Estática: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 12 exercícios, com soluções completas no final.

Novos exercícios Voltar à disciplina

Na janela de impressão, escolha “Salvar como PDF” para guardar uma cópia no seu dispositivo.

1Fórmulas e métodos

Vetores: produto escalar e vetorial

Módulo: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
Vetor unitário: û = a/|a|
Componentes a partir de um ângulo: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
Produto escalar: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
Projeção escalar de a sobre b: a·b/|b|
Trabalho: W = F·d
Produto vetorial: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
Áreas: paralelogramo |a × b|, triângulo ½|a × b|
Momento em relação a O: M_O = r × F, r = A − O
Volume de um paralelepípedo: V = |a·(b × c)|

Método

Escreva todo vetor em componentes; para uma força dada por um módulo e um ângulo, use F·cos θ e F·sin θ.
Para comprimentos e direções use o módulo √(x² + y² + z²) e o vetor unitário a/|a|.
Use o produto escalar para ângulos, projeções, perpendicularidade e trabalho: a·b = |a||b|cos θ.
Use o produto vetorial para vetores perpendiculares, áreas e momentos: escreva as três componentes com cuidado, mantendo a ordem a × b.

Reações de apoio em vigas

Equilíbrio: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Carga uniforme: resultante w·L no meio da carga
Momento: M = F·d

Método

Desenhe um diagrama de corpo livre e substitua cada apoio por suas reações.
Substitua cada carga distribuída por uma única força no seu centroide.
Tome momentos em relação a um apoio para encontrar a reação no outro.
Use ΣF_y = 0 para encontrar a reação restante e confira com uma segunda equação de momentos.

Treliça: método dos nós

Método dos nós: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Método das seções: ΣM = 0 about a cut point
Esforço na barra: positivo = tração, negativo = compressão

Método

Encontre as reações de apoio da treliça inteira.
Método dos nós: comece em um nó com no máximo duas forças de barra desconhecidas e use ΣF_x = 0 e ΣF_y = 0.
Método das seções: corte a barra de que você precisa e tome momentos em relação a um ponto onde as outras barras desconhecidas se encontram.
Suponha tração; uma resposta negativa significa compressão.

Pórticos e máquinas

Equilíbrio de cada membro: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Membro de duas forças: força ao longo da reta que passa pelos seus dois pinos
Força no pino: iguais e opostas nos dois membros que ele liga
Módulo de uma força no pino: F = √(F_x² + F_y²)
Alavanca, alicate, alavanca angular: F_in·a = F_out·b
Articulação de joelho: F_link = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
Carga uniforme: resultante w·L no meio da carga

Método

Desenhe a estrutura inteira e encontre as reações de apoio se houver no máximo três incógnitas.
Identifique os membros de duas forças: carregados apenas em dois pinos, sua força atua ao longo da reta entre os pinos.
Desmonte o pórtico e desenhe cada membro separadamente, com forças nos pinos iguais e opostas onde os membros se encontram.
Para cada membro, tome momentos em torno de um pino com forças desconhecidas e use depois ΣF_x = 0 e ΣF_y = 0; combine as componentes em um módulo só no final.

Esforço cortante e momento fletor

Cortante e momento: V = ΣF de um lado, M = ΣF·d de um lado
Tensão de flexão: σ = M·y/I
Retângulo: I = bh³/12
Módulo de resistência: W = I/y_max
Viga biapoiada, carga uniforme: M_max = wL²/8

Método

Encontre as reações de apoio pelo equilíbrio da viga inteira.
Corte a viga na seção de que você precisa e fique com um dos lados.
Esforço cortante: soma das forças verticais daquele lado. Momento fletor: soma dos momentos dessas forças em relação ao corte.
Para o momento máximo, encontre onde o esforço cortante é zero.

Centroide e momento de inércia

Centroide: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Retângulo: I = bh³/12
Teorema dos eixos paralelos: I = I_c + A·d²
Seção composta: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

2Exercícios

1.Vetores: produto escalar e vetorialMédia

Encontre o ângulo θ entre os vetores a = (1, 6, 5) e b = (1, 5, 0), em graus.

a = (1, 6, 5)b = (1, 5, 0)

θ = °

2.Vetores: produto escalar e vetorialDifícil

Uma força F = (−60, −40, 40) N atua no ponto A(2, 0, −1). As coordenadas estão em metros. Encontre a componente y M_y do momento da força em relação a o ponto O(−1, 1, −2).

F = (−60, −40, 40) NA(2, 0, −1) mO(−1, 1, −2) m

M_y = N·m

3.Reações de apoio em vigasMédia

A viga tem um apoio fixo em A e um apoio móvel em B, a 4 m de A, e se estende em balanço além de B até a extremidade livre C. Encontre a reação vertical R_B, considerando positivo para cima.

AB = 4 mAC = 6 mP₁ = 75 kN em 0,5 mP₂ = 75 kN em 6 m

R_B = kN

4.Reações de apoio em vigasDifícil

A viga tem um apoio fixo em A e um apoio móvel em B, a 6 m de A, e se estende em balanço além de B até a extremidade livre C. Ela suporta uma carga concentrada P a 1 m de A e uma carga uniformemente distribuída w de 6 m até a extremidade livre em 10 m. Encontre a reação vertical R_B, considerando positivo para cima.

AB = 6 mAC = 10 mP = 60 kN em 1 mw = 10 kN/m de 6 a 10 m

R_B = kN

5.Treliça: método dos nósMédia

Use o método dos nós para encontrar a força F_BC na barra BC. Dê tração como positiva e compressão como negativa.

vão = 6 maltura = 4 mB está a 2 m de Acarga vertical = 55 kN

F_BC = kN

6.Treliça: método dos nósDifícil

Use o método dos nós para encontrar a força F_BC na barra BC. Dê tração como positiva e compressão como negativa.

vão = 8 maltura = 4 mB está a 2 m de Acarga vertical = 15 kNcarga horizontal = 5 kN ←

F_BC = kN

7.Pórticos e máquinasMédia

Uma viga horizontal AB está articulada a uma parede em A e escorada pela escora CD, articulada à parede em C, 0,6 m abaixo de A. Uma carga de 6 kN está pendurada em B. Despreze os pesos. Encontre o módulo da força A no pino sobre a viga em A.

P = 6 kNAD = 1 mAB = 1,5 mAC = 0,6 m

A = kN

8.Pórticos e máquinasDifícil

Uma prensa de articulação de joelho tem duas barras iguais AB e BC, cada uma com 120 mm de comprimento entre pinos. A junta B está 5 mm acima da reta AC. Que força para baixo F em B produz uma força de prensagem horizontal de 1500 N no cursor C? Despreze o atrito e os pesos.

Q = 1500 NAB = BC = 120 mmh = 5 mm

F = N

9.Esforço cortante e momento fletorMédia

A viga simplesmente apoiada suporta duas cargas concentradas. Encontre o momento fletor máximo M_max na viga.

L = 8 mP₁ = 30 kN em 5 mP₂ = 35 kN em 7 m

M_max = kN·m

10.Esforço cortante e momento fletorDifícil

A viga simplesmente apoiada suporta uma carga uniformemente distribuída w em todo o vão e uma carga concentrada P. Encontre o momento fletor máximo M_max na viga.

L = 5 mP = 40 kN em 1,5 mw = 3 kN/m de 0 a 5 m

M_max = kN·m

11.Centroide e momento de inérciaMédia

Um perfil U está com o lado aberto para cima: uma chapa de base de 300 mm de largura com duas abas verticais, com altura total de 80 mm. Base e abas têm todas 12 mm de espessura. Encontre seu momento de inércia I_x em relação ao eixo horizontal x que passa pelo centroide.

b = 300 mmh = 80 mmt = 12 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.Centroide e momento de inérciaDifícil

Um perfil I soldado tem mesa superior de 130 × 10 mm, alma de 390 mm de altura e 8 mm de espessura, e mesa inferior de 240 × 18 mm (largura × espessura). Encontre seu momento de inércia I_x em relação ao eixo horizontal x que passa pelo centroide.

mesa superior: 130 × 10 mmalma: 8 × 390 mmmesa inferior: 240 × 18 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

3Soluções

1.Vetores: produto escalar e vetorial

Resposta: θ = 39,46 °

Dot product: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.

Produto escalar

a·b = 1·1 + 6·5 + 5·0 = 31

Módulos

|a| = √(1² + 6² + 5²) = 7,874

|b| = √(1² + 5² + 0²) = 5,099

Ângulo

cos θ = 31/(7,874·5,099) = 0,7721

θ = arccos(0,7721) = 39,46°

Resposta

θ = 39,46°

2.Vetores: produto escalar e vetorial

Resposta: M_y = −180 N·m

Cross product: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is M_O = r × F, with r = A − O.

Vetor de posição de O a A

r = A − O = (2, 0, −1) − (−1, 1, −2) = (3, −1, 1) m

Momento M = r × F

(r × F)_x = r_yF_z − r_zF_y = (−1)·40 − 1·(−40) = 0 N·m

(r × F)_y = r_zF_x − r_xF_z = 1·(−60) − 3·40 = −180 N·m

(r × F)_z = r_xF_y − r_yF_x = 3·(−40) − (−1)·(−60) = −180 N·m

Componente pedida

M_y = −180 N·m

Resposta

M_y = −180 N·m

3.Reações de apoio em vigas

Resposta: R_B = 121,9 kN

Equilíbrio estático: um corpo em repouso tem ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 e ΣM = 0 em relação a qualquer ponto. Substitua cada carga distribuída pela sua resultante (a sua área) atuando no centroide do diagrama de carga, e tome momentos em relação a um apoio para eliminar a reação desse apoio da equação.

Momentos em relação a A

Anti-horário positivo.

ΣM_A = 0: R_B·4 = 75·0,5 + 75·6

R_B = 487,5/4 = 121,9 kN

Equilíbrio vertical

R_A = 75 + 75 − 121,9 = 28,13 kN

Resposta

R_B = 121,9 kN

4.Reações de apoio em vigas

Resposta: R_B = 63,33 kN

Resultante da carga distribuída

W = 10·4 = 40 kN, x̄ = (6 + 10)/2 = 8 m

Equilíbrio

Momentos em relação a A, positivos no sentido anti-horário. Depois o equilíbrio das forças verticais.

ΣM_A = 0: R_B·6 = 60·1 + 40·8

R_B = 380/6 = 63,33 kN

R_A = 100 − 63,33 = 36,67 kN

Resposta

R_B = 63,33 kN

5.Treliça: método dos nós

Resposta: F_BC = −25,93 kN

Método dos nós: cada nó de uma treliça está em equilíbrio, então ΣF_x = 0 e ΣF_y = 0 em cada nó. Comece por um nó com no máximo duas forças de barra desconhecidas. Um resultado negativo significa que a barra está comprimida.

Reações de apoio

Equilíbrio da treliça inteira. Momentos em relação a A, positivos no sentido anti-horário.

ΣM_A = 0: C_y·6 = 55·2 → C_y = 18,33 kN

ΣF_y = 0: A_y = 55 − 18,33 = 36,67 kN

Nó C

O apoio móvel dá apenas uma reação vertical, então o nó C tem só duas forças de barra desconhecidas. Suponha ambas tracionadas.

sin γ = 4/5,657 = 0,7071, cos γ = 4/5,657 = 0,7071

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −18,33/0,7071 = −25,93 kN

Resposta

F_BC = −25,93 kN (compressão)

6.Treliça: método dos nós

Resposta: F_BC = −2,253 kN

Reações de apoio

Equilíbrio da treliça inteira. Momentos em relação a A, positivos no sentido anti-horário.

ΣM_A = 0: C_y·8 = 15·2 − 5·4 → C_y = 1,25 kN

ΣF_y = 0: A_y = 15 − 1,25 = 13,75 kN

ΣF_x = 0: A_x = 5 kN

Nó C

O apoio móvel dá apenas uma reação vertical, então o nó C tem só duas forças de barra desconhecidas. Suponha ambas tracionadas.

sin γ = 4/7,211 = 0,5547, cos γ = 6/7,211 = 0,8321

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −1,25/0,5547 = −2,253 kN

Resposta

F_BC = −2,253 kN (compressão)

7.Pórticos e máquinas

Resposta: A = 15,3 kN

Pórticos e máquinas: ao contrário de uma treliça, um pórtico contém pelo menos um membro que suporta forças em mais de dois pontos, ou uma carga entre seus pinos. Procure primeiro os membros de duas forças: um membro carregado apenas em dois pinos tem sua força ao longo da reta que passa por eles, de modo que traz uma incógnita, e não duas. Depois use a estrutura inteira para as reações de apoio quando houver no máximo três incógnitas. Por fim, desmonte o pórtico: desenhe cada membro separadamente, com as forças nos pinos iguais e opostas nos dois membros que eles ligam, e escreva ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 e ΣM = 0 para ele. Tomar momentos em torno de um pino elimina da equação as duas componentes da força desse pino.

Força na escora

F_CD = 6·1,5/(0,5145·1) = 17,49 kN

Componentes em A

A_x = F_CD·cos α = 15 kN (em direção à parede)

A_y = 6 − F_CD·sin α = −3 kN

Módulo

A = √(15² + −3²) = 15,3 kN

Resposta

A = 15,3 kN

Um A_y negativo significa que a parede puxa a viga para baixo em A.

8.Pórticos e máquinas

Resposta: F = 125,1 N

Máquinas: alicates, alavancas, articulações e grampos transformam uma força de entrada em uma força de saída maior ou de outra direção. Desenhe uma peça como corpo livre e tome momentos em torno do seu pivô: a força no pino sai da equação, e F_in·a = F_out·b dá a vantagem mecânica a/b. A força no pino decorre então de ΣF = 0 na mesma peça. Em uma articulação de joelho, duas barras se encontram em um ângulo raso θ; cada barra é um membro de duas forças, de modo que uma pequena força F na junta cria grandes forças F/(2 sen θ) nas barras e uma força de aperto F/(2 tan θ).

Ângulo da barra

sin θ = 5/120 = 0,04167, θ = 2,388°

Força na barra

F_link = Q/cos θ = 1501 N

Força em B

F = 2·F_link·sin θ = 2·1500·tan θ = 125,1 N

Resposta

F = 125,1 N

9.Esforço cortante e momento fletor

Resposta: M_max = 78,13 kN·m

Método das seções: corte a viga onde você quer os esforços internos e fique com um lado. O esforço cortante V equilibra as forças verticais desse lado, e o momento fletor M equilibra os momentos delas em relação ao corte. Momento máximo: como dM/dx = V, o momento fletor atinge seu pico onde o esforço cortante passa por zero, seja em uma carga concentrada, seja dentro de uma carga distribuída.

Reações de apoio

Equilíbrio da viga inteira.

ΣM_A = 0: R_B·8 = 30·5 + 35·7

R_B = 395/8 = 49,38 kN

ΣF_y = 0: R_A = 65 − 49,38 = 15,63 kN

Momento sob cada carga

Fique com a parte à esquerda de cada carga.

sob P₁: M = R_A·5 = 15,63·5 = 78,13 kN·m

sob P₂: M = R_B·1 = 49,38·1 = 49,38 kN·m

Maior valor

M_max = 78,13 kN·m (sob P₁)

Resposta

M_max = 78,13 kN·m

10.Esforço cortante e momento fletor

Resposta: M_max = 49,88 kN·m

Reações de apoio

Equilíbrio da viga inteira.

Resultante da carga distribuída: W = w·ℓ = 3·5 = 15 kN, atuando em x̄ = 2,5 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 40·1,5 + 3·5·2,5

R_B = 97,5/5 = 19,5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 55 − 19,5 = 35,5 kN

Onde V = 0?

V(1,5⁻) = R_A − w·1,5 = 31 kN

V(1,5⁺) = 31 − 40 = −9 kN

O cortante muda de sinal na carga, então o máximo fica sob a carga.

Momento máximo

M_max = R_A·1,5 − w·1,5²/2 = 35,5·1,5 − 3·1,5²/2 = 49,88 kN·m

Resposta

M_max = 49,88 kN·m

Ele ocorre em x = 1,5 m a partir de A.

11.Centroide e momento de inércia

Resposta: I_x = 2,469 × 10⁶ mm⁴

Áreas compostas: divida a seção em retângulos. O centroide é a média ponderada pelas áreas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. O momento de inércia em relação ao eixo centroidal soma o bh³/12 próprio de cada parte e seu termo de eixos paralelos A·d², onde d é a distância do centroide da parte ao centroide geral. A tensão de flexão é σ = M·y/I.

Divida em retângulos

Tome a base com a largura total e as duas abas acima dela (altura h − t), para que nada seja contado duas vezes.

base: A₁ = 300·12 = 3600 mm², y₁ = 6 mm

duas abas: A₂ = 2·12·68 = 1632 mm², y₂ = 12 + 68/2 = 46 mm

Centroide

ȳ = (3600·6 + 1632·46)/5232 = 18,48 mm

Teorema dos eixos paralelos

base: 300·12³/12 + 3600·(6 − 18,48)² = 603638 mm⁴

duas abas: 2·12·68³/12 + 1632·(46 − 18,48)² = 1,865 × 10⁶ mm⁴

I_x = 603638 + 1,865 × 10⁶

I_x = 2,469 × 10⁶ mm⁴ = 2,469 × 10⁶ mm⁴

Resposta

I_x = 2,469 × 10⁶ mm⁴

12.Centroide e momento de inércia

Resposta: I_x = 227,3 × 10⁶ mm⁴

Divida em três retângulos

Meça todo y a partir da borda inferior.

mesa superior: A = 1300 mm², y = 413 mm

alma: A = 3120 mm², y = 213 mm

mesa inferior: A = 4320 mm², y = 9 mm

Centroide

ȳ = (1300·413 + 3120·213 + 4320·9)/8740 = 141,9 mm

Teorema dos eixos paralelos

mesa superior: 130·10³/12 + 1300·271,1² = 9,554 × 10⁷ mm⁴

alma: 8·390³/12 + 3120·71,08² = 5,531 × 10⁷ mm⁴

mesa inferior: 240·18³/12 + 4320·132,9² = 7,644 × 10⁷ mm⁴

I_x = 9,554 × 10⁷ + 5,531 × 10⁷ + 7,644 × 10⁷

I_x = 2,273 × 10⁸ mm⁴ = 227,3 × 10⁶ mm⁴

Resposta

I_x = 227,3 × 10⁶ mm⁴

ExamProblems · examproblems.com/courses/statics