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1Fórmulas e métodos
Vetores: produto escalar e vetorial
Módulo
|a| = √(ax² + ay² + az²)
Vetor unitário
û = a/|a|
Componentes a partir de um ângulo
Fx = F·cos θ, Fy = F·sin θ
Produto escalar
a·b = axbx + ayby + azbz = |a||b|cos θ
Projeção escalar de a sobre b
a·b/|b|
Trabalho
W = F·d
Produto vetorial
a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx)
Áreas
paralelogramo |a × b|, triângulo ½|a × b|
Momento em relação a O
MO = r × F, r = A − O
Volume de um paralelepípedo
V = |a·(b × c)|
Método
Escreva todo vetor em componentes; para uma força dada por um módulo e um ângulo, use F·cos θ e F·sin θ.
Para comprimentos e direções use o módulo √(x² + y² + z²) e o vetor unitário a/|a|.
Use o produto escalar para ângulos, projeções, perpendicularidade e trabalho: a·b = |a||b|cos θ.
Use o produto vetorial para vetores perpendiculares, áreas e momentos: escreva as três componentes com cuidado, mantendo a ordem a × b.
Reações de apoio em vigas
Equilíbrio
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Carga uniforme
resultante w·L no meio da carga
Momento
M = F·d
Método
Desenhe um diagrama de corpo livre e substitua cada apoio por suas reações.
Substitua cada carga distribuída por uma única força no seu centroide.
Tome momentos em relação a um apoio para encontrar a reação no outro.
Use ΣFy = 0 para encontrar a reação restante e confira com uma segunda equação de momentos.
Treliça: método dos nós
Método dos nós
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
Método das seções
ΣM = 0 about a cut point
Esforço na barra
positivo = tração, negativo = compressão
Método
Encontre as reações de apoio da treliça inteira.
Método dos nós: comece em um nó com no máximo duas forças de barra desconhecidas e use ΣFx = 0 e ΣFy = 0.
Método das seções: corte a barra de que você precisa e tome momentos em relação a um ponto onde as outras barras desconhecidas se encontram.
Suponha tração; uma resposta negativa significa compressão.
Pórticos e máquinas
Equilíbrio de cada membro
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Membro de duas forças
força ao longo da reta que passa pelos seus dois pinos
Força no pino
iguais e opostas nos dois membros que ele liga
Módulo de uma força no pino
F = √(Fx² + Fy²)
Alavanca, alicate, alavanca angular
Fin·a = Fout·b
Articulação de joelho
Flink = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
Carga uniforme
resultante w·L no meio da carga
Método
Desenhe a estrutura inteira e encontre as reações de apoio se houver no máximo três incógnitas.
Identifique os membros de duas forças: carregados apenas em dois pinos, sua força atua ao longo da reta entre os pinos.
Desmonte o pórtico e desenhe cada membro separadamente, com forças nos pinos iguais e opostas onde os membros se encontram.
Para cada membro, tome momentos em torno de um pino com forças desconhecidas e use depois ΣFx = 0 e ΣFy = 0; combine as componentes em um módulo só no final.
Esforço cortante e momento fletor
Cortante e momento
V = ΣF de um lado, M = ΣF·d de um lado
Tensão de flexão
σ = M·y/I
Retângulo
I = bh³/12
Módulo de resistência
W = I/ymax
Viga biapoiada, carga uniforme
Mmax = wL²/8
Método
Encontre as reações de apoio pelo equilíbrio da viga inteira.
Corte a viga na seção de que você precisa e fique com um dos lados.
Esforço cortante: soma das forças verticais daquele lado. Momento fletor: soma dos momentos dessas forças em relação ao corte.
Para o momento máximo, encontre onde o esforço cortante é zero.
Centroide e momento de inércia
Centroide
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
Retângulo
I = bh³/12
Teorema dos eixos paralelos
I = Ic + A·d²
Seção composta
I = Σ(Ic,i + Aidi²)
2Exercícios
1.Vetores: produto escalar e vetorialMédia
Encontre o produto escalar a·b de a = (5, 6, 5) e b = (3, 0, 5).
a = (5, 6, 5)b = (3, 0, 5)
a·b =
2.Vetores: produto escalar e vetorialDifícil
Encontre o volume V do paralelepípedo cujas arestas a partir de um vértice são a = (−1, −4, 0), b = (1, −1, −4) e c = (0, −2, 4).
a = (−1, −4, 0)b = (1, −1, −4)c = (0, −2, 4)
V =
3.Reações de apoio em vigasMédia
A viga tem um apoio fixo em A e um apoio móvel em B, a 3 m de A, e se estende em balanço além de B até a extremidade livre C. Encontre a reação vertical RB, considerando positivo para cima.
AB = 3 mAC = 4 mP1 = 30 kN em 1 mP2 = 15 kN em 4 m
RB = kN
4.Reações de apoio em vigasDifícil
A viga tem um apoio fixo em A e um apoio móvel em B, a 6 m de A, e se estende em balanço além de B até a extremidade livre C. Ela suporta uma carga concentrada P a 5 m de A e uma carga uniformemente distribuída w de 5 m até a extremidade livre em 8 m. Encontre a reação vertical RA, considerando positivo para cima.
AB = 6 mAC = 8 mP = 60 kN em 5 mw = 12 kN/m de 5 a 8 m
RA = kN
5.Treliça: método dos nósMédia
Exatamente um membro desta treliça não suporta força sob estas cargas. Qual é o membro de força nula? Clique nele no diagrama.
F: 30 kN ↓H: 40 kN ↓
1membro AB
2membro BC
3membro CD
4membro DE
5membro FG
6membro GH
7membro AF
8membro HE
9membro BF
10membro CG
11membro DH
12membro BG
13membro DG
6.Treliça: método dos nósDifícil
Exatamente um membro desta treliça não suporta força sob estas cargas. Qual é o membro de força nula? Clique nele no diagrama.
O pórtico em A mostrado está apoiado em um pino em A e em um rolete em B, a 5 m de distância, com o pino do vértice C a 2,4 m de altura e o tirante horizontal DE a 1,2 m acima do solo. Uma carga vertical de 8 kN atua na perna AC em K, a 1,875 m (na horizontal) de A. Encontre a tração T no tirante.
P = 8 kNAB = 5 maltura de C = 2,4 maltura de DE = 1,2 mdistância horizontal de A a K = 1,875 m
T = kN
8.Pórticos e máquinasDifícil
O pórtico em A mostrado está apoiado em um pino em A e em um rolete em B, a 3,2 m de distância, com o pino do vértice C a 3,6 m de altura e o tirante horizontal DE a 1,2 m acima do solo. Uma carga vertical de 8 kN atua na perna AC em K, a 1,2 m (na horizontal) de A. Encontre o módulo da força C que o pino C exerce sobre a perna BC.
P = 8 kNAB = 3,2 maltura de C = 3,6 maltura de DE = 1,2 mdistância horizontal de A a K = 1,2 m
C = kN
9.Esforço cortante e momento fletorMédia
A viga em balanço está engastada em A. Ela suporta uma carga uniformemente distribuída w em todo o comprimento e uma carga concentrada P a 1 m de A. Encontre o momento fletor MA no engaste A. Use momentos positivos quando tracionam a face inferior e cortante para cima na face esquerda positivo.
L = 3 mP = 60 kN em 1 mw = 4 kN/m de 0 a 3 m
MA = kN·m
10.Esforço cortante e momento fletorDifícil
Encontre o momento fletor Mx na seção x = 1,5 m a partir do apoio A. Use momentos positivos quando tracionam a face inferior e cortante para cima na face esquerda positivo.
L = 6 mP = 35 kN em 1,5 mw = 6 kN/m de 0 a 6 mx = 1,5 m
Mx = kN·m
11.Centroide e momento de inérciaMédia
Encontre o momento de inércia Ix da seção T em relação ao eixo horizontal x pelo seu centroide.
bf = 240 mmtf = 30 mmtw = 16 mmhw = 180 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
12.Centroide e momento de inérciaDifícil
Uma viga de ferro fundido tem a seção T mostrada, com a mesa em cima. As tensões admissíveis são 30 MPa na tração e 100 MPa na compressão. Encontre o maior momento fletor negativo Mallow que a viga pode suportar (dê o seu módulo).
Dot product:a·b = axbx + ayby + azbz = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.
Multiplique as componentes correspondentes e some
a·b = 5·3 + 6·0 + 5·5 = 15 + 0 + 25 = 40
Resposta
a·b = 40
Positivo: o ângulo entre os vetores é menor que 90°.
2.Vetores: produto escalar e vetorial
Resposta: V = 28
Cross product:a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is MO = r × F, with r = A − O.
Produto vetorial b × c
(b × c)x = bycz − bzcy = (−1)·4 − (−4)·(−2) = −12
(b × c)y = bzcx − bxcz = (−4)·0 − 1·4 = −4
(b × c)z = bxcy − bycx = 1·(−2) − (−1)·0 = −2
Produto escalar com a
a·(b × c) = (−1)·(−12) + (−4)·(−4) + 0·(−2) = 28
V = |28| = 28
Resposta
V = 28
3.Reações de apoio em vigas
Resposta: RB = 30 kN
Equilíbrio estático: um corpo em repouso tem ΣFx = 0, ΣFy = 0 e ΣM = 0 em relação a qualquer ponto. Substitua cada carga distribuída pela sua resultante (a sua área) atuando no centroide do diagrama de carga, e tome momentos em relação a um apoio para eliminar a reação desse apoio da equação.
Momentos em relação a A
Anti-horário positivo.
ΣMA = 0: RB·3 = 30·1 + 15·4
RB = 90/3 = 30 kN
Equilíbrio vertical
RA = 30 + 15 − 30 = 15 kN
Resposta
RB = 30 kN
4.Reações de apoio em vigas
Resposta: RA = 7 kN
Equilíbrio estático: um corpo em repouso tem ΣFx = 0, ΣFy = 0 e ΣM = 0 em relação a qualquer ponto. Substitua cada carga distribuída pela sua resultante (a sua área) atuando no centroide do diagrama de carga, e tome momentos em relação a um apoio para eliminar a reação desse apoio da equação.
Resultante da carga distribuída
W = 12·3 = 36 kN, x̄ = (5 + 8)/2 = 6,5 m
Equilíbrio
Momentos em relação a A, positivos no sentido anti-horário. Depois o equilíbrio das forças verticais.
ΣMA = 0: RB·6 = 60·5 + 36·6,5
RB = 534/6 = 89 kN
RA = 96 − 89 = 7 kN
Resposta
RA = 7 kN
5.Treliça: método dos nós
Resposta: membro CG
Membros de força nula: em um nó, as forças devem se equilibrar em todas as direções. Se um nó não tem carga nem apoio, e dois de seus três membros estão alinhados, então o equilíbrio na direção perpendicular a essa linha envolve apenas o terceiro membro, e portanto sua força é zero. Se apenas dois membros se encontram em um nó sem carga e não estão alinhados, ambos são nulos.
Nó C
BC e CD estão em uma mesma reta e o nó não tem carga. Equilibrar as forças na direção perpendicular a essa reta deixa apenas CG.
ΣF⊥ = 0 → FCG = 0
Verifique com o método dos nós
Resolver todos os nós dá estas forças nos membros (T = tração, C = compressão).
Membros de força nula: em um nó, as forças devem se equilibrar em todas as direções. Se um nó não tem carga nem apoio, e dois de seus três membros estão alinhados, então o equilíbrio na direção perpendicular a essa linha envolve apenas o terceiro membro, e portanto sua força é zero. Se apenas dois membros se encontram em um nó sem carga e não estão alinhados, ambos são nulos.
Nó D
CD e DE estão em uma mesma reta e o nó não tem carga. Equilibrar as forças na direção perpendicular a essa reta deixa apenas DH.
ΣF⊥ = 0 → FDH = 0
Verifique com o método dos nós
Resolver todos os nós dá estas forças nos membros (T = tração, C = compressão).
Pórticos e máquinas: ao contrário de uma treliça, um pórtico contém pelo menos um membro que suporta forças em mais de dois pontos, ou uma carga entre seus pinos. Procure primeiro os membros de duas forças: um membro carregado apenas em dois pinos tem sua força ao longo da reta que passa por eles, de modo que traz uma incógnita, e não duas. Depois use a estrutura inteira para as reações de apoio quando houver no máximo três incógnitas. Por fim, desmonte o pórtico: desenhe cada membro separadamente, com as forças nos pinos iguais e opostas nos dois membros que eles ligam, e escreva ΣFx = 0, ΣFy = 0 e ΣM = 0 para ele. Tomar momentos em torno de um pino elimina da equação as duas componentes da força desse pino.
Pórtico inteiro: momentos em torno de A
By = 8·1,875/5 = 3 kN
Perna BC: momentos em torno de C
3·2,5 = T·1,2
T = 6,25 kN
Resposta
T = 6,25 kN
8.Pórticos e máquinas
Resposta: C = 3,606 kN
Pórticos e máquinas: ao contrário de uma treliça, um pórtico contém pelo menos um membro que suporta forças em mais de dois pontos, ou uma carga entre seus pinos. Procure primeiro os membros de duas forças: um membro carregado apenas em dois pinos tem sua força ao longo da reta que passa por eles, de modo que traz uma incógnita, e não duas. Depois use a estrutura inteira para as reações de apoio quando houver no máximo três incógnitas. Por fim, desmonte o pórtico: desenhe cada membro separadamente, com as forças nos pinos iguais e opostas nos dois membros que eles ligam, e escreva ΣFx = 0, ΣFy = 0 e ΣM = 0 para ele. Tomar momentos em torno de um pino elimina da equação as duas componentes da força desse pino.
Reação de apoio em B
By = 8·1,2/3,2 = 3 kN
Força no tirante
T = 3·1,6/2,4 = 2 kN
Força no pino sobre BC
Cx = 2 kN, Cy = −3 kN
C = √(2² + 3²) = 3,606 kN
Resposta
C = 3,606 kN
9.Esforço cortante e momento fletor
Resposta: MA = −78 kN·m
Método das seções: corte a viga onde você quer os esforços internos e fique com um lado. O esforço cortante V equilibra as forças verticais desse lado, e o momento fletor M equilibra os momentos delas em relação ao corte.
Fique com a parte da extremidade livre
P: −60·1 = −60 kN·m
w: −4·3²/2 = −18 kN·m
MA = −60 − 18 = −78 kN·m
Resposta
MA = −78 kN·m
Negativo significa tração na face superior.
10.Esforço cortante e momento fletor
Resposta: Mx = 59,63 kN·m
Método das seções: corte a viga onde você quer os esforços internos e fique com um lado. O esforço cortante V equilibra as forças verticais desse lado, e o momento fletor M equilibra os momentos delas em relação ao corte.
Reações de apoio
Equilíbrio da viga inteira.
Resultante da carga distribuída: W = w·ℓ = 6·6 = 36 kN, atuando em x̄ = 3 m
ΣMA = 0: RB·6 = 35·1,5 + 6·6·3
RB = 160,5/6 = 26,75 kN
ΣFy = 0: RA = 71 − 26,75 = 44,25 kN
Corte em x = 1,5 m e fique com a parte esquerda
Só aparecem as forças à esquerda do corte. Uma parte da carga distribuída age como uma única força no meio dessa parte.
M = RA·x − (cada carga à esquerda do corte × sua distância até o corte)
Mx = 44,25·1,5 − 6·1,5·0,75 = 59,63 kN·m
Resposta
Mx = 59,63 kN·m
11.Centroide e momento de inércia
Resposta: Ix = 31 × 10⁶ mm⁴
Áreas compostas: divida a seção em retângulos. O centroide é a média ponderada pelas áreas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. O momento de inércia em relação ao eixo centroidal soma o bh³/12 próprio de cada parte e seu termo de eixos paralelos A·d², onde d é a distância do centroide da parte ao centroide geral. A tensão de flexão é σ = M·y/I.
Divida em dois retângulos
Meça todo y a partir da borda inferior.
mesa: Af = 240·30 = 7200 mm², yf = 180 + 30/2 = 195 mm
Áreas compostas: divida a seção em retângulos. O centroide é a média ponderada pelas áreas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. O momento de inércia em relação ao eixo centroidal soma o bh³/12 próprio de cada parte e seu termo de eixos paralelos A·d², onde d é a distância do centroide da parte ao centroide geral. A tensão de flexão é σ = M·y/I.