Na janela de impressão, escolha “Salvar como PDF” para guardar uma cópia no seu dispositivo.
1Fórmulas e métodos
Vetores: produto escalar e vetorial
Módulo
|a| = √(ax² + ay² + az²)
Vetor unitário
û = a/|a|
Componentes a partir de um ângulo
Fx = F·cos θ, Fy = F·sin θ
Produto escalar
a·b = axbx + ayby + azbz = |a||b|cos θ
Projeção escalar de a sobre b
a·b/|b|
Trabalho
W = F·d
Produto vetorial
a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx)
Áreas
paralelogramo |a × b|, triângulo ½|a × b|
Momento em relação a O
MO = r × F, r = A − O
Volume de um paralelepípedo
V = |a·(b × c)|
Método
Escreva todo vetor em componentes; para uma força dada por um módulo e um ângulo, use F·cos θ e F·sin θ.
Para comprimentos e direções use o módulo √(x² + y² + z²) e o vetor unitário a/|a|.
Use o produto escalar para ângulos, projeções, perpendicularidade e trabalho: a·b = |a||b|cos θ.
Use o produto vetorial para vetores perpendiculares, áreas e momentos: escreva as três componentes com cuidado, mantendo a ordem a × b.
Reações de apoio em vigas
Equilíbrio
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Carga uniforme
resultante w·L no meio da carga
Momento
M = F·d
Método
Desenhe um diagrama de corpo livre e substitua cada apoio por suas reações.
Substitua cada carga distribuída por uma única força no seu centroide.
Tome momentos em relação a um apoio para encontrar a reação no outro.
Use ΣFy = 0 para encontrar a reação restante e confira com uma segunda equação de momentos.
Treliça: método dos nós
Método dos nós
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
Método das seções
ΣM = 0 about a cut point
Esforço na barra
positivo = tração, negativo = compressão
Método
Encontre as reações de apoio da treliça inteira.
Método dos nós: comece em um nó com no máximo duas forças de barra desconhecidas e use ΣFx = 0 e ΣFy = 0.
Método das seções: corte a barra de que você precisa e tome momentos em relação a um ponto onde as outras barras desconhecidas se encontram.
Suponha tração; uma resposta negativa significa compressão.
Pórticos e máquinas
Equilíbrio de cada membro
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Membro de duas forças
força ao longo da reta que passa pelos seus dois pinos
Força no pino
iguais e opostas nos dois membros que ele liga
Módulo de uma força no pino
F = √(Fx² + Fy²)
Alavanca, alicate, alavanca angular
Fin·a = Fout·b
Articulação de joelho
Flink = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
Carga uniforme
resultante w·L no meio da carga
Método
Desenhe a estrutura inteira e encontre as reações de apoio se houver no máximo três incógnitas.
Identifique os membros de duas forças: carregados apenas em dois pinos, sua força atua ao longo da reta entre os pinos.
Desmonte o pórtico e desenhe cada membro separadamente, com forças nos pinos iguais e opostas onde os membros se encontram.
Para cada membro, tome momentos em torno de um pino com forças desconhecidas e use depois ΣFx = 0 e ΣFy = 0; combine as componentes em um módulo só no final.
Esforço cortante e momento fletor
Cortante e momento
V = ΣF de um lado, M = ΣF·d de um lado
Tensão de flexão
σ = M·y/I
Retângulo
I = bh³/12
Módulo de resistência
W = I/ymax
Viga biapoiada, carga uniforme
Mmax = wL²/8
Método
Encontre as reações de apoio pelo equilíbrio da viga inteira.
Corte a viga na seção de que você precisa e fique com um dos lados.
Esforço cortante: soma das forças verticais daquele lado. Momento fletor: soma dos momentos dessas forças em relação ao corte.
Para o momento máximo, encontre onde o esforço cortante é zero.
Centroide e momento de inércia
Centroide
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
Retângulo
I = bh³/12
Teorema dos eixos paralelos
I = Ic + A·d²
Seção composta
I = Σ(Ic,i + Aidi²)
2Exercícios
1.Vetores: produto escalar e vetorialMédia
Uma força constante F = (−5, 10, 30) N atua sobre um objeto enquanto ele se move em linha reta do ponto A(−2, 3, 1) ao ponto B(−5, −5, −2). As coordenadas estão em metros. Encontre o trabalho W realizado pela força.
F = (−5, 10, 30) NA(−2, 3, 1) mB(−5, −5, −2) m
W = J
2.Vetores: produto escalar e vetorialDifícil
Uma força F = (60, 20, −20) N atua no ponto A(−2, 0, −1). As coordenadas estão em metros. Encontre o módulo |M| do momento da força em relação a o ponto O(−1, −3, 3).
F = (60, 20, −20) NA(−2, 0, −1) mO(−1, −3, 3) m
|M| = N·m
3.Reações de apoio em vigasMédia
A viga simplesmente apoiada tem um apoio fixo em A e um apoio móvel em B. Ela suporta uma carga concentrada P a 3 m de A e um binário horário M a 3,5 m de A. Encontre a reação vertical RB, considerando positivo para cima.
L = 5 mP = 55 kN em 3 mM = 25 kN·m (horário) em 3,5 m
RB = kN
4.Reações de apoio em vigasDifícil
A viga em balanço está engastada na parede em A. Ela suporta uma carga linearmente variável que é zero na parede e cresce até 15 kN/m na extremidade livre B, além de uma carga concentrada P a 2 m da parede. Encontre o módulo do momento de reação MA na parede.
L = 6 mw0 = 15 kN/mP = 80 kN em 2 m
MA = kN·m
5.Treliça: método dos nósMédia
Use o método dos nós para encontrar a força FAC na barra AC. Dê tração como positiva e compressão como negativa.
vão = 4 maltura = 4 mB está a 3 m de Acarga vertical = 50 kN
FAC = kN
6.Treliça: método dos nósDifícil
Use o método dos nós para encontrar a força FAB na barra AB. Dê tração como positiva e compressão como negativa.
vão = 5 maltura = 3 mB está a 1 m de Acarga vertical = 50 kNcarga horizontal = 10 kN →
FAB = kN
7.Pórticos e máquinasMédia
No grampo de articulação de joelho mostrado, duas barras iguais AB e BC estão articuladas em B, e cada uma faz 5° com a reta AC. Uma força para baixo de 400 N é aplicada em B. O cursor C pressiona uma peça. Desprezando o atrito e os pesos, encontre a força de aperto horizontal Q.
F = 400 Nθ = 5°
Q = N
8.Pórticos e máquinasDifícil
Uma lança horizontal uniforme AB de peso 1,5 kN está articulada a uma parede em A e sustentada por um cabo que vai da sua extremidade B ao ponto C da parede, 2 m acima de A. Uma carga de 5 kN está pendurada em B. Encontre a tração T no cabo.
W = 5 kNWb = 1,5 kNAB = 2,5 mAC = 2 m
T = kN
9.Esforço cortante e momento fletorMédia
A viga se apoia em um apoio fixo em A e em um apoio móvel em B e se estende 1 m além de B, em balanço, até a extremidade livre C. Ela suporta uma carga concentrada P1 entre os apoios e uma carga concentrada P2 em C. Encontre o momento fletor MB no apoio B. Use momentos positivos quando tracionam a face inferior e cortante para cima na face esquerda positivo.
L = 9 mP1 = 55 kN em 3 mP2 = 20 kN em 9 mapoios em x = 0 e x = 8 m
MB = kN·m
10.Esforço cortante e momento fletorDifícil
A viga simplesmente apoiada suporta uma carga uniformemente distribuída w em todo o vão e uma carga concentrada P. Encontre o momento fletor máximo Mmax na viga.
L = 8 mP = 20 kN em 3 mw = 3 kN/m de 0 a 8 m
Mmax = kN·m
11.Centroide e momento de inérciaMédia
Uma placa de 100 mm × 240 mm tem um furo circular de diâmetro 50 mm na sua linha de centro vertical, com o centro a 144 mm acima da base. Encontre o momento de inércia da área Ix em torno do eixo horizontal que passa pelo centroide.
b = 100 mmh = 240 mmd = 50 mmcentro do furo: y = 144 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
12.Centroide e momento de inérciaDifícil
Uma placa de 150 mm × 300 mm tem um recorte retangular de 40 mm de largura e 50 mm de altura, centrado na linha de centro vertical, com seu centro a 210 mm acima da base. Encontre o momento de inércia da área Ix em torno do eixo horizontal que passa pelo centroide.
b = 150 mmh = 300 mmrecorte: 40 × 50 mmcentro do furo: y = 210 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
3Soluções
1.Vetores: produto escalar e vetorial
Resposta: W = −155 J
Dot product:a·b = axbx + ayby + azbz = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.
Deslocamento
d = B − A = (−5, −5, −2) − (−2, 3, 1) = (−3, −8, −3) m
Trabalho
W = F·d = (−5)·(−3) + 10·(−8) + 30·(−3) = −155 J
Resposta
W = −155 J
Trabalho negativo: a força atua principalmente contra o movimento.
2.Vetores: produto escalar e vetorial
Resposta: |M| = 328,6 N·m
Cross product:a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is MO = r × F, with r = A − O.
Vetor de posição de O a A
r = A − O = (−2, 0, −1) − (−1, −3, 3) = (−1, 3, −4) m
Equilíbrio estático: um corpo em repouso tem ΣFx = 0, ΣFy = 0 e ΣM = 0 em relação a qualquer ponto. Substitua cada carga distribuída pela sua resultante (a sua área) atuando no centroide do diagrama de carga, e tome momentos em relação a um apoio para eliminar a reação desse apoio da equação.
Momentos em relação a A
Anti-horário positivo.
ΣMA = 0: RB·5 − 55·3 − 25 = 0
RB = 190/5 = 38 kN
Equilíbrio vertical
RA = 55 − 38 = 17 kN
Resposta
RB = 38 kN
Uma reação negativa atua para baixo.
4.Reações de apoio em vigas
Resposta: MA = 340 kN·m
Equilíbrio de balanços: um engaste pode empurrar para cima e também impedir a rotação, então dá uma reação vertical RA e um momento de reação MA. ΣFy = 0 dá RA, e os momentos em relação à parede dão MA = Σ(carga × distância até a parede). Uma carga distribuída atua como sua resultante no centroide do diagrama de carga.
Resultante da carga triangular
W = ½·15·6 = 45 kN
x̄ = 2L/3 = 4 m
Momento em relação à parede
MA = W·x̄ + P·a = 45·4 + 80·2 = 340 kN·m
Resposta
MA = 340 kN·m
5.Treliça: método dos nós
Resposta: FAC = 9,375 kN
Método dos nós: cada nó de uma treliça está em equilíbrio, então ΣFx = 0 e ΣFy = 0 em cada nó. Comece por um nó com no máximo duas forças de barra desconhecidas. Um resultado negativo significa que a barra está comprimida.
Reações de apoio
Equilíbrio da treliça inteira. Momentos em relação a A, positivos no sentido anti-horário.
ΣMA = 0: Cy·4 = 50·3 → Cy = 37,5 kN
ΣFy = 0: Ay = 50 − 37,5 = 12,5 kN
Nó C
O apoio móvel dá apenas uma reação vertical, então o nó C tem só duas forças de barra desconhecidas. Suponha ambas tracionadas.
sin γ = 4/4,123 = 0,9701, cos γ = 1/4,123 = 0,2425
Método dos nós: cada nó de uma treliça está em equilíbrio, então ΣFx = 0 e ΣFy = 0 em cada nó. Comece por um nó com no máximo duas forças de barra desconhecidas. Um resultado negativo significa que a barra está comprimida.
Reações de apoio
Equilíbrio da treliça inteira. Momentos em relação a A, positivos no sentido anti-horário.
ΣMA = 0: Cy·5 = 50·1 + 10·3 → Cy = 16 kN
ΣFy = 0: Ay = 50 − 16 = 34 kN
ΣFx = 0: Ax = −10 kN
Nó A
Suponha que toda barra está tracionada (puxando para fora do nó). Só AB tem componente vertical em A.
sin α = 3/3,162 = 0,9487
ΣFy = 0: Ay + FAB·sin α = 0
FAB = −34/0,9487 = −35,84 kN
Resposta
FAB = −35,84 kN (compressão)
7.Pórticos e máquinas
Resposta: Q = 2286 N
Máquinas: alicates, alavancas, articulações e grampos transformam uma força de entrada em uma força de saída maior ou de outra direção. Desenhe uma peça como corpo livre e tome momentos em torno do seu pivô: a força no pino sai da equação, e Fin·a = Fout·b dá a vantagem mecânica a/b. A força no pino decorre então de ΣF = 0 na mesma peça. Em uma articulação de joelho, duas barras se encontram em um ângulo raso θ; cada barra é um membro de duas forças, de modo que uma pequena força F na junta cria grandes forças F/(2 sen θ) nas barras e uma força de aperto F/(2 tan θ).
Equilíbrio do pino B
2·Flink·sin 5° = 400
Flink = 2295 N
Força de aperto
Q = Flink·cos 5° = 400/(2·tan 5°) = 2286 N
Resposta
Q = 2286 N
A razão de forças Q/F = 5,715 cresce sem limite à medida que as barras se endireitam.
8.Pórticos e máquinas
Resposta: T = 9,204 kN
Pórticos e máquinas: ao contrário de uma treliça, um pórtico contém pelo menos um membro que suporta forças em mais de dois pontos, ou uma carga entre seus pinos. Procure primeiro os membros de duas forças: um membro carregado apenas em dois pinos tem sua força ao longo da reta que passa por eles, de modo que traz uma incógnita, e não duas. Depois use a estrutura inteira para as reações de apoio quando houver no máximo três incógnitas. Por fim, desmonte o pórtico: desenhe cada membro separadamente, com as forças nos pinos iguais e opostas nos dois membros que eles ligam, e escreva ΣFx = 0, ΣFy = 0 e ΣM = 0 para ele. Tomar momentos em torno de um pino elimina da equação as duas componentes da força desse pino.
Ângulo do cabo
BC = √(2,5² + 2²) = 3,202 m, sin β = 0,6247
Momentos em relação a A
T·0,6247·2,5 = 5·2,5 + 1,5·1,25
T = 9,204 kN
Resposta
T = 9,204 kN
9.Esforço cortante e momento fletor
Resposta: MB = −20 kN·m
Método das seções: corte a viga onde você quer os esforços internos e fique com um lado. O esforço cortante V equilibra as forças verticais desse lado, e o momento fletor M equilibra os momentos delas em relação ao corte.
Reações de apoio
Equilíbrio da viga inteira. A carga do balanço também gera momento em relação a A.
ΣMA = 0: RB·8 = 55·3 + 20·9
RB = 345/8 = 43,13 kN
ΣFy = 0: RA = 75 − 43,13 = 31,88 kN
Corte em B e fique com o balanço
Só P2 atua no balanço, com braço de alavanca a. Ela flete a viga para cima sobre o apoio (tração na face superior).
MB = −P2·a = −20·1 = −20 kN·m
Resposta
MB = −20 kN·m
10.Esforço cortante e momento fletor
Resposta: Mmax = 60 kN·m
Método das seções: corte a viga onde você quer os esforços internos e fique com um lado. O esforço cortante V equilibra as forças verticais desse lado, e o momento fletor M equilibra os momentos delas em relação ao corte. Momento máximo: como dM/dx = V, o momento fletor atinge seu pico onde o esforço cortante passa por zero, seja em uma carga concentrada, seja dentro de uma carga distribuída.
Reações de apoio
Equilíbrio da viga inteira.
Resultante da carga distribuída: W = w·ℓ = 3·8 = 24 kN, atuando em x̄ = 4 m
ΣMA = 0: RB·8 = 20·3 + 3·8·4
RB = 156/8 = 19,5 kN
ΣFy = 0: RA = 44 − 19,5 = 24,5 kN
Onde V = 0?
V(3⁻) = RA − w·3 = 15,5 kN
V(3⁺) = 15,5 − 20 = −4,5 kN
O cortante muda de sinal na carga, então o máximo fica sob a carga.
Momento máximo
Mmax = RA·3 − w·3²/2 = 24,5·3 − 3·3²/2 = 60 kN·m
Resposta
Mmax = 60 kN·m
Ele ocorre em x = 3 m a partir de A.
11.Centroide e momento de inércia
Resposta: Ix = 113,7 × 10⁶ mm⁴
Seções com furos: trate um furo como uma área negativa. O centroide é ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), com A₁, y₁ para a placa inteira e A₂, y₂ para o furo. Para o momento de inércia da área (segundo momento de área) em torno do eixo que passa pelo centroide, use o teorema dos eixos paralelos para cada parte e subtraia o furo: I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²), em que d é a distância do centroide próprio de cada parte ao eixo que passa por ȳ. Um retângulo tem Ic = bh³/12 e um círculo Ic = πd⁴/64.
Centroide
ȳ = (24000·120 − 1963·144)/(24000 − 1963) = 117,9 mm
Placa inteira em torno de ȳ
100·240³/12 + 24000·2,138² = 115,3 × 10⁶ mm⁴
Furo em torno de ȳ
π·50⁴/64 + 1963·26,14² = 1,648 × 10⁶ mm⁴
Subtraia
Ix = 113,7 × 10⁶ mm⁴
Resposta
Ix = 113,7 × 10⁶ mm⁴
12.Centroide e momento de inércia
Resposta: Ix = 329,5 × 10⁶ mm⁴
Seções com furos: trate um furo como uma área negativa. O centroide é ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), com A₁, y₁ para a placa inteira e A₂, y₂ para o furo. Para o momento de inércia da área (segundo momento de área) em torno do eixo que passa pelo centroide, use o teorema dos eixos paralelos para cada parte e subtraia o furo: I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²), em que d é a distância do centroide próprio de cada parte ao eixo que passa por ȳ. Um retângulo tem Ic = bh³/12 e um círculo Ic = πd⁴/64.
Centroide
ȳ = (45000·150 − 2000·210)/(45000 − 2000) = 147,2 mm