Estática: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 12 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Vetores: produto escalar e vetorial

Módulo: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
Vetor unitário: û = a/|a|
Componentes a partir de um ângulo: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
Produto escalar: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
Projeção escalar de a sobre b: a·b/|b|
Trabalho: W = F·d
Produto vetorial: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
Áreas: paralelogramo |a × b|, triângulo ½|a × b|
Momento em relação a O: M_O = r × F, r = A − O
Volume de um paralelepípedo: V = |a·(b × c)|

Método

Escreva todo vetor em componentes; para uma força dada por um módulo e um ângulo, use F·cos θ e F·sin θ.
Para comprimentos e direções use o módulo √(x² + y² + z²) e o vetor unitário a/|a|.
Use o produto escalar para ângulos, projeções, perpendicularidade e trabalho: a·b = |a||b|cos θ.
Use o produto vetorial para vetores perpendiculares, áreas e momentos: escreva as três componentes com cuidado, mantendo a ordem a × b.

Reações de apoio em vigas

Equilíbrio: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Carga uniforme: resultante w·L no meio da carga
Momento: M = F·d

Método

Desenhe um diagrama de corpo livre e substitua cada apoio por suas reações.
Substitua cada carga distribuída por uma única força no seu centroide.
Tome momentos em relação a um apoio para encontrar a reação no outro.
Use ΣF_y = 0 para encontrar a reação restante e confira com uma segunda equação de momentos.

Treliça: método dos nós

Método dos nós: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Método das seções: ΣM = 0 about a cut point
Esforço na barra: positivo = tração, negativo = compressão

Método

Encontre as reações de apoio da treliça inteira.
Método dos nós: comece em um nó com no máximo duas forças de barra desconhecidas e use ΣF_x = 0 e ΣF_y = 0.
Método das seções: corte a barra de que você precisa e tome momentos em relação a um ponto onde as outras barras desconhecidas se encontram.
Suponha tração; uma resposta negativa significa compressão.

Pórticos e máquinas

Equilíbrio de cada membro: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Membro de duas forças: força ao longo da reta que passa pelos seus dois pinos
Força no pino: iguais e opostas nos dois membros que ele liga
Módulo de uma força no pino: F = √(F_x² + F_y²)
Alavanca, alicate, alavanca angular: F_in·a = F_out·b
Articulação de joelho: F_link = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
Carga uniforme: resultante w·L no meio da carga

Método

Desenhe a estrutura inteira e encontre as reações de apoio se houver no máximo três incógnitas.
Identifique os membros de duas forças: carregados apenas em dois pinos, sua força atua ao longo da reta entre os pinos.
Desmonte o pórtico e desenhe cada membro separadamente, com forças nos pinos iguais e opostas onde os membros se encontram.
Para cada membro, tome momentos em torno de um pino com forças desconhecidas e use depois ΣF_x = 0 e ΣF_y = 0; combine as componentes em um módulo só no final.

Esforço cortante e momento fletor

Cortante e momento: V = ΣF de um lado, M = ΣF·d de um lado
Tensão de flexão: σ = M·y/I
Retângulo: I = bh³/12
Módulo de resistência: W = I/y_max
Viga biapoiada, carga uniforme: M_max = wL²/8

Método

Encontre as reações de apoio pelo equilíbrio da viga inteira.
Corte a viga na seção de que você precisa e fique com um dos lados.
Esforço cortante: soma das forças verticais daquele lado. Momento fletor: soma dos momentos dessas forças em relação ao corte.
Para o momento máximo, encontre onde o esforço cortante é zero.

Centroide e momento de inércia

Centroide: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Retângulo: I = bh³/12
Teorema dos eixos paralelos: I = I_c + A·d²
Seção composta: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

2Exercícios

1.Vetores: produto escalar e vetorialMédia

Uma força constante F = (−20, −25, 25) N atua sobre um objeto enquanto ele se move em linha reta do ponto A(3, −3, 0) ao ponto B(4, −5, 0). As coordenadas estão em metros. Encontre o trabalho W realizado pela força.

F = (−20, −25, 25) NA(3, −3, 0) mB(4, −5, 0) m

W = J

2.Vetores: produto escalar e vetorialDifícil

Uma força F = (−30, 0, 40) N atua no ponto A(2, 0, −2). As coordenadas estão em metros. Encontre a componente x M_x do momento da força em relação a o ponto O(−2, −1, −1).

F = (−30, 0, 40) NA(2, 0, −2) mO(−2, −1, −1) m

M_x = N·m

3.Reações de apoio em vigasMédia

A viga simplesmente apoiada tem um apoio fixo em A e um apoio móvel em B. Ela suporta uma carga concentrada P a 2 m de A e um binário anti-horário M a 3 m de A. Encontre a reação vertical R_B, considerando positivo para cima.

L = 6 mP = 50 kN em 2 mM = 40 kN·m (anti-horário) em 3 m

R_B = kN

4.Reações de apoio em vigasDifícil

A viga tem um apoio fixo em A e um apoio móvel em B, a 4 m de A, e se estende em balanço além de B até a extremidade livre C. Ela suporta uma carga concentrada P a 2 m de A e uma carga uniformemente distribuída w de 2,5 m até a extremidade livre em 6 m. Encontre a reação vertical R_B, considerando positivo para cima.

AB = 4 mAC = 6 mP = 20 kN em 2 mw = 2 kN/m de 2,5 a 6 m

R_B = kN

5.Treliça: método dos nósMédia

Use o método dos nós para encontrar a força F_BC na barra BC. Dê tração como positiva e compressão como negativa.

vão = 5 maltura = 2 mB está a 1 m de Acarga vertical = 30 kN

F_BC = kN

6.Treliça: método dos nósDifícil

Exatamente um membro desta treliça não suporta força sob estas cargas. Qual é o membro de força nula? Clique nele no diagrama.

B: 15 kN ↓C: 40 kN ↓D: 15 kN ↓F: 20 kN ↓H: 15 kN ←

1membro AB
2membro BC
3membro CD
4membro DE
5membro FG
6membro GH
7membro AF
8membro HE
9membro BF
10membro CG
11membro DH
12membro FC
13membro HC

7.Pórticos e máquinasMédia

O pórtico em A mostrado está apoiado em um pino em A e em um rolete em B, a 6 m de distância. As pernas se encontram no pino C, a 3,6 m de altura, e o tirante horizontal DE está a 2 m acima do solo. Uma carga de 20 kN atua em C. Encontre o módulo da força C que o pino C exerce sobre a perna BC.

P = 20 kNAB = 6 maltura de C = 3,6 maltura de DE = 2 m

C = kN

8.Pórticos e máquinasDifícil

A viga AB do suporte de parede mostrado está articulada em A e escorada pela escora CD (C está 0,6 m abaixo de A). A viga suporta uma carga uniforme de 1,5 kN/m em todo o seu comprimento e uma carga concentrada de 3 kN na extremidade livre B. Encontre a força F_CD na escora.

w = 1,5 kN/mP = 3 kNAD = 1,2 mAB = 2,4 mAC = 0,6 m

F_CD = kN

9.Esforço cortante e momento fletorMédia

Encontre o momento fletor M_x na seção x = 2,5 m a partir do apoio A. Use momentos positivos quando tracionam a face inferior e cortante para cima na face esquerda positivo.

L = 8 mw = 3 kN/m de 0 a 8 mx = 2,5 m

M_x = kN·m

10.Esforço cortante e momento fletorDifícil

Encontre o momento fletor M_x na seção x = 1 m a partir do apoio A. Use momentos positivos quando tracionam a face inferior e cortante para cima na face esquerda positivo.

L = 10 mP = 25 kN em 1 mw = 3 kN/m de 0 a 10 mx = 1 m

M_x = kN·m

11.Centroide e momento de inérciaMédia

Uma placa de 120 mm × 240 mm tem um furo circular de diâmetro 30 mm na sua linha de centro vertical, com o centro a 72 mm acima da base. Encontre o momento de inércia da área I_x em torno do eixo horizontal que passa pelo centroide.

b = 120 mmh = 240 mmd = 30 mmcentro do furo: y = 72 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.Centroide e momento de inérciaDifícil

A seção T é usada como viga com a mesa em cima e suporta um momento fletor positivo de 30 kN·m. Encontre o valor da tensão de flexão σ_topo na borda superior.

b_f = 280 mmt_f = 15 mmt_w = 14 mmh_w = 300 mmM = 30 kN·m

σ_topo = MPa

3Soluções

1.Vetores: produto escalar e vetorial

Resposta: W = 30 J

Dot product: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.

Deslocamento

d = B − A = (4, −5, 0) − (3, −3, 0) = (1, −2, 0) m

Trabalho

W = F·d = (−20)·1 + (−25)·(−2) + 25·0 = 30 J

Resposta

W = 30 J

2.Vetores: produto escalar e vetorial

Resposta: M_x = 40 N·m

Cross product: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is M_O = r × F, with r = A − O.

Vetor de posição de O a A

r = A − O = (2, 0, −2) − (−2, −1, −1) = (4, 1, −1) m

Momento M = r × F

(r × F)_x = r_yF_z − r_zF_y = 1·40 − (−1)·0 = 40 N·m

(r × F)_y = r_zF_x − r_xF_z = (−1)·(−30) − 4·40 = −130 N·m

(r × F)_z = r_xF_y − r_yF_x = 4·0 − 1·(−30) = 30 N·m

Componente pedida

M_x = 40 N·m

Resposta

M_x = 40 N·m

3.Reações de apoio em vigas

Resposta: R_B = 10 kN

Equilíbrio estático: um corpo em repouso tem ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 e ΣM = 0 em relação a qualquer ponto. Substitua cada carga distribuída pela sua resultante (a sua área) atuando no centroide do diagrama de carga, e tome momentos em relação a um apoio para eliminar a reação desse apoio da equação.

Momentos em relação a A

Anti-horário positivo.

ΣM_A = 0: R_B·6 − 50·2 + 40 = 0

R_B = 60/6 = 10 kN

Equilíbrio vertical

R_A = 50 − 10 = 40 kN

Resposta

R_B = 10 kN

Uma reação negativa atua para baixo.

4.Reações de apoio em vigas

Resposta: R_B = 17,44 kN

Resultante da carga distribuída

W = 2·3,5 = 7 kN, x̄ = (2,5 + 6)/2 = 4,25 m

Equilíbrio

Momentos em relação a A, positivos no sentido anti-horário. Depois o equilíbrio das forças verticais.

ΣM_A = 0: R_B·4 = 20·2 + 7·4,25

R_B = 69,75/4 = 17,44 kN

R_A = 27 − 17,44 = 9,563 kN

Resposta

R_B = 17,44 kN

5.Treliça: método dos nós

Resposta: F_BC = −13,42 kN

Método dos nós: cada nó de uma treliça está em equilíbrio, então ΣF_x = 0 e ΣF_y = 0 em cada nó. Comece por um nó com no máximo duas forças de barra desconhecidas. Um resultado negativo significa que a barra está comprimida.

Reações de apoio

Equilíbrio da treliça inteira. Momentos em relação a A, positivos no sentido anti-horário.

ΣM_A = 0: C_y·5 = 30·1 → C_y = 6 kN

ΣF_y = 0: A_y = 30 − 6 = 24 kN

Nó C

O apoio móvel dá apenas uma reação vertical, então o nó C tem só duas forças de barra desconhecidas. Suponha ambas tracionadas.

sin γ = 2/4,472 = 0,4472, cos γ = 4/4,472 = 0,8944

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −6/0,4472 = −13,42 kN

Resposta

F_BC = −13,42 kN (compressão)

6.Treliça: método dos nós

Resposta: membro CG

Membros de força nula: em um nó, as forças devem se equilibrar em todas as direções. Se um nó não tem carga nem apoio, e dois de seus três membros estão alinhados, então o equilíbrio na direção perpendicular a essa linha envolve apenas o terceiro membro, e portanto sua força é zero. Se apenas dois membros se encontram em um nó sem carga e não estão alinhados, ambos são nulos.

Nó G

FG e GH estão em uma mesma reta e o nó não tem carga. Equilibrar as forças na direção perpendicular a essa reta deixa apenas CG.

ΣF⊥ = 0 → F_CG = 0

Verifique com o método dos nós

Resolver todos os nós dá estas forças nos membros (T = tração, C = compressão).

AB: 26,25 kN (T), BC: 26,25 kN (T), CD: 26,25 kN (T), DE: 26,25 kN (T), FG: 56,25 kN (C), GH: 56,25 kN (C), AF: 68,75 kN (C), HE: 43,75 kN (C), BF: 15 kN (T), CG: 0, DH: 15 kN (T), FC: 25 kN (T), HC: 25 kN (T)

Resposta

Membro de força nula: CG

7.Pórticos e máquinas

Resposta: C = 21,25 kN

Pórticos e máquinas: ao contrário de uma treliça, um pórtico contém pelo menos um membro que suporta forças em mais de dois pontos, ou uma carga entre seus pinos. Procure primeiro os membros de duas forças: um membro carregado apenas em dois pinos tem sua força ao longo da reta que passa por eles, de modo que traz uma incógnita, e não duas. Depois use a estrutura inteira para as reações de apoio quando houver no máximo três incógnitas. Por fim, desmonte o pórtico: desenhe cada membro separadamente, com as forças nos pinos iguais e opostas nos dois membros que eles ligam, e escreva ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 e ΣM = 0 para ele. Tomar momentos em torno de um pino elimina da equação as duas componentes da força desse pino.

Força no tirante a partir da perna BC

B_y = 10 kN

T = 10·3/1,6 = 18,75 kN

Componentes da força no pino sobre BC

C_x = T = 18,75 kN, C_y = −B_y = −10 kN

Módulo

C = √(18,75² + 10²) = 21,25 kN

Resposta

C = 21,25 kN

8.Pórticos e máquinas

Resposta: F_CD = 21,47 kN

Resultante da carga uniforme

w·L = 1,5·2,4 = 3,6 kN em 1,2 m

Momentos em torno de A para a viga

F_CD·0,4472·1,2 = 3,6·1,2 + 3·2,4 = 11,52 kN·m

F_CD = 21,47 kN

Resposta

F_CD = 21,47 kN

9.Esforço cortante e momento fletor

Resposta: M_x = 20,63 kN·m

Método das seções: corte a viga onde você quer os esforços internos e fique com um lado. O esforço cortante V equilibra as forças verticais desse lado, e o momento fletor M equilibra os momentos delas em relação ao corte.

Reações de apoio

Equilíbrio da viga inteira.

Resultante da carga distribuída: W = w·ℓ = 3·8 = 24 kN, atuando em x̄ = 4 m

ΣM_A = 0: R_B·8 = 3·8·4

R_B = 96/8 = 12 kN

ΣF_y = 0: R_A = 24 − 12 = 12 kN

Corte em x = 2,5 m e fique com a parte esquerda

Só aparecem as forças à esquerda do corte. Uma parte da carga distribuída age como uma única força no meio dessa parte.

M = R_A·x − (cada carga à esquerda do corte × sua distância até o corte)

M_x = 12·2,5 − 3·2,5·1,25 = 20,63 kN·m

Resposta

M_x = 20,63 kN·m

10.Esforço cortante e momento fletor

Resposta: M_x = 36 kN·m

Reações de apoio

Equilíbrio da viga inteira.

Resultante da carga distribuída: W = w·ℓ = 3·10 = 30 kN, atuando em x̄ = 5 m

ΣM_A = 0: R_B·10 = 25·1 + 3·10·5

R_B = 175/10 = 17,5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 55 − 17,5 = 37,5 kN

Corte em x = 1 m e fique com a parte esquerda

Só aparecem as forças à esquerda do corte. Uma parte da carga distribuída age como uma única força no meio dessa parte.

M = R_A·x − (cada carga à esquerda do corte × sua distância até o corte)

M_x = 37,5·1 − 3·1·0,5 = 36 kN·m

Resposta

M_x = 36 kN·m

11.Centroide e momento de inércia

Resposta: I_x = 136,5 × 10⁶ mm⁴

Seções com furos: trate um furo como uma área negativa. O centroide é ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), com A₁, y₁ para a placa inteira e A₂, y₂ para o furo. Para o momento de inércia da área (segundo momento de área) em torno do eixo que passa pelo centroide, use o teorema dos eixos paralelos para cada parte e subtraia o furo: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), em que d é a distância do centroide próprio de cada parte ao eixo que passa por ȳ. Um retângulo tem I_c = bh³/12 e um círculo I_c = πd⁴/64.

Centroide

ȳ = (28800·120 − 706,9·72)/(28800 − 706,9) = 121,2 mm

Placa inteira em torno de ȳ

120·240³/12 + 28800·−1,208² = 138,3 × 10⁶ mm⁴

Furo em torno de ȳ

π·30⁴/64 + 706,9·−49,21² = 1,751 × 10⁶ mm⁴

Subtraia

I_x = 136,5 × 10⁶ mm⁴

Resposta

I_x = 136,5 × 10⁶ mm⁴

12.Centroide e momento de inércia

Resposta: σ_topo = 30,92 MPa

Áreas compostas: divida a seção em retângulos. O centroide é a média ponderada pelas áreas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. O momento de inércia em relação ao eixo centroidal soma o bh³/12 próprio de cada parte e seu termo de eixos paralelos A·d², onde d é a distância do centroide da parte ao centroide geral. A tensão de flexão é σ = M·y/I.

Divida em dois retângulos

Meça todo y a partir da borda inferior.

mesa: A_f = 280·15 = 4200 mm², y_f = 300 + 15/2 = 307,5 mm

alma: A_w = 14·300 = 4200 mm², y_w = 300/2 = 150 mm

Centroide

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (4200·307,5 + 4200·150)/8400 = 228,8 mm

Teorema dos eixos paralelos

mesa: 280·15³/12 + 4200·(307,5 − 228,8)² = 2,613 × 10⁷ mm⁴

alma: 14·300³/12 + 4200·(150 − 228,8)² = 5,755 × 10⁷ mm⁴

I_x = 2,613 × 10⁷ + 5,755 × 10⁷ = 8,367 × 10⁷ mm⁴

Tensão de flexão

A borda superior está a h − ȳ do eixo.

y = 315 − 228,8 = 86,25 mm

σ = M·y/I = 3 × 10⁷·86,25/8,367 × 10⁷ = 30,92 MPa

Resposta

σ_topo = 30,92 MPa

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