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1Fórmulas e métodos
Vetores: produto escalar e vetorial
Módulo
|a| = √(ax² + ay² + az²)
Vetor unitário
û = a/|a|
Componentes a partir de um ângulo
Fx = F·cos θ, Fy = F·sin θ
Produto escalar
a·b = axbx + ayby + azbz = |a||b|cos θ
Projeção escalar de a sobre b
a·b/|b|
Trabalho
W = F·d
Produto vetorial
a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx)
Áreas
paralelogramo |a × b|, triângulo ½|a × b|
Momento em relação a O
MO = r × F, r = A − O
Volume de um paralelepípedo
V = |a·(b × c)|
Método
Escreva todo vetor em componentes; para uma força dada por um módulo e um ângulo, use F·cos θ e F·sin θ.
Para comprimentos e direções use o módulo √(x² + y² + z²) e o vetor unitário a/|a|.
Use o produto escalar para ângulos, projeções, perpendicularidade e trabalho: a·b = |a||b|cos θ.
Use o produto vetorial para vetores perpendiculares, áreas e momentos: escreva as três componentes com cuidado, mantendo a ordem a × b.
Reações de apoio em vigas
Equilíbrio
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Carga uniforme
resultante w·L no meio da carga
Momento
M = F·d
Método
Desenhe um diagrama de corpo livre e substitua cada apoio por suas reações.
Substitua cada carga distribuída por uma única força no seu centroide.
Tome momentos em relação a um apoio para encontrar a reação no outro.
Use ΣFy = 0 para encontrar a reação restante e confira com uma segunda equação de momentos.
Treliça: método dos nós
Método dos nós
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
Método das seções
ΣM = 0 about a cut point
Esforço na barra
positivo = tração, negativo = compressão
Método
Encontre as reações de apoio da treliça inteira.
Método dos nós: comece em um nó com no máximo duas forças de barra desconhecidas e use ΣFx = 0 e ΣFy = 0.
Método das seções: corte a barra de que você precisa e tome momentos em relação a um ponto onde as outras barras desconhecidas se encontram.
Suponha tração; uma resposta negativa significa compressão.
Pórticos e máquinas
Equilíbrio de cada membro
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Membro de duas forças
força ao longo da reta que passa pelos seus dois pinos
Força no pino
iguais e opostas nos dois membros que ele liga
Módulo de uma força no pino
F = √(Fx² + Fy²)
Alavanca, alicate, alavanca angular
Fin·a = Fout·b
Articulação de joelho
Flink = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
Carga uniforme
resultante w·L no meio da carga
Método
Desenhe a estrutura inteira e encontre as reações de apoio se houver no máximo três incógnitas.
Identifique os membros de duas forças: carregados apenas em dois pinos, sua força atua ao longo da reta entre os pinos.
Desmonte o pórtico e desenhe cada membro separadamente, com forças nos pinos iguais e opostas onde os membros se encontram.
Para cada membro, tome momentos em torno de um pino com forças desconhecidas e use depois ΣFx = 0 e ΣFy = 0; combine as componentes em um módulo só no final.
Esforço cortante e momento fletor
Cortante e momento
V = ΣF de um lado, M = ΣF·d de um lado
Tensão de flexão
σ = M·y/I
Retângulo
I = bh³/12
Módulo de resistência
W = I/ymax
Viga biapoiada, carga uniforme
Mmax = wL²/8
Método
Encontre as reações de apoio pelo equilíbrio da viga inteira.
Corte a viga na seção de que você precisa e fique com um dos lados.
Esforço cortante: soma das forças verticais daquele lado. Momento fletor: soma dos momentos dessas forças em relação ao corte.
Para o momento máximo, encontre onde o esforço cortante é zero.
Centroide e momento de inércia
Centroide
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
Retângulo
I = bh³/12
Teorema dos eixos paralelos
I = Ic + A·d²
Seção composta
I = Σ(Ic,i + Aidi²)
2Exercícios
1.Vetores: produto escalar e vetorialMédia
Encontre o produto escalar a·b de a = (−6, 7, −5) e b = (5, −3, 7).
a = (−6, 7, −5)b = (5, −3, 7)
a·b =
2.Vetores: produto escalar e vetorialDifícil
Uma força F = (50, −10, −30) N atua no ponto A(3, 1, 1). As coordenadas estão em metros. Encontre a componente z Mz do momento da força em relação a a origem O(0, 0, 0).
F = (50, −10, −30) NA(3, 1, 1) mO(0, 0, 0) m
Mz = N·m
3.Reações de apoio em vigasMédia
A viga simplesmente apoiada tem um apoio fixo em A e um apoio móvel em B. Encontre a reação vertical de apoio RA.
L = 5 mP1 = 25 kN em 1,5 mP2 = 30 kN em 3,5 m
RA = kN
4.Reações de apoio em vigasDifícil
A viga simplesmente apoiada tem um apoio fixo em A e um apoio móvel em B. Encontre a reação vertical de apoio RA.
L = 8 mP = 55 kN em 7 mw = 5 kN/m de 5 a 7 m
RA = kN
5.Treliça: método dos nósMédia
Exatamente um membro desta treliça não suporta força sob estas cargas. Qual é o membro de força nula? Clique nele no diagrama.
B: 40 kN ↓C: 35 kN ↓D: 35 kN ↓H: 15 kN ↓
1membro AB
2membro BC
3membro CD
4membro DE
5membro FG
6membro GH
7membro AF
8membro HE
9membro BF
10membro CG
11membro DH
12membro FC
13membro HC
6.Treliça: método dos nósDifícil
Exatamente um membro desta treliça não suporta força sob estas cargas. Qual é o membro de força nula? Clique nele no diagrama.
B: 40 kN ↓C: 25 kN ↓G: 20 kN ↓H: 35 kN ←
1membro AB
2membro BC
3membro CD
4membro DE
5membro FG
6membro GH
7membro AF
8membro HE
9membro BF
10membro CG
11membro DH
12membro FC
13membro HC
7.Pórticos e máquinasMédia
A alavanca angular mostrada gira em torno do pino O. Uma força vertical de 50 N em A (a 150 mm de O) é equilibrada por uma força horizontal em B (a 80 mm acima de O). Encontre o módulo da reação no pino FO.
F = 50 NOA = 150 mmOB = 80 mm
FO = N
8.Pórticos e máquinasDifícil
Uma prensa de articulação de joelho tem duas barras iguais AB e BC, cada uma com 200 mm de comprimento entre pinos. A junta B está 25 mm acima da reta AC. Que força para baixo F em B produz uma força de prensagem horizontal de 2000 N no cursor C? Despreze o atrito e os pesos.
Q = 2000 NAB = BC = 200 mmh = 25 mm
F = N
9.Esforço cortante e momento fletorMédia
A viga simplesmente apoiada suporta um binário no sentido horário M0 = 55 kN·m em x = 2 m a partir de A, e nenhuma outra carga. Encontre o momento fletor Mx logo à esquerda do binário. Use momentos positivos quando tracionam a face inferior e cortante para cima na face esquerda positivo.
L = 5 mM0 = 55 kN·m no sentido horário, em 2 m
Mx = kN·m
10.Esforço cortante e momento fletorDifícil
Encontre o momento fletor Mx na seção x = 5 m a partir do apoio A. Use momentos positivos quando tracionam a face inferior e cortante para cima na face esquerda positivo.
L = 10 mP = 10 kN em 9 mw = 2 kN/m de 0 a 10 mx = 5 m
Mx = kN·m
11.Centroide e momento de inérciaMédia
Um perfil U está com o lado aberto para cima: uma chapa de base de 120 mm de largura com duas abas verticais, com altura total de 180 mm. Base e abas têm todas 8 mm de espessura. Encontre a altura ȳ do centroide acima da borda inferior.
b = 120 mmh = 180 mmt = 8 mm
ȳ = mm
12.Centroide e momento de inérciaDifícil
Uma viga de ferro fundido tem a seção T mostrada, com a mesa em cima. As tensões admissíveis são 50 MPa na tração e 100 MPa na compressão. Encontre o maior momento fletor positivo Mallow que a viga pode suportar.
Dot product:a·b = axbx + ayby + azbz = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.
Negativo: o ângulo entre os vetores é maior que 90°.
2.Vetores: produto escalar e vetorial
Resposta: Mz = −80 N·m
Cross product:a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is MO = r × F, with r = A − O.
Equilíbrio estático: um corpo em repouso tem ΣFx = 0, ΣFy = 0 e ΣM = 0 em relação a qualquer ponto. Tomar momentos em relação a um apoio elimina a reação desse apoio da equação.
Diagrama de corpo livre
Substitua os apoios por forças de reação. Um apoio móvel dá uma reação vertical; com apenas cargas verticais, o apoio fixo também dá uma reação vertical.
Equilíbrio
Momentos em relação a A, positivos no sentido anti-horário. Depois o equilíbrio das forças verticais.
ΣMA = 0: RB·5 = 25·1,5 + 30·3,5
RB = 142,5/5 = 28,5 kN
ΣFy = 0: RA = 55 − 28,5 = 26,5 kN
Resposta
RA = 26,5 kN
4.Reações de apoio em vigas
Resposta: RA = 9,375 kN
Equilíbrio estático: um corpo em repouso tem ΣFx = 0, ΣFy = 0 e ΣM = 0 em relação a qualquer ponto. Tomar momentos em relação a um apoio elimina a reação desse apoio da equação.
Diagrama de corpo livre
Substitua os apoios por forças de reação. Um apoio móvel dá uma reação vertical; com apenas cargas verticais, o apoio fixo também dá uma reação vertical.
Equilíbrio
Momentos em relação a A, positivos no sentido anti-horário. Depois o equilíbrio das forças verticais.
Resultante da carga distribuída: W = w·ℓ = 5·2 = 10 kN, atuando em x̄ = 6 m
ΣMA = 0: RB·8 = 55·7 + 5·2·6
RB = 445/8 = 55,63 kN
ΣFy = 0: RA = 65 − 55,63 = 9,375 kN
Resposta
RA = 9,375 kN
5.Treliça: método dos nós
Resposta: membro CG
Membros de força nula: em um nó, as forças devem se equilibrar em todas as direções. Se um nó não tem carga nem apoio, e dois de seus três membros estão alinhados, então o equilíbrio na direção perpendicular a essa linha envolve apenas o terceiro membro, e portanto sua força é zero. Se apenas dois membros se encontram em um nó sem carga e não estão alinhados, ambos são nulos.
Nó G
FG e GH estão em uma mesma reta e o nó não tem carga. Equilibrar as forças na direção perpendicular a essa reta deixa apenas CG.
ΣF⊥ = 0 → FCG = 0
Verifique com o método dos nós
Resolver todos os nós dá estas forças nos membros (T = tração, C = compressão).
Membros de força nula: em um nó, as forças devem se equilibrar em todas as direções. Se um nó não tem carga nem apoio, e dois de seus três membros estão alinhados, então o equilíbrio na direção perpendicular a essa linha envolve apenas o terceiro membro, e portanto sua força é zero. Se apenas dois membros se encontram em um nó sem carga e não estão alinhados, ambos são nulos.
Nó D
CD e DE estão em uma mesma reta e o nó não tem carga. Equilibrar as forças na direção perpendicular a essa reta deixa apenas DH.
ΣF⊥ = 0 → FDH = 0
Verifique com o método dos nós
Resolver todos os nós dá estas forças nos membros (T = tração, C = compressão).
Máquinas: alicates, alavancas, articulações e grampos transformam uma força de entrada em uma força de saída maior ou de outra direção. Desenhe uma peça como corpo livre e tome momentos em torno do seu pivô: a força no pino sai da equação, e Fin·a = Fout·b dá a vantagem mecânica a/b. A força no pino decorre então de ΣF = 0 na mesma peça. Em uma articulação de joelho, duas barras se encontram em um ângulo raso θ; cada barra é um membro de duas forças, de modo que uma pequena força F na junta cria grandes forças F/(2 sen θ) nas barras e uma força de aperto F/(2 tan θ).
Força em B
Q = 50·150/80 = 93,75 N
Reação no pino
Ox = 93,75 N, Oy = 50 N
FO = √(93,75² + 50²) = 106,3 N
Resposta
FO = 106,3 N
8.Pórticos e máquinas
Resposta: F = 504 N
Máquinas: alicates, alavancas, articulações e grampos transformam uma força de entrada em uma força de saída maior ou de outra direção. Desenhe uma peça como corpo livre e tome momentos em torno do seu pivô: a força no pino sai da equação, e Fin·a = Fout·b dá a vantagem mecânica a/b. A força no pino decorre então de ΣF = 0 na mesma peça. Em uma articulação de joelho, duas barras se encontram em um ângulo raso θ; cada barra é um membro de duas forças, de modo que uma pequena força F na junta cria grandes forças F/(2 sen θ) nas barras e uma força de aperto F/(2 tan θ).
Ângulo da barra
sin θ = 25/200 = 0,125, θ = 7,181°
Força na barra
Flink = Q/cos θ = 2016 N
Força em B
F = 2·Flink·sin θ = 2·2000·tan θ = 504 N
Resposta
F = 504 N
9.Esforço cortante e momento fletor
Resposta: Mx = −22 kN·m
Método das seções: corte a viga onde você quer os esforços internos e fique com um lado. O esforço cortante V equilibra as forças verticais desse lado, e o momento fletor M equilibra os momentos delas em relação ao corte. Um binário aplicado faz o diagrama de momento fletor saltar do valor do binário.
Reações de apoio
Momentos em relação a A, positivos no sentido anti-horário: RB·L − M0 = 0. Equilíbrio vertical: RA + RB = 0.
RB = M0/L = 55/5 = 11 kN (para cima)
RA = −RB = −11 kN (para baixo)
Corte logo à esquerda do binário
A parte esquerda contém apenas RA.
Mx = RA·a = −11·2 = −22 kN·m
Resposta
Mx = −22 kN·m
10.Esforço cortante e momento fletor
Resposta: Mx = 30 kN·m
Método das seções: corte a viga onde você quer os esforços internos e fique com um lado. O esforço cortante V equilibra as forças verticais desse lado, e o momento fletor M equilibra os momentos delas em relação ao corte.
Reações de apoio
Equilíbrio da viga inteira.
Resultante da carga distribuída: W = w·ℓ = 2·10 = 20 kN, atuando em x̄ = 5 m
ΣMA = 0: RB·10 = 10·9 + 2·10·5
RB = 190/10 = 19 kN
ΣFy = 0: RA = 30 − 19 = 11 kN
Corte em x = 5 m e fique com a parte esquerda
Só aparecem as forças à esquerda do corte. Uma parte da carga distribuída age como uma única força no meio dessa parte.
M = RA·x − (cada carga à esquerda do corte × sua distância até o corte)
Mx = 11·5 − 2·5·2,5 = 30 kN·m
Resposta
Mx = 30 kN·m
11.Centroide e momento de inércia
Resposta: ȳ = 70,72 mm
Áreas compostas: divida a seção em retângulos. O centroide é a média ponderada pelas áreas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. O momento de inércia em relação ao eixo centroidal soma o bh³/12 próprio de cada parte e seu termo de eixos paralelos A·d², onde d é a distância do centroide da parte ao centroide geral. A tensão de flexão é σ = M·y/I.
Divida em retângulos
Tome a base com a largura total e as duas abas acima dela (altura h − t), para que nada seja contado duas vezes.
base: A1 = 120·8 = 960 mm², y1 = 4 mm
duas abas: A2 = 2·8·172 = 2752 mm², y2 = 8 + 172/2 = 94 mm
Centroide
ȳ = (960·4 + 2752·94)/3712 = 70,72 mm
Resposta
ȳ = 70,72 mm
12.Centroide e momento de inércia
Resposta: Mallow = 3,765 kN·m
Áreas compostas: divida a seção em retângulos. O centroide é a média ponderada pelas áreas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. O momento de inércia em relação ao eixo centroidal soma o bh³/12 próprio de cada parte e seu termo de eixos paralelos A·d², onde d é a distância do centroide da parte ao centroide geral. A tensão de flexão é σ = M·y/I.