Estática: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 12 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Vetores: produto escalar e vetorial

Módulo: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
Vetor unitário: û = a/|a|
Componentes a partir de um ângulo: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
Produto escalar: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
Projeção escalar de a sobre b: a·b/|b|
Trabalho: W = F·d
Produto vetorial: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
Áreas: paralelogramo |a × b|, triângulo ½|a × b|
Momento em relação a O: M_O = r × F, r = A − O
Volume de um paralelepípedo: V = |a·(b × c)|

Método

Escreva todo vetor em componentes; para uma força dada por um módulo e um ângulo, use F·cos θ e F·sin θ.
Para comprimentos e direções use o módulo √(x² + y² + z²) e o vetor unitário a/|a|.
Use o produto escalar para ângulos, projeções, perpendicularidade e trabalho: a·b = |a||b|cos θ.
Use o produto vetorial para vetores perpendiculares, áreas e momentos: escreva as três componentes com cuidado, mantendo a ordem a × b.

Reações de apoio em vigas

Equilíbrio: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Carga uniforme: resultante w·L no meio da carga
Momento: M = F·d

Método

Desenhe um diagrama de corpo livre e substitua cada apoio por suas reações.
Substitua cada carga distribuída por uma única força no seu centroide.
Tome momentos em relação a um apoio para encontrar a reação no outro.
Use ΣF_y = 0 para encontrar a reação restante e confira com uma segunda equação de momentos.

Treliça: método dos nós

Método dos nós: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Método das seções: ΣM = 0 about a cut point
Esforço na barra: positivo = tração, negativo = compressão

Método

Encontre as reações de apoio da treliça inteira.
Método dos nós: comece em um nó com no máximo duas forças de barra desconhecidas e use ΣF_x = 0 e ΣF_y = 0.
Método das seções: corte a barra de que você precisa e tome momentos em relação a um ponto onde as outras barras desconhecidas se encontram.
Suponha tração; uma resposta negativa significa compressão.

Pórticos e máquinas

Equilíbrio de cada membro: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Membro de duas forças: força ao longo da reta que passa pelos seus dois pinos
Força no pino: iguais e opostas nos dois membros que ele liga
Módulo de uma força no pino: F = √(F_x² + F_y²)
Alavanca, alicate, alavanca angular: F_in·a = F_out·b
Articulação de joelho: F_link = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
Carga uniforme: resultante w·L no meio da carga

Método

Desenhe a estrutura inteira e encontre as reações de apoio se houver no máximo três incógnitas.
Identifique os membros de duas forças: carregados apenas em dois pinos, sua força atua ao longo da reta entre os pinos.
Desmonte o pórtico e desenhe cada membro separadamente, com forças nos pinos iguais e opostas onde os membros se encontram.
Para cada membro, tome momentos em torno de um pino com forças desconhecidas e use depois ΣF_x = 0 e ΣF_y = 0; combine as componentes em um módulo só no final.

Esforço cortante e momento fletor

Cortante e momento: V = ΣF de um lado, M = ΣF·d de um lado
Tensão de flexão: σ = M·y/I
Retângulo: I = bh³/12
Módulo de resistência: W = I/y_max
Viga biapoiada, carga uniforme: M_max = wL²/8

Método

Encontre as reações de apoio pelo equilíbrio da viga inteira.
Corte a viga na seção de que você precisa e fique com um dos lados.
Esforço cortante: soma das forças verticais daquele lado. Momento fletor: soma dos momentos dessas forças em relação ao corte.
Para o momento máximo, encontre onde o esforço cortante é zero.

Centroide e momento de inércia

Centroide: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Retângulo: I = bh³/12
Teorema dos eixos paralelos: I = I_c + A·d²
Seção composta: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

2Exercícios

1.Vetores: produto escalar e vetorialMédia

Encontre o ângulo θ entre os vetores a = (−6, 1, −6) e b = (0, −2, −2), em graus.

a = (−6, 1, −6)b = (0, −2, −2)

θ = °

2.Vetores: produto escalar e vetorialDifícil

Para a = (0, 2, 3) e b = (−6, 4, 1), encontre a componente x (a × b)_x do produto vetorial a × b.

a = (0, 2, 3)b = (−6, 4, 1)

(a × b)_x =

3.Reações de apoio em vigasMédia

A viga simplesmente apoiada tem um apoio fixo em A e um apoio móvel em B. Ela suporta uma carga concentrada P a 1 m de A e um binário horário M a 0,5 m de A. Encontre a reação vertical R_A, considerando positivo para cima.

L = 5 mP = 55 kN em 1 mM = 60 kN·m (horário) em 0,5 m

R_A = kN

4.Reações de apoio em vigasDifícil

A viga em balanço está engastada na parede em A. Ela suporta uma carga linearmente variável que vale 4 kN/m na parede e cai até zero na extremidade livre B, além de uma carga concentrada P a 9 m da parede. Encontre o módulo do momento de reação M_A na parede.

L = 10 mw₀ = 4 kN/mP = 60 kN em 9 m

M_A = kN·m

5.Treliça: método dos nósMédia

Exatamente um membro desta treliça não suporta força sob estas cargas. Qual é o membro de força nula? Clique nele no diagrama.

D: 10 kN ↓F: 20 kN ↓G: 20 kN ↓H: 15 kN ↓

1membro AB
2membro BC
3membro CD
4membro DE
5membro FG
6membro GH
7membro AF
8membro HE
9membro BF
10membro CG
11membro DH
12membro BG
13membro DG

6.Treliça: método dos nósDifícil

Use o método dos nós para encontrar a força F_AB na barra AB. Dê tração como positiva e compressão como negativa.

vão = 8 maltura = 4 mB está a 1 m de Acarga vertical = 25 kNcarga horizontal = 15 kN ←

F_AB = kN

7.Pórticos e máquinasMédia

O pórtico em A mostrado está apoiado em um pino em A e em um rolete em B, a 2,4 m de distância. As pernas se encontram no pino C, a 2,5 m de altura, e o tirante horizontal DE está a 0,8 m acima do solo. Uma carga de 12 kN atua em C. Encontre o módulo da força C que o pino C exerce sobre a perna BC.

P = 12 kNAB = 2,4 maltura de C = 2,5 maltura de DE = 0,8 m

C = kN

8.Pórticos e máquinasDifícil

A viga AB do suporte de parede mostrado está articulada em A e escorada pela escora CD (C está 0,6 m abaixo de A). A viga suporta uma carga uniforme de 5 kN/m em todo o seu comprimento e uma carga concentrada de 2 kN na extremidade livre B. Encontre a força F_CD na escora.

w = 5 kN/mP = 2 kNAD = 2 mAB = 3 mAC = 0,6 m

F_CD = kN

9.Esforço cortante e momento fletorMédia

Encontre o esforço cortante V_x na seção x = 8,5 m a partir do apoio A. Use momentos positivos quando tracionam a face inferior e cortante para cima na face esquerda positivo.

L = 10 mw = 6 kN/m de 0 a 10 mx = 8,5 m

V_x = kN

10.Esforço cortante e momento fletorDifícil

As marcas A a G dividem a viga em seis partes iguais. Em qual marca o momento fletor é maior em valor absoluto, positivo ou negativo? Clique nela no diagrama.

30 kN @ 0 m55 kN @ 12 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

11.Centroide e momento de inérciaMédia

Encontre o momento de inércia I_x da seção T em relação ao eixo horizontal x pelo seu centroide.

b_f = 280 mmt_f = 30 mmt_w = 18 mmh_w = 180 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.Centroide e momento de inérciaDifícil

Um perfil I simétrico tem mesas de 130 mm de largura e 10 mm de espessura, altura total de 280 mm e alma de 8 mm de espessura. Ela suporta um momento fletor de 50 kN·m em relação ao eixo x. Encontre o módulo da tensão de flexão σ_j na junção da alma com a mesa superior.

B = 130 mmH = 280 mmt_f = 10 mmt_w = 8 mmM = 50 kN·m

σ_j = MPa

3Soluções

1.Vetores: produto escalar e vetorial

Resposta: θ = 65,56 °

Dot product: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.

Produto escalar

a·b = (−6)·0 + 1·(−2) + (−6)·(−2) = 10

Módulos

|a| = √((−6)² + 1² + (−6)²) = 8,544

|b| = √(0² + (−2)² + (−2)²) = 2,828

Ângulo

cos θ = 10/(8,544·2,828) = 0,4138

θ = arccos(0,4138) = 65,56°

Resposta

θ = 65,56°

2.Vetores: produto escalar e vetorial

Resposta: (a × b)_x = −10

Cross product: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is M_O = r × F, with r = A − O.

Produto vetorial, componente por componente

(a × b)_x = a_yb_z − a_zb_y = 2·1 − 3·4 = −10

(a × b)_y = a_zb_x − a_xb_z = 3·(−6) − 0·1 = −18

(a × b)_z = a_xb_y − a_yb_x = 0·4 − 2·(−6) = 12

Componente pedida

(a × b)_x = −10

Resposta

(a × b)_x = −10

Verificação: a × b é perpendicular aos dois vetores, então o seu produto escalar com a e com b é zero.

3.Reações de apoio em vigas

Resposta: R_A = 32 kN

Equilíbrio estático: um corpo em repouso tem ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 e ΣM = 0 em relação a qualquer ponto. Substitua cada carga distribuída pela sua resultante (a sua área) atuando no centroide do diagrama de carga, e tome momentos em relação a um apoio para eliminar a reação desse apoio da equação.

Momentos em relação a A

Anti-horário positivo.

ΣM_A = 0: R_B·5 − 55·1 − 60 = 0

R_B = 115/5 = 23 kN

Equilíbrio vertical

R_A = 55 − 23 = 32 kN

Resposta

R_A = 32 kN

Uma reação negativa atua para baixo.

4.Reações de apoio em vigas

Resposta: M_A = 606,7 kN·m

Equilíbrio de balanços: um engaste pode empurrar para cima e também impedir a rotação, então dá uma reação vertical R_A e um momento de reação M_A. ΣF_y = 0 dá R_A, e os momentos em relação à parede dão M_A = Σ(carga × distância até a parede). Uma carga distribuída atua como sua resultante no centroide do diagrama de carga.

Resultante da carga triangular

W = ½·4·10 = 20 kN

x̄ = L/3 = 3,333 m

Momento em relação à parede

M_A = W·x̄ + P·a = 20·3,333 + 60·9 = 606,7 kN·m

Resposta

M_A = 606,7 kN·m

5.Treliça: método dos nós

Resposta: membro CG

Membros de força nula: em um nó, as forças devem se equilibrar em todas as direções. Se um nó não tem carga nem apoio, e dois de seus três membros estão alinhados, então o equilíbrio na direção perpendicular a essa linha envolve apenas o terceiro membro, e portanto sua força é zero. Se apenas dois membros se encontram em um nó sem carga e não estão alinhados, ambos são nulos.

Nó C

BC e CD estão em uma mesma reta e o nó não tem carga. Equilibrar as forças na direção perpendicular a essa reta deixa apenas CG.

ΣF⊥ = 0 → F_CG = 0

Verifique com o método dos nós

Resolver todos os nós dá estas forças nos membros (T = tração, C = compressão).

AB: 41,67 kN (T), BC: 56,67 kN (T), CD: 56,67 kN (T), DE: 45 kN (T), FG: 41,67 kN (C), GH: 45 kN (C), AF: 52,08 kN (C), HE: 56,25 kN (C), BF: 11,25 kN (T), CG: 0, DH: 18,75 kN (T), BG: 18,75 kN (C), DG: 14,58 kN (C)

Resposta

Membro de força nula: CG

6.Treliça: método dos nós

Resposta: F_AB = −30,28 kN

Método dos nós: cada nó de uma treliça está em equilíbrio, então ΣF_x = 0 e ΣF_y = 0 em cada nó. Comece por um nó com no máximo duas forças de barra desconhecidas. Um resultado negativo significa que a barra está comprimida.

Reações de apoio

Equilíbrio da treliça inteira. Momentos em relação a A, positivos no sentido anti-horário.

ΣM_A = 0: C_y·8 = 25·1 − 15·4 → C_y = −4,375 kN

ΣF_y = 0: A_y = 25 − −4,375 = 29,38 kN

ΣF_x = 0: A_x = 15 kN

Nó A

Suponha que toda barra está tracionada (puxando para fora do nó). Só AB tem componente vertical em A.

sin α = 4/4,123 = 0,9701

ΣF_y = 0: A_y + F_AB·sin α = 0

F_AB = −29,38/0,9701 = −30,28 kN

Resposta

F_AB = −30,28 kN (compressão)

7.Pórticos e máquinas

Resposta: C = 7,344 kN

Pórticos e máquinas: ao contrário de uma treliça, um pórtico contém pelo menos um membro que suporta forças em mais de dois pontos, ou uma carga entre seus pinos. Procure primeiro os membros de duas forças: um membro carregado apenas em dois pinos tem sua força ao longo da reta que passa por eles, de modo que traz uma incógnita, e não duas. Depois use a estrutura inteira para as reações de apoio quando houver no máximo três incógnitas. Por fim, desmonte o pórtico: desenhe cada membro separadamente, com as forças nos pinos iguais e opostas nos dois membros que eles ligam, e escreva ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 e ΣM = 0 para ele. Tomar momentos em torno de um pino elimina da equação as duas componentes da força desse pino.

Força no tirante a partir da perna BC

B_y = 6 kN

T = 6·1,2/1,7 = 4,235 kN

Componentes da força no pino sobre BC

C_x = T = 4,235 kN, C_y = −B_y = −6 kN

Módulo

C = √(4,235² + 6²) = 7,344 kN

Resposta

C = 7,344 kN

8.Pórticos e máquinas

Resposta: F_CD = 49,59 kN

Resultante da carga uniforme

w·L = 5·3 = 15 kN em 1,5 m

Momentos em torno de A para a viga

F_CD·0,2873·2 = 15·1,5 + 2·3 = 28,5 kN·m

F_CD = 49,59 kN

Resposta

F_CD = 49,59 kN

9.Esforço cortante e momento fletor

Resposta: V_x = −21 kN

Método das seções: corte a viga onde você quer os esforços internos e fique com um lado. O esforço cortante V equilibra as forças verticais desse lado, e o momento fletor M equilibra os momentos delas em relação ao corte.

Reações de apoio

Equilíbrio da viga inteira.

Resultante da carga distribuída: W = w·ℓ = 6·10 = 60 kN, atuando em x̄ = 5 m

ΣM_A = 0: R_B·10 = 6·10·5

R_B = 300/10 = 30 kN

ΣF_y = 0: R_A = 60 − 30 = 30 kN

Corte em x = 8,5 m e fique com a parte esquerda

Só aparecem as forças à esquerda do corte. Uma parte da carga distribuída age como uma única força no meio dessa parte.

V = R_A − (todas as cargas para baixo à esquerda do corte)

V_x = 30 − 6·8,5 = −21 kN

Resposta

V_x = −21 kN

10.Esforço cortante e momento fletor

Resposta: E (x = 8 m)

Maior momento fletor: M muda de inclinação onde quer que a força cortante mude, então seus picos ficam onde a força cortante cruza o zero: sob uma carga pontual, dentro de uma carga distribuída ou sobre um apoio de um balanço. No engaste de uma viga em balanço, o momento é maior na parede. Compare o tamanho de M nesses lugares, positivo ou negativo.

Reações de apoio

Tome momentos em torno de um apoio e depois use o equilíbrio das forças verticais.

R₁ = 3,333 kN, R₂ = 81,67 kN

Momento fletor em cada marca

Some os momentos de todas as forças de um lado do corte. O momento que traciona embaixo é positivo, o que traciona em cima é negativo.

M_A = 0, M_B = −60, M_C = −113,3, M_D = −166,7, M_E = −220 kN·m, M_F = −110, M_G = 0

Resposta

Marca E: M_E = −220 kN·m

11.Centroide e momento de inércia

Resposta: I_x = 35,16 × 10⁶ mm⁴

Áreas compostas: divida a seção em retângulos. O centroide é a média ponderada pelas áreas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. O momento de inércia em relação ao eixo centroidal soma o bh³/12 próprio de cada parte e seu termo de eixos paralelos A·d², onde d é a distância do centroide da parte ao centroide geral. A tensão de flexão é σ = M·y/I.

Divida em dois retângulos

Meça todo y a partir da borda inferior.

mesa: A_f = 280·30 = 8400 mm², y_f = 180 + 30/2 = 195 mm

alma: A_w = 18·180 = 3240 mm², y_w = 180/2 = 90 mm

Centroide

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (8400·195 + 3240·90)/11640 = 165,8 mm

Teorema dos eixos paralelos

mesa: 280·30³/12 + 8400·(195 − 165,8)² = 7,805 × 10⁶ mm⁴

alma: 18·180³/12 + 3240·(90 − 165,8)² = 2,735 × 10⁷ mm⁴

I_x = 7,805 × 10⁶ + 2,735 × 10⁷ = 3,516 × 10⁷ mm⁴ = 35,16 × 10⁶ mm⁴

Resposta

I_x = 35,16 × 10⁶ mm⁴

12.Centroide e momento de inércia

Resposta: σ_j = 109,9 MPa

Retângulo externo menos os dois recortes laterais

Os dois recortes juntos têm (B − t_w) de largura e h_w = H − 2t_f de altura, e compartilham o eixo x.

h_w = 280 − 2·10 = 260 mm

I_x = (B·H³ − (B − t_w)·h_w³)/12 = (130·280³ − 122·260³)/12

I_x = 5,912 × 10⁷ mm⁴

Tensão de flexão

y = 140 − 10 = 130 mm

σ = M·y/I = 5 × 10⁷·130/5,912 × 10⁷ = 109,9 MPa

Resposta

σ_j = 109,9 MPa

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