Estática: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 12 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Vetores: produto escalar e vetorial

Módulo: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
Vetor unitário: û = a/|a|
Componentes a partir de um ângulo: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
Produto escalar: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
Projeção escalar de a sobre b: a·b/|b|
Trabalho: W = F·d
Produto vetorial: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
Áreas: paralelogramo |a × b|, triângulo ½|a × b|
Momento em relação a O: M_O = r × F, r = A − O
Volume de um paralelepípedo: V = |a·(b × c)|

Método

Escreva todo vetor em componentes; para uma força dada por um módulo e um ângulo, use F·cos θ e F·sin θ.
Para comprimentos e direções use o módulo √(x² + y² + z²) e o vetor unitário a/|a|.
Use o produto escalar para ângulos, projeções, perpendicularidade e trabalho: a·b = |a||b|cos θ.
Use o produto vetorial para vetores perpendiculares, áreas e momentos: escreva as três componentes com cuidado, mantendo a ordem a × b.

Reações de apoio em vigas

Equilíbrio: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Carga uniforme: resultante w·L no meio da carga
Momento: M = F·d

Método

Desenhe um diagrama de corpo livre e substitua cada apoio por suas reações.
Substitua cada carga distribuída por uma única força no seu centroide.
Tome momentos em relação a um apoio para encontrar a reação no outro.
Use ΣF_y = 0 para encontrar a reação restante e confira com uma segunda equação de momentos.

Treliça: método dos nós

Método dos nós: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Método das seções: ΣM = 0 about a cut point
Esforço na barra: positivo = tração, negativo = compressão

Método

Encontre as reações de apoio da treliça inteira.
Método dos nós: comece em um nó com no máximo duas forças de barra desconhecidas e use ΣF_x = 0 e ΣF_y = 0.
Método das seções: corte a barra de que você precisa e tome momentos em relação a um ponto onde as outras barras desconhecidas se encontram.
Suponha tração; uma resposta negativa significa compressão.

Pórticos e máquinas

Equilíbrio de cada membro: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Membro de duas forças: força ao longo da reta que passa pelos seus dois pinos
Força no pino: iguais e opostas nos dois membros que ele liga
Módulo de uma força no pino: F = √(F_x² + F_y²)
Alavanca, alicate, alavanca angular: F_in·a = F_out·b
Articulação de joelho: F_link = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
Carga uniforme: resultante w·L no meio da carga

Método

Desenhe a estrutura inteira e encontre as reações de apoio se houver no máximo três incógnitas.
Identifique os membros de duas forças: carregados apenas em dois pinos, sua força atua ao longo da reta entre os pinos.
Desmonte o pórtico e desenhe cada membro separadamente, com forças nos pinos iguais e opostas onde os membros se encontram.
Para cada membro, tome momentos em torno de um pino com forças desconhecidas e use depois ΣF_x = 0 e ΣF_y = 0; combine as componentes em um módulo só no final.

Esforço cortante e momento fletor

Cortante e momento: V = ΣF de um lado, M = ΣF·d de um lado
Tensão de flexão: σ = M·y/I
Retângulo: I = bh³/12
Módulo de resistência: W = I/y_max
Viga biapoiada, carga uniforme: M_max = wL²/8

Método

Encontre as reações de apoio pelo equilíbrio da viga inteira.
Corte a viga na seção de que você precisa e fique com um dos lados.
Esforço cortante: soma das forças verticais daquele lado. Momento fletor: soma dos momentos dessas forças em relação ao corte.
Para o momento máximo, encontre onde o esforço cortante é zero.

Centroide e momento de inércia

Centroide: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Retângulo: I = bh³/12
Teorema dos eixos paralelos: I = I_c + A·d²
Seção composta: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

2Exercícios

1.Vetores: produto escalar e vetorialMédia

Encontre o produto escalar a·b de a = (−7, 4, −7) e b = (7, −6, 6).

a = (−7, 4, −7)b = (7, −6, 6)

a·b =

2.Vetores: produto escalar e vetorialDifícil

Encontre a área A do triângulo de vértices A(−4, 2, −3), B(3, 0, 0) e C(−2, −4, 4). As coordenadas estão em metros.

A(−4, 2, −3)B(3, 0, 0)C(−2, −4, 4)

A = m²

3.Reações de apoio em vigasMédia

A viga simplesmente apoiada tem um apoio fixo em A e um apoio móvel em B. Ela suporta uma carga concentrada P a 2,5 m de A e um binário anti-horário M a 4 m de A. Encontre a reação vertical R_B, considerando positivo para cima.

L = 6 mP = 70 kN em 2,5 mM = 40 kN·m (anti-horário) em 4 m

R_B = kN

4.Reações de apoio em vigasDifícil

A viga tem um apoio fixo em A e um apoio móvel em B, a 7 m de A, e se estende em balanço além de B até a extremidade livre C. Ela suporta uma carga concentrada P a 5 m de A e uma carga uniformemente distribuída w de 4 m até a extremidade livre em 10 m. Encontre a reação vertical R_A, considerando positivo para cima.

AB = 7 mAC = 10 mP = 45 kN em 5 mw = 2 kN/m de 4 a 10 m

R_A = kN

5.Treliça: método dos nósMédia

Use o método dos nós para encontrar a força F_AB na barra AB. Dê tração como positiva e compressão como negativa.

vão = 6 maltura = 3 mB está a 5 m de Acarga vertical = 25 kN

F_AB = kN

6.Treliça: método dos nósDifícil

Use o método dos nós para encontrar a força F_AB na barra AB. Dê tração como positiva e compressão como negativa.

vão = 6 maltura = 4 mB está a 4 m de Acarga vertical = 25 kNcarga horizontal = 20 kN →

F_AB = kN

7.Pórticos e máquinasMédia

O pórtico mostrado tem pinos em A, B e C; A e C estão fixados ao solo a 8 m de distância, e B está a 2,5 m acima do solo e a 2,4 m à direita de A. Uma carga vertical de 6 kN atua no membro AB em K, a 0,6 m (na horizontal) de A. Encontre a força F_BC no membro BC.

P = 6 kNL = 8 mH = 2,5 mdistância horizontal de A a B = 2,4 mdistância horizontal de A a K = 0,6 m

F_BC = kN

8.Pórticos e máquinasDifícil

O pórtico em A mostrado está apoiado em um pino em A e em um rolete em B, a 3 m de distância, com o pino do vértice C a 3,6 m de altura e o tirante horizontal DE a 0,8 m acima do solo. Uma carga vertical de 12 kN atua na perna AC em K, a 0,75 m (na horizontal) de A. Encontre o módulo da força C que o pino C exerce sobre a perna BC.

P = 12 kNAB = 3 maltura de C = 3,6 maltura de DE = 0,8 mdistância horizontal de A a K = 0,75 m

C = kN

9.Esforço cortante e momento fletorMédia

Encontre o esforço cortante V_x na seção x = 3 m a partir do apoio A. Use momentos positivos quando tracionam a face inferior e cortante para cima na face esquerda positivo.

L = 5 mw = 6 kN/m de 0 a 5 mx = 3 m

V_x = kN

10.Esforço cortante e momento fletorDifícil

As marcas A a G dividem a viga em seis partes iguais. Em qual marca o momento fletor é maior em valor absoluto, positivo ou negativo? Clique nela no diagrama.

55 kN @ 6 m60 kN @ 2 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

11.Centroide e momento de inérciaMédia

Encontre o momento de inércia I_x da seção T em relação ao eixo horizontal x pelo seu centroide.

b_f = 220 mmt_f = 15 mmt_w = 10 mmh_w = 100 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.Centroide e momento de inérciaDifícil

Uma viga de ferro fundido tem a seção T mostrada, com a mesa em cima. As tensões admissíveis são 35 MPa na tração e 120 MPa na compressão. Encontre o maior momento fletor positivo M_allow que a viga pode suportar.

b_f = 140 mmt_f = 20 mmt_w = 10 mmh_w = 200 mmσ_t,allow = 35 MPaσ_c,allow = 120 MPa

M_allow = kN·m

3Soluções

1.Vetores: produto escalar e vetorial

Resposta: a·b = −115

Dot product: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.

Multiplique as componentes correspondentes e some

a·b = (−7)·7 + 4·(−6) + (−7)·6 = (−49) + (−24) + (−42) = −115

Resposta

a·b = −115

Negativo: o ângulo entre os vetores é maior que 90°.

2.Vetores: produto escalar e vetorial

Resposta: A = 28,76 m²

Cross product: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is M_O = r × F, with r = A − O.

Vetores das arestas

AB = B − A = (7, −2, 3)

AC = C − A = (2, −6, 7)

Produto vetorial

(AB × AC)_x = AB_yAC_z − AB_zAC_y = (−2)·7 − 3·(−6) = 4

(AB × AC)_y = AB_zAC_x − AB_xAC_z = 3·2 − 7·7 = −43

(AB × AC)_z = AB_xAC_y − AB_yAC_x = 7·(−6) − (−2)·2 = −38

|AB × AC| = √(4² + (−43)² + (−38)²) = 57,52

Área do triângulo

A = ½·57,52 = 28,76 m²

Resposta

A = 28,76 m²

3.Reações de apoio em vigas

Resposta: R_B = 22,5 kN

Equilíbrio estático: um corpo em repouso tem ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 e ΣM = 0 em relação a qualquer ponto. Substitua cada carga distribuída pela sua resultante (a sua área) atuando no centroide do diagrama de carga, e tome momentos em relação a um apoio para eliminar a reação desse apoio da equação.

Momentos em relação a A

Anti-horário positivo.

ΣM_A = 0: R_B·6 − 70·2,5 + 40 = 0

R_B = 135/6 = 22,5 kN

Equilíbrio vertical

R_A = 70 − 22,5 = 47,5 kN

Resposta

R_B = 22,5 kN

Uma reação negativa atua para baixo.

4.Reações de apoio em vigas

Resposta: R_A = 12,86 kN

Resultante da carga distribuída

W = 2·6 = 12 kN, x̄ = (4 + 10)/2 = 7 m

Equilíbrio

Momentos em relação a A, positivos no sentido anti-horário. Depois o equilíbrio das forças verticais.

ΣM_A = 0: R_B·7 = 45·5 + 12·7

R_B = 309/7 = 44,14 kN

R_A = 57 − 44,14 = 12,86 kN

Resposta

R_A = 12,86 kN

5.Treliça: método dos nós

Resposta: F_AB = −8,099 kN

Método dos nós: cada nó de uma treliça está em equilíbrio, então ΣF_x = 0 e ΣF_y = 0 em cada nó. Comece por um nó com no máximo duas forças de barra desconhecidas. Um resultado negativo significa que a barra está comprimida.

Reações de apoio

Equilíbrio da treliça inteira. Momentos em relação a A, positivos no sentido anti-horário.

ΣM_A = 0: C_y·6 = 25·5 → C_y = 20,83 kN

ΣF_y = 0: A_y = 25 − 20,83 = 4,167 kN

Nó A

Suponha que toda barra está tracionada (puxando para fora do nó). Só AB tem componente vertical em A.

sin α = 3/5,831 = 0,5145

ΣF_y = 0: A_y + F_AB·sin α = 0

F_AB = −4,167/0,5145 = −8,099 kN

Resposta

F_AB = −8,099 kN (compressão)

6.Treliça: método dos nós

Resposta: F_AB = 7,071 kN

Reações de apoio

Equilíbrio da treliça inteira. Momentos em relação a A, positivos no sentido anti-horário.

ΣM_A = 0: C_y·6 = 25·4 + 20·4 → C_y = 30 kN

ΣF_y = 0: A_y = 25 − 30 = −5 kN

ΣF_x = 0: A_x = −20 kN

Nó A

Suponha que toda barra está tracionada (puxando para fora do nó). Só AB tem componente vertical em A.

sin α = 4/5,657 = 0,7071

ΣF_y = 0: A_y + F_AB·sin α = 0

F_AB = −−5/0,7071 = 7,071 kN

Resposta

F_AB = 7,071 kN (tração)

7.Pórticos e máquinas

Resposta: F_BC = 1,104 kN

Pórticos e máquinas: ao contrário de uma treliça, um pórtico contém pelo menos um membro que suporta forças em mais de dois pontos, ou uma carga entre seus pinos. Procure primeiro os membros de duas forças: um membro carregado apenas em dois pinos tem sua força ao longo da reta que passa por eles, de modo que traz uma incógnita, e não duas. Depois use a estrutura inteira para as reações de apoio quando houver no máximo três incógnitas. Por fim, desmonte o pórtico: desenhe cada membro separadamente, com as forças nos pinos iguais e opostas nos dois membros que eles ligam, e escreva ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 e ΣM = 0 para ele. Tomar momentos em torno de um pino elimina da equação as duas componentes da força desse pino.

Membro de duas forças BC

BC = √(5,6² + 2,5²) = 6,133 m

Pórtico inteiro: momentos em torno de A

O solo empurra BC em C ao longo de CB; sua componente horizontal passa por A, e só a vertical tem momento.

F_BC·(2,5/6,133)·8 = 6·0,6

F_BC = 1,104 kN (compressão)

Resposta

F_BC = 1,104 kN

8.Pórticos e máquinas

Resposta: C = 3,403 kN

Reação de apoio em B

B_y = 12·0,75/3 = 3 kN

Força no tirante

T = 3·1,5/2,8 = 1,607 kN

Força no pino sobre BC

C_x = 1,607 kN, C_y = −3 kN

C = √(1,607² + 3²) = 3,403 kN

Resposta

C = 3,403 kN

9.Esforço cortante e momento fletor

Resposta: V_x = −3 kN

Método das seções: corte a viga onde você quer os esforços internos e fique com um lado. O esforço cortante V equilibra as forças verticais desse lado, e o momento fletor M equilibra os momentos delas em relação ao corte.

Reações de apoio

Equilíbrio da viga inteira.

Resultante da carga distribuída: W = w·ℓ = 6·5 = 30 kN, atuando em x̄ = 2,5 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 6·5·2,5

R_B = 75/5 = 15 kN

ΣF_y = 0: R_A = 30 − 15 = 15 kN

Corte em x = 3 m e fique com a parte esquerda

Só aparecem as forças à esquerda do corte. Uma parte da carga distribuída age como uma única força no meio dessa parte.

V = R_A − (todas as cargas para baixo à esquerda do corte)

V_x = 15 − 6·3 = −3 kN

Resposta

V_x = −3 kN

10.Esforço cortante e momento fletor

Resposta: E (x = 4 m)

Maior momento fletor: M muda de inclinação onde quer que a força cortante mude, então seus picos ficam onde a força cortante cruza o zero: sob uma carga pontual, dentro de uma carga distribuída ou sobre um apoio de um balanço. No engaste de uma viga em balanço, o momento é maior na parede. Compare o tamanho de M nesses lugares, positivo ou negativo.

Reações de apoio

Tome momentos em torno de um apoio e depois use o equilíbrio das forças verticais.

R₁ = 2,5 kN, R₂ = 112,5 kN

Momento fletor em cada marca

Some os momentos de todas as forças de um lado do corte. O momento que traciona embaixo é positivo, o que traciona em cima é negativo.

M_A = 0, M_B = 2,5, M_C = 5, M_D = −52,5, M_E = −110 kN·m, M_F = −55, M_G = 0

Resposta

Marca E: M_E = −110 kN·m

11.Centroide e momento de inércia

Resposta: I_x = 3,433 × 10⁶ mm⁴

Áreas compostas: divida a seção em retângulos. O centroide é a média ponderada pelas áreas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. O momento de inércia em relação ao eixo centroidal soma o bh³/12 próprio de cada parte e seu termo de eixos paralelos A·d², onde d é a distância do centroide da parte ao centroide geral. A tensão de flexão é σ = M·y/I.

Divida em dois retângulos

Meça todo y a partir da borda inferior.

mesa: A_f = 220·15 = 3300 mm², y_f = 100 + 15/2 = 107,5 mm

alma: A_w = 10·100 = 1000 mm², y_w = 100/2 = 50 mm

Centroide

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (3300·107,5 + 1000·50)/4300 = 94,13 mm

Teorema dos eixos paralelos

mesa: 220·15³/12 + 3300·(107,5 − 94,13)² = 651957 mm⁴

alma: 10·100³/12 + 1000·(50 − 94,13)² = 2,781 × 10⁶ mm⁴

I_x = 651957 + 2,781 × 10⁶ = 3,433 × 10⁶ mm⁴ = 3,433 × 10⁶ mm⁴

Resposta

I_x = 3,433 × 10⁶ mm⁴

12.Centroide e momento de inércia

Resposta: M_allow = 4,451 kN·m

Centroide

ȳ = (2800·210 + 2000·100)/4800 = 164,2 mm

borda superior: c = 220 − 164,2 = 55,83 mm

Momento de inércia de área

I = 140·20³/12 + 2800·45,83² + 10·200³/12 + 2000·64,17² = 2,088 × 10⁷ mm⁴

Momento admitido por cada borda

Momento positivo: a face superior fica comprimida, a inferior tracionada.

borda superior: M = 120·2,088 × 10⁷/55,83 = 44,87 kN·m

borda inferior: M = 35·2,088 × 10⁷/164,2 = 4,451 kN·m

Valor determinante

M_allow = min = 4,451 kN·m (borda inferior)

Resposta

M_allow = 4,451 kN·m

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