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1Fórmulas e métodos
Vetores: produto escalar e vetorial
Módulo
|a| = √(ax² + ay² + az²)
Vetor unitário
û = a/|a|
Componentes a partir de um ângulo
Fx = F·cos θ, Fy = F·sin θ
Produto escalar
a·b = axbx + ayby + azbz = |a||b|cos θ
Projeção escalar de a sobre b
a·b/|b|
Trabalho
W = F·d
Produto vetorial
a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx)
Áreas
paralelogramo |a × b|, triângulo ½|a × b|
Momento em relação a O
MO = r × F, r = A − O
Volume de um paralelepípedo
V = |a·(b × c)|
Método
Escreva todo vetor em componentes; para uma força dada por um módulo e um ângulo, use F·cos θ e F·sin θ.
Para comprimentos e direções use o módulo √(x² + y² + z²) e o vetor unitário a/|a|.
Use o produto escalar para ângulos, projeções, perpendicularidade e trabalho: a·b = |a||b|cos θ.
Use o produto vetorial para vetores perpendiculares, áreas e momentos: escreva as três componentes com cuidado, mantendo a ordem a × b.
Reações de apoio em vigas
Equilíbrio
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Carga uniforme
resultante w·L no meio da carga
Momento
M = F·d
Método
Desenhe um diagrama de corpo livre e substitua cada apoio por suas reações.
Substitua cada carga distribuída por uma única força no seu centroide.
Tome momentos em relação a um apoio para encontrar a reação no outro.
Use ΣFy = 0 para encontrar a reação restante e confira com uma segunda equação de momentos.
Treliça: método dos nós
Método dos nós
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
Método das seções
ΣM = 0 about a cut point
Esforço na barra
positivo = tração, negativo = compressão
Método
Encontre as reações de apoio da treliça inteira.
Método dos nós: comece em um nó com no máximo duas forças de barra desconhecidas e use ΣFx = 0 e ΣFy = 0.
Método das seções: corte a barra de que você precisa e tome momentos em relação a um ponto onde as outras barras desconhecidas se encontram.
Suponha tração; uma resposta negativa significa compressão.
Pórticos e máquinas
Equilíbrio de cada membro
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Membro de duas forças
força ao longo da reta que passa pelos seus dois pinos
Força no pino
iguais e opostas nos dois membros que ele liga
Módulo de uma força no pino
F = √(Fx² + Fy²)
Alavanca, alicate, alavanca angular
Fin·a = Fout·b
Articulação de joelho
Flink = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
Carga uniforme
resultante w·L no meio da carga
Método
Desenhe a estrutura inteira e encontre as reações de apoio se houver no máximo três incógnitas.
Identifique os membros de duas forças: carregados apenas em dois pinos, sua força atua ao longo da reta entre os pinos.
Desmonte o pórtico e desenhe cada membro separadamente, com forças nos pinos iguais e opostas onde os membros se encontram.
Para cada membro, tome momentos em torno de um pino com forças desconhecidas e use depois ΣFx = 0 e ΣFy = 0; combine as componentes em um módulo só no final.
Esforço cortante e momento fletor
Cortante e momento
V = ΣF de um lado, M = ΣF·d de um lado
Tensão de flexão
σ = M·y/I
Retângulo
I = bh³/12
Módulo de resistência
W = I/ymax
Viga biapoiada, carga uniforme
Mmax = wL²/8
Método
Encontre as reações de apoio pelo equilíbrio da viga inteira.
Corte a viga na seção de que você precisa e fique com um dos lados.
Esforço cortante: soma das forças verticais daquele lado. Momento fletor: soma dos momentos dessas forças em relação ao corte.
Para o momento máximo, encontre onde o esforço cortante é zero.
Centroide e momento de inércia
Centroide
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
Retângulo
I = bh³/12
Teorema dos eixos paralelos
I = Ic + A·d²
Seção composta
I = Σ(Ic,i + Aidi²)
2Exercícios
1.Vetores: produto escalar e vetorialMédia
Encontre o ângulo θ entre os vetores a = (6, −2, 0) e b = (−3, 1, −4), em graus.
a = (6, −2, 0)b = (−3, 1, −4)
θ = °
2.Vetores: produto escalar e vetorialDifícil
Encontre a área A do triângulo de vértices A(3, −4, −1), B(1, −3, −1) e C(0, −1, −4). As coordenadas estão em metros.
A(3, −4, −1)B(1, −3, −1)C(0, −1, −4)
A = m²
3.Reações de apoio em vigasMédia
A viga simplesmente apoiada tem um apoio fixo em A e um apoio móvel em B. Encontre a reação vertical de apoio RA.
L = 5 mP1 = 30 kN em 1 mP2 = 35 kN em 3 m
RA = kN
4.Reações de apoio em vigasDifícil
A viga simplesmente apoiada tem um apoio fixo em A e um apoio móvel em B. Encontre a reação vertical de apoio RA.
L = 8 mP = 25 kN em 5 mw = 3 kN/m de 0 a 6 m
RA = kN
5.Treliça: método dos nósMédia
Use o método dos nós para encontrar a força FAB na barra AB. Dê tração como positiva e compressão como negativa.
vão = 6 maltura = 4 mB está a 5 m de Acarga vertical = 20 kN
FAB = kN
6.Treliça: método dos nósDifícil
Use o método dos nós para encontrar a força FAC na barra AC. Dê tração como positiva e compressão como negativa.
vão = 4 maltura = 3 mB está a 1 m de Acarga vertical = 40 kNcarga horizontal = 10 kN ←
FAC = kN
7.Pórticos e máquinasMédia
Uma viga horizontal AB está articulada a uma parede em A e escorada pela escora CD, articulada à parede em C, 1,2 m abaixo de A. Uma carga de 8 kN está pendurada em B. Despreze os pesos. Encontre o módulo da força A no pino sobre a viga em A.
P = 8 kNAD = 1,2 mAB = 4 mAC = 1,2 m
A = kN
8.Pórticos e máquinasDifícil
O pórtico em A mostrado está apoiado em um pino em A e em um rolete em B, a 2,4 m de distância. As pernas se encontram no pino C, a 4,5 m de altura, e são ligadas pela barra horizontal DE a 1,5 m. Uma força horizontal de 10 kN para a direita atua em C. Encontre a tração T no tirante.
P = 10 kNAB = 2,4 maltura de C = 4,5 maltura de DE = 1,5 m
T = kN
9.Esforço cortante e momento fletorMédia
A viga se apoia em um apoio fixo em A e em um apoio móvel em B e se estende 2 m além de B, em balanço, até a extremidade livre C. Ela suporta uma carga concentrada P1 entre os apoios e uma carga concentrada P2 em C. Encontre o momento fletor MB no apoio B. Use momentos positivos quando tracionam a face inferior e cortante para cima na face esquerda positivo.
L = 6 mP1 = 40 kN em 1,5 mP2 = 10 kN em 6 mapoios em x = 0 e x = 4 m
MB = kN·m
10.Esforço cortante e momento fletorDifícil
A viga simplesmente apoiada suporta uma carga uniformemente distribuída w em todo o vão e uma carga concentrada P. Encontre o momento fletor máximo Mmax na viga.
L = 10 mP = 20 kN em 2 mw = 5 kN/m de 0 a 10 m
Mmax = kN·m
11.Centroide e momento de inérciaMédia
Uma placa de 100 mm × 300 mm tem um furo circular de diâmetro 40 mm na sua linha de centro vertical, com o centro a 120 mm acima da base. Encontre o momento de inércia da área Ix em torno do eixo horizontal que passa pelo centroide.
b = 100 mmh = 300 mmd = 40 mmcentro do furo: y = 120 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
12.Centroide e momento de inérciaDifícil
Uma placa de 100 mm × 240 mm tem um recorte retangular de 60 mm de largura e 40 mm de altura, centrado na linha de centro vertical, com seu centro a 156 mm acima da base. Encontre o momento de inércia da área Ix em torno do eixo horizontal que passa pelo centroide.
b = 100 mmh = 240 mmrecorte: 60 × 40 mmcentro do furo: y = 156 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
3Soluções
1.Vetores: produto escalar e vetorial
Resposta: θ = 128,3 °
Produto escalar:a·b = axbx + ayby + azbz = |a|·|b|·cos θ, um escalar. Ele dá o ângulo entre dois vetores, cos θ = a·b/(|a|·|b|), e é nulo quando eles são perpendiculares. A projeção escalar de a sobre b é a·b/|b|, e uma força constante F que atua ao longo de um deslocamento d realiza o trabalho W = F·d.
Produto escalar
a·b = 6·(−3) + (−2)·1 + 0·(−4) = −20
Módulos
|a| = √(6² + (−2)² + 0²) = 6,325
|b| = √((−3)² + 1² + (−4)²) = 5,099
Ângulo
cos θ = −20/(6,325·5,099) = −0,6202
θ = arccos(−0,6202) = 128,3°
Resposta
θ = 128,3°
2.Vetores: produto escalar e vetorial
Resposta: A = 3,674 m²
Produto vetorial:a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx) é perpendicular aos dois vetores, e |a × b| = |a|·|b|·sin θ é a área do paralelogramo que eles formam (o triângulo tem metade dela). A ordem importa: b × a = −(a × b). O momento de uma força F aplicada no ponto A em relação ao ponto O é MO = r × F, com r = A − O.
Equilíbrio estático: um corpo em repouso tem ΣFx = 0, ΣFy = 0 e ΣM = 0 em relação a qualquer ponto. Tomar momentos em relação a um apoio elimina a reação desse apoio da equação.
Diagrama de corpo livre
Substitua os apoios por forças de reação. Um apoio móvel dá uma reação vertical; com apenas cargas verticais, o apoio fixo também dá uma reação vertical.
Equilíbrio
Momentos em relação a A, positivos no sentido anti-horário. Depois o equilíbrio das forças verticais.
ΣMA = 0: RB·5 = 30·1 + 35·3
RB = 135/5 = 27 kN
ΣFy = 0: RA = 65 − 27 = 38 kN
Resposta
RA = 38 kN
4.Reações de apoio em vigas
Resposta: RA = 20,63 kN
Equilíbrio estático: um corpo em repouso tem ΣFx = 0, ΣFy = 0 e ΣM = 0 em relação a qualquer ponto. Tomar momentos em relação a um apoio elimina a reação desse apoio da equação.
Diagrama de corpo livre
Substitua os apoios por forças de reação. Um apoio móvel dá uma reação vertical; com apenas cargas verticais, o apoio fixo também dá uma reação vertical.
Equilíbrio
Momentos em relação a A, positivos no sentido anti-horário. Depois o equilíbrio das forças verticais.
Resultante da carga distribuída: W = w·ℓ = 3·6 = 18 kN, atuando em x̄ = 3 m
ΣMA = 0: RB·8 = 25·5 + 3·6·3
RB = 179/8 = 22,38 kN
ΣFy = 0: RA = 43 − 22,38 = 20,63 kN
Resposta
RA = 20,63 kN
5.Treliça: método dos nós
Resposta: FAB = −5,336 kN
Método dos nós: cada nó de uma treliça está em equilíbrio, então ΣFx = 0 e ΣFy = 0 em cada nó. Comece por um nó com no máximo duas forças de barra desconhecidas. Um resultado negativo significa que a barra está comprimida.
Reações de apoio
Equilíbrio da treliça inteira. Momentos em relação a A, positivos no sentido anti-horário.
ΣMA = 0: Cy·6 = 20·5 → Cy = 16,67 kN
ΣFy = 0: Ay = 20 − 16,67 = 3,333 kN
Nó A
Suponha que toda barra está tracionada (puxando para fora do nó). Só AB tem componente vertical em A.
sin α = 4/6,403 = 0,6247
ΣFy = 0: Ay + FAB·sin α = 0
FAB = −3,333/0,6247 = −5,336 kN
Resposta
FAB = −5,336 kN (compressão)
6.Treliça: método dos nós
Resposta: FAC = 2,5 kN
Método dos nós: cada nó de uma treliça está em equilíbrio, então ΣFx = 0 e ΣFy = 0 em cada nó. Comece por um nó com no máximo duas forças de barra desconhecidas. Um resultado negativo significa que a barra está comprimida.
Reações de apoio
Equilíbrio da treliça inteira. Momentos em relação a A, positivos no sentido anti-horário.
ΣMA = 0: Cy·4 = 40·1 − 10·3 → Cy = 2,5 kN
ΣFy = 0: Ay = 40 − 2,5 = 37,5 kN
ΣFx = 0: Ax = 10 kN
Nó C
O apoio móvel dá apenas uma reação vertical, então o nó C tem só duas forças de barra desconhecidas. Suponha ambas tracionadas.
sin γ = 3/4,243 = 0,7071, cos γ = 3/4,243 = 0,7071
Pórticos e máquinas: ao contrário de uma treliça, um pórtico contém pelo menos um membro que suporta forças em mais de dois pontos, ou uma carga entre seus pinos. Procure primeiro os membros de duas forças: um membro carregado apenas em dois pinos tem sua força ao longo da reta que passa por eles, de modo que traz uma incógnita, e não duas. Depois use a estrutura inteira para as reações de apoio quando houver no máximo três incógnitas. Por fim, desmonte o pórtico: desenhe cada membro separadamente, com as forças nos pinos iguais e opostas nos dois membros que eles ligam, e escreva ΣFx = 0, ΣFy = 0 e ΣM = 0 para ele. Tomar momentos em torno de um pino elimina da equação as duas componentes da força desse pino.
Força na escora
FCD = 8·4/(0,7071·1,2) = 37,71 kN
Componentes em A
Ax = FCD·cos α = 26,67 kN (em direção à parede)
Ay = 8 − FCD·sin α = −18,67 kN
Módulo
A = √(26,67² + −18,67²) = 32,55 kN
Resposta
A = 32,55 kN
Um Ay negativo significa que a parede puxa a viga para baixo em A.
8.Pórticos e máquinas
Resposta: T = 7,5 kN
Pórticos e máquinas: ao contrário de uma treliça, um pórtico contém pelo menos um membro que suporta forças em mais de dois pontos, ou uma carga entre seus pinos. Procure primeiro os membros de duas forças: um membro carregado apenas em dois pinos tem sua força ao longo da reta que passa por eles, de modo que traz uma incógnita, e não duas. Depois use a estrutura inteira para as reações de apoio quando houver no máximo três incógnitas. Por fim, desmonte o pórtico: desenhe cada membro separadamente, com as forças nos pinos iguais e opostas nos dois membros que eles ligam, e escreva ΣFx = 0, ΣFy = 0 e ΣM = 0 para ele. Tomar momentos em torno de um pino elimina da equação as duas componentes da força desse pino.
Pórtico inteiro: momentos em torno de A
By·2,4 = 10·4,5
By = 18,75 kN
Perna BC: momentos em torno de C
18,75·1,2 = T·3
T = 7,5 kN
Resposta
T = 7,5 kN
Um T positivo significa que o tirante está tracionado, como suposto.
9.Esforço cortante e momento fletor
Resposta: MB = −20 kN·m
Método das seções: corte a viga onde você quer os esforços internos e fique com um lado. O esforço cortante V equilibra as forças verticais desse lado, e o momento fletor M equilibra os momentos delas em relação ao corte.
Reações de apoio
Equilíbrio da viga inteira. A carga do balanço também gera momento em relação a A.
ΣMA = 0: RB·4 = 40·1,5 + 10·6
RB = 120/4 = 30 kN
ΣFy = 0: RA = 50 − 30 = 20 kN
Corte em B e fique com o balanço
Só P2 atua no balanço, com braço de alavanca a. Ela flete a viga para cima sobre o apoio (tração na face superior).
MB = −P2·a = −10·2 = −20 kN·m
Resposta
MB = −20 kN·m
10.Esforço cortante e momento fletor
Resposta: Mmax = 84,1 kN·m
Método das seções: corte a viga onde você quer os esforços internos e fique com um lado. O esforço cortante V equilibra as forças verticais desse lado, e o momento fletor M equilibra os momentos delas em relação ao corte. Momento máximo: como dM/dx = V, o momento fletor atinge seu pico onde o esforço cortante passa por zero, seja em uma carga concentrada, seja dentro de uma carga distribuída.
Reações de apoio
Equilíbrio da viga inteira.
Resultante da carga distribuída: W = w·ℓ = 5·10 = 50 kN, atuando em x̄ = 5 m
ΣMA = 0: RB·10 = 20·2 + 5·10·5
RB = 290/10 = 29 kN
ΣFy = 0: RA = 70 − 29 = 41 kN
Onde V = 0?
RA − P − w·x0 = 0 → x0 = (41 − 20)/5 = 4,2 m
Momento máximo
Mmax = RA·x0 − P·(x0 − 2) − w·x0²/2 = 84,1 kN·m
Resposta
Mmax = 84,1 kN·m
Ele ocorre em x = 4,2 m a partir de A.
11.Centroide e momento de inércia
Resposta: Ix = 223,7 × 10⁶ mm⁴
Seções com furos: trate um furo como uma área negativa. O centroide é ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), com A₁, y₁ para a placa inteira e A₂, y₂ para o furo. Para o momento de inércia da área (segundo momento de área) em torno do eixo que passa pelo centroide, use o teorema dos eixos paralelos para cada parte e subtraia o furo: I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²), em que d é a distância do centroide próprio de cada parte ao eixo que passa por ȳ. Um retângulo tem Ic = bh³/12 e um círculo Ic = πd⁴/64.
Centroide
ȳ = (30000·150 − 1257·120)/(30000 − 1257) = 151,3 mm
Placa inteira em torno de ȳ
100·300³/12 + 30000·−1,312² = 225,1 × 10⁶ mm⁴
Furo em torno de ȳ
π·40⁴/64 + 1257·−31,31² = 1,358 × 10⁶ mm⁴
Subtraia
Ix = 223,7 × 10⁶ mm⁴
Resposta
Ix = 223,7 × 10⁶ mm⁴
12.Centroide e momento de inércia
Resposta: Ix = 111,4 × 10⁶ mm⁴
Seções com furos: trate um furo como uma área negativa. O centroide é ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), com A₁, y₁ para a placa inteira e A₂, y₂ para o furo. Para o momento de inércia da área (segundo momento de área) em torno do eixo que passa pelo centroide, use o teorema dos eixos paralelos para cada parte e subtraia o furo: I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²), em que d é a distância do centroide próprio de cada parte ao eixo que passa por ȳ. Um retângulo tem Ic = bh³/12 e um círculo Ic = πd⁴/64.
Centroide
ȳ = (24000·120 − 2400·156)/(24000 − 2400) = 116 mm