogramo |a × b|, triângulo ½|a × b|
Momento em relação a O: M_O = r × F, r = A − O
Volume de um paralelepípedo: V = |a·(b × c)|

Método

Escreva todo vetor em componentes; para uma força dada por um módulo e um ângulo, use F·cos θ e F·sin θ.
Para comprimentos e direções use o módulo √(x² + y² + z²) e o vetor unitário a/|a|.
Use o produto escalar para ângulos, projeções, perpendicularidade e trabalho: a·b = |a||b|cos θ.
Use o produto vetorial para vetores perpendiculares, áreas e momentos: escreva as três componentes com cuidado, mantendo a ordem a × b.

Reações de apoio em vigas

Equilíbrio: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Carga uniforme: resultante w·L no meio da carga
Momento: M = F·d

Método

Desenhe um diagrama de corpo livre e substitua cada apoio por suas reações.
Substitua cada carga distribuída por uma única força no seu centroide.
Tome momentos em relação a um apoio para encontrar a reação no outro.
Use ΣF_y = 0 para encontrar a reação restante e confira com uma segunda equação de momentos.

Treliça: método dos nós

Método dos nós: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Método das seções: ΣM = 0 about a cut point
Esforço na barra: positivo = tração, negativo = compressão

Método

Encontre as reações de apoio da treliça inteira.
Método dos nós: comece em um nó com no máximo duas forças de barra desconhecidas e use ΣF_x = 0 e ΣF_y = 0.
Método das seções: corte a barra de que você precisa e tome momentos em relação a um ponto onde as outras barras desconhecidas se encontram.
Suponha tração; uma resposta negativa significa compressão.

Pórticos e máquinas

Equilíbrio de cada membro: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Membro de duas forças: força ao longo da reta que passa pelos seus dois pinos
Força no pino: iguais e opostas nos dois membros que ele liga
Módulo de uma força no pino: F = √(F_x² + F_y²)
Alavanca, alicate, alavanca angular: F_in·a = F_out·b
Articulação de joelho: F_link = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
Carga uniforme: resultante w·L no meio da carga

Método

Desenhe a estrutura inteira e encontre as reações de apoio se houver no máximo três incógnitas.
Identifique os membros de duas forças: carregados apenas em dois pinos, sua força atua ao longo da reta entre os pinos.
Desmonte o pórtico e desenhe cada membro separadamente, com forças nos pinos iguais e opostas onde os membros se encontram.
Para cada membro, tome momentos em torno de um pino com forças desconhecidas e use depois ΣF_x = 0 e ΣF_y = 0; combine as componentes em um módulo só no final.

Esforço cortante e momento fletor

Cortante e momento: V = ΣF de um lado, M = ΣF·d de um lado
Tensão de flexão: σ = M·y/I
Retângulo: I = bh³/12
Módulo de resistência: W = I/y_max
Viga biapoiada, carga uniforme: M_max = wL²/8

Método

Encontre as reações de apoio pelo equilíbrio da viga inteira.
Corte a viga na seção de que você precisa e fique com um dos lados.
Esforço cortante: soma das forças verticais daquele lado. Momento fletor: soma dos momentos dessas forças em relação ao corte.
Para o momento máximo, encontre onde o esforço cortante é zero.

Centroide e momento de inércia

Centroide: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Retângulo: I = bh³/12
Teorema dos eixos paralelos: I = I_c + A·d²
Seção composta: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

2Exercícios

1.Vetores: produto escalar e vetorialMédia

Uma força constante F = (5, −10, −20) N atua sobre um objeto enquanto ele se move em linha reta do ponto A(0, −4, 1) ao ponto B(−2, −2, 2). As coordenadas estão em metros. Encontre o trabalho W realizado pela força.

F = (5, −10, −20) NA(0, −4, 1) mB(−2, −2, 2) m

W = J

2.Vetores: produto escalar e vetorialDifícil

Uma força F = (30, −60, −30) N atua no ponto A(3, 3, −2). As coordenadas estão em metros. Encontre a componente x M_x do momento da força em relação a o ponto O(−1, 0, −2).

F = (30, −60, −30) NA(3, 3, −2) mO(−1, 0, −2) m

M_x = N·m

3.Reações de apoio em vigasMédia

A viga em balanço está engastada na parede em A. Ela suporta uma carga uniformemente distribuída w em todo o comprimento e uma carga concentrada P a 2,5 m da parede. Encontre a reação vertical R_A na parede.

L = 6 mP = 45 kN em 2,5 mw = 10 kN/m de 0 a 6 m

R_A = kN

4.Reações de apoio em vigasDifícil

A viga em balanço está engastada na parede em A. Ela suporta uma carga linearmente variável que é zero na parede e cresce até 4 kN/m na extremidade livre B, além de uma carga concentrada P a 9 m da parede. Encontre o módulo do momento de reação M_A na parede.

L = 10 mw₀ = 4 kN/mP = 70 kN em 9 m

M_A = kN·m

5.Treliça: método dos nósMédia

Use o método dos nós para encontrar a força F_BC na barra BC. Dê tração como positiva e compressão como negativa.

vão = 5 maltura = 3 mB está a 4 m de Acarga vertical = 35 kN

F_BC = kN

6.Treliça: método dos nósDifícil

Use o método dos nós para encontrar a força F_BC na barra BC. Dê tração como positiva e compressão como negativa.

vão = 5 maltura = 3 mB está a 1 m de Acarga vertical = 20 kNcarga horizontal = 25 kN ←

F_BC = kN

7.Pórticos e máquinasMédia

A alavanca angular mostrada gira em torno do pino O. Uma força vertical de 100 N em A (a 200 mm de O) é equilibrada por uma força horizontal em B (a 75 mm acima de O). Encontre o módulo da reação no pino F_O.

F = 100 NOA = 200 mmOB = 75 mm

F_O = N

8.Pórticos e máquinasDifícil

O pórtico em A mostrado está apoiado em um pino em A e em um rolete em B, a 5 m de distância, com o pino do vértice C a 2,5 m de altura e o tirante horizontal DE a 0,6 m acima do solo. Uma carga vertical de 4 kN atua na perna AC em K, a 1,5 m (na horizontal) de A. Encontre o módulo da força C que o pino C exerce sobre a perna BC.

P = 4 kNAB = 5 maltura de C = 2,5 maltura de DE = 0,6 mdistância horizontal de A a K = 1,5 m

C = kN

9.Esforço cortante e momento fletorMédia

As marcas A a G dividem a viga em seis partes iguais. Em qual marca o momento fletor é maior em valor absoluto, positivo ou negativo? Clique nela no diagrama.

50 kN @ 10 m20 kN @ 8 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

10.Esforço cortante e momento fletorDifícil

As marcas A a G dividem a viga em seis partes iguais. Em qual marca o momento fletor é maior em valor absoluto, positivo ou negativo? Clique nela no diagrama.

35 kN @ 12 m35 kN @ 4 m8 kN/m, 0–8 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

11.Centroide e momento de inérciaMédia

Um perfil I simétrico tem mesas de 120 mm de largura e 18 mm de espessura, altura total de 340 mm e alma de 8 mm de espessura. Encontre seu momento de inércia I_x em relação ao eixo centroidal horizontal x.

B = 120 mmH = 340 mmt_f = 18 mmt_w = 8 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.Centroide e momento de inérciaDifícil

A seção T é usada como viga com a mesa em cima e suporta um momento fletor positivo de 30 kN·m. Encontre a tensão de flexão σ_base na borda inferior.

b_f = 120 mmt_f = 20 mmt_w = 18 mmh_w = 280 mmM = 30 kN·m

σ_base = MPa

3Soluções

1.Vetores: produto escalar e vetorial

Resposta: W = −50 J

Dot product: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.

Deslocamento

d = B − A = (−2, −2, 2) − (0, −4, 1) = (−2, 2, 1) m

Trabalho

W = F·d = 5·(−2) + (−10)·2 + (−20)·1 = −50 J

Resposta

W = −50 J

Trabalho negativo: a força atua principalmente contra o movimento.

2.Vetores: produto escalar e vetorial

Resposta: M_x = −90 N·m

Cross product: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is M_O = r × F, with r = A − O.

Vetor de posição de O a A

r = A − O = (3, 3, −2) − (−1, 0, −2) = (4, 3, 0) m

Momento M = r × F

(r × F)_x = r_yF_z − r_zF_y = 3·(−30) − 0·(−60) = −90 N·m

(r × F)_y = r_zF_x − r_xF_z = 0·30 − 4·(−30) = 120 N·m

(r × F)_z = r_xF_y − r_yF_x = 4·(−60) − 3·30 = −330 N·m

Componente pedida

M_x = −90 N·m

Resposta

M_x = −90 N·m

3.Reações de apoio em vigas

Resposta: R_A = 105 kN

Equilíbrio de balanços: um engaste pode empurrar para cima e também impedir a rotação, então dá uma reação vertical R_A e um momento de reação M_A. ΣF_y = 0 dá R_A, e os momentos em relação à parede dão M_A = Σ(carga × distância até a parede). Uma carga distribuída atua como sua resultante no centroide do diagrama de carga.

Resultante da carga distribuída

W = 10·6 = 60 kN, x̄ = 3 m

Equilíbrio vertical

R_A = P + W = 45 + 60 = 105 kN

Resposta

R_A = 105 kN

4.Reações de apoio em vigas

Resposta: M_A = 763,3 kN·m

Resultante da carga triangular

W = ½·4·10 = 20 kN

x̄ = 2L/3 = 6,667 m

Momento em relação à parede

M_A = W·x̄ + P·a = 20·6,667 + 70·9 = 763,3 kN·m

Resposta

M_A = 763,3 kN·m

5.Treliça: método dos nós

Resposta: F_BC = −29,51 kN

Método dos nós: cada nó de uma treliça está em equilíbrio, então ΣF_x = 0 e ΣF_y = 0 em cada nó. Comece por um nó com no máximo duas forças de barra desconhecidas. Um resultado negativo significa que a barra está comprimida.

Reações de apoio

Equilíbrio da treliça inteira. Momentos em relação a A, positivos no sentido anti-horário.

ΣM_A = 0: C_y·5 = 35·4 → C_y = 28 kN

ΣF_y = 0: A_y = 35 − 28 = 7 kN

Nó C

O apoio móvel dá apenas uma reação vertical, então o nó C tem só duas forças de barra desconhecidas. Suponha ambas tracionadas.

sin γ = 3/3,162 = 0,9487, cos γ = 1/3,162 = 0,3162

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −28/0,9487 = −29,51 kN

Resposta

F_BC = −29,51 kN (compressão)

6.Treliça: método dos nós

Resposta: F_BC = 18,33 kN

Reações de apoio

Equilíbrio da treliça inteira. Momentos em relação a A, positivos no sentido anti-horário.

ΣM_A = 0: C_y·5 = 20·1 − 25·3 → C_y = −11 kN

ΣF_y = 0: A_y = 20 − −11 = 31 kN

ΣF_x = 0: A_x = 25 kN

Nó C

O apoio móvel dá apenas uma reação vertical, então o nó C tem só duas forças de barra desconhecidas. Suponha ambas tracionadas.

sin γ = 3/5 = 0,6, cos γ = 4/5 = 0,8

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −−11/0,6 = 18,33 kN

Resposta

F_BC = 18,33 kN (tração)

7.Pórticos e máquinas

Resposta: F_O = 284,8 N

Máquinas: alicates, alavancas, articulações e grampos transformam uma força de entrada em uma força de saída maior ou de outra direção. Desenhe uma peça como corpo livre e tome momentos em torno do seu pivô: a força no pino sai da equação, e F_in·a = F_out·b dá a vantagem mecânica a/b. A força no pino decorre então de ΣF = 0 na mesma peça. Em uma articulação de joelho, duas barras se encontram em um ângulo raso θ; cada barra é um membro de duas forças, de modo que uma pequena força F na junta cria grandes forças F/(2 sen θ) nas barras e uma força de aperto F/(2 tan θ).

Força em B

Q = 100·200/75 = 266,7 N

Reação no pino

O_x = 266,7 N, O_y = 100 N

F_O = √(266,7² + 100²) = 284,8 N

Resposta

F_O = 284,8 N

8.Pórticos e máquinas

Resposta: C = 1,983 kN

Pórticos e máquinas: ao contrário de uma treliça, um pórtico contém pelo menos um membro que suporta forças em mais de dois pontos, ou uma carga entre seus pinos. Procure primeiro os membros de duas forças: um membro carregado apenas em dois pinos tem sua força ao longo da reta que passa por eles, de modo que traz uma incógnita, e não duas. Depois use a estrutura inteira para as reações de apoio quando houver no máximo três incógnitas. Por fim, desmonte o pórtico: desenhe cada membro separadamente, com as forças nos pinos iguais e opostas nos dois membros que eles ligam, e escreva ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 e ΣM = 0 para ele. Tomar momentos em torno de um pino elimina da equação as duas componentes da força desse pino.

Reação de apoio em B

B_y = 4·1,5/5 = 1,2 kN

Força no tirante

T = 1,2·2,5/1,9 = 1,579 kN

Força no pino sobre BC

C_x = 1,579 kN, C_y = −1,2 kN

C = √(1,579² + 1,2²) = 1,983 kN

Resposta

C = 1,983 kN

9.Esforço cortante e momento fletor

Resposta: E (x = 8 m)

Maior momento fletor: M muda de inclinação onde quer que a força cortante mude, então seus picos ficam onde a força cortante cruza o zero: sob uma carga pontual, dentro de uma carga distribuída ou sobre um apoio de um balanço. No engaste de uma viga em balanço, o momento é maior na parede. Compare o tamanho de M nesses lugares, positivo ou negativo.

Reações de apoio

Tome momentos em torno de um apoio e depois use o equilíbrio das forças verticais.

R₁ = 15 kN, R₂ = 55 kN

Momento fletor em cada marca

Some os momentos de todas as forças de um lado do corte. O momento que traciona embaixo é positivo, o que traciona em cima é negativo.

M_A = 0, M_B = 30, M_C = 60, M_D = 90, M_E = 120 kN·m, M_F = 110, M_G = 0

Resposta

Marca E: M_E = 120 kN·m

10.Esforço cortante e momento fletor

Resposta: E (x = 8 m)

Reações de apoio

Tome momentos em torno de um apoio e depois use o equilíbrio das forças verticais.

R₁ = 32 kN, R₂ = 102 kN

Momento fletor em cada marca

Some os momentos de todas as forças de um lado do corte. O momento que traciona embaixo é positivo, o que traciona em cima é negativo.

M_A = 0, M_B = 48, M_C = 64, M_D = −22, M_E = −140 kN·m, M_F = −70, M_G = 0

Resposta

Marca E: M_E = −140 kN·m

11.Centroide e momento de inércia

Resposta: I_x = 130,8 × 10⁶ mm⁴

Momento de inércia de área: para um retângulo em relação ao seu próprio eixo centroidal I = bh³/12, e em relação à sua base bh³/3 (teorema dos eixos paralelos I = I_c + A·d²). Um furo é tratado subtraindo seu I, desde que as duas partes usem o mesmo eixo. O módulo de resistência elástico é S = I/c, onde c é a distância até a fibra mais afastada.

Retângulo externo menos os dois recortes laterais

Os dois recortes juntos têm (B − t_w) de largura e h_w = H − 2t_f de altura, e compartilham o eixo x.

h_w = 340 − 2·18 = 304 mm

I_x = (B·H³ − (B − t_w)·h_w³)/12 = (120·340³ − 112·304³)/12

I_x = 1,308 × 10⁸ mm⁴ = 130,8 × 10⁶ mm⁴

Resposta

I_x = 130,8 × 10⁶ mm⁴

12.Centroide e momento de inércia

Resposta: σ_base = 81,21 MPa

Áreas compostas: divida a seção em retângulos. O centroide é a média ponderada pelas áreas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. O momento de inércia em relação ao eixo centroidal soma o bh³/12 próprio de cada parte e seu termo de eixos paralelos A·d², onde d é a distância do centroide da parte ao centroide geral. A tensão de flexão é σ = M·y/I.

Divida em dois retângulos

Meça todo y a partir da borda inferior.

mesa: A_f = 120·20 = 2400 mm², y_f = 280 + 20/2 = 290 mm

alma: A_w = 18·280 = 5040 mm², y_w = 280/2 = 140 mm

Centroide

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (2400·290 + 5040·140)/7440 = 188,4 mm

Teorema dos eixos paralelos

mesa: 120·20³/12 + 2400·(290 − 188,4)² = 2,486 × 10⁷ mm⁴

alma: 18·280³/12 + 5040·(140 − 188,4)² = 4,473 × 10⁷ mm⁴

I_x = 2,486 × 10⁷ + 4,473 × 10⁷ = 6,959 × 10⁷ mm⁴

Tensão de flexão

A borda inferior está a ȳ do eixo.

y = 188,4 mm

σ = M·y/I = 3 × 10⁷·188,4/6,959 × 10⁷ = 81,21 MPa

Resposta

σ_base = 81,21 MPa

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