Estática: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 12 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Vetores: produto escalar e vetorial

Módulo: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
Vetor unitário: û = a/|a|
Componentes a partir de um ângulo: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
Produto escalar: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
Projeção escalar de a sobre b: a·b/|b|
Trabalho: W = F·d
Produto vetorial: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
Áreas: paralelogramo |a × b|, triângulo ½|a × b|
Momento em relação a O: M_O = r × F, r = A − O
Volume de um paralelepípedo: V = |a·(b × c)|

Método

Escreva todo vetor em componentes; para uma força dada por um módulo e um ângulo, use F·cos θ e F·sin θ.
Para comprimentos e direções use o módulo √(x² + y² + z²) e o vetor unitário a/|a|.
Use o produto escalar para ângulos, projeções, perpendicularidade e trabalho: a·b = |a||b|cos θ.
Use o produto vetorial para vetores perpendiculares, áreas e momentos: escreva as três componentes com cuidado, mantendo a ordem a × b.

Reações de apoio em vigas

Equilíbrio: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Carga uniforme: resultante w·L no meio da carga
Momento: M = F·d

Método

Desenhe um diagrama de corpo livre e substitua cada apoio por suas reações.
Substitua cada carga distribuída por uma única força no seu centroide.
Tome momentos em relação a um apoio para encontrar a reação no outro.
Use ΣF_y = 0 para encontrar a reação restante e confira com uma segunda equação de momentos.

Treliça: método dos nós

Método dos nós: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Método das seções: ΣM = 0 about a cut point
Esforço na barra: positivo = tração, negativo = compressão

Método

Encontre as reações de apoio da treliça inteira.
Método dos nós: comece em um nó com no máximo duas forças de barra desconhecidas e use ΣF_x = 0 e ΣF_y = 0.
Método das seções: corte a barra de que você precisa e tome momentos em relação a um ponto onde as outras barras desconhecidas se encontram.
Suponha tração; uma resposta negativa significa compressão.

Pórticos e máquinas

Equilíbrio de cada membro: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Membro de duas forças: força ao longo da reta que passa pelos seus dois pinos
Força no pino: iguais e opostas nos dois membros que ele liga
Módulo de uma força no pino: F = √(F_x² + F_y²)
Alavanca, alicate, alavanca angular: F_in·a = F_out·b
Articulação de joelho: F_link = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
Carga uniforme: resultante w·L no meio da carga

Método

Desenhe a estrutura inteira e encontre as reações de apoio se houver no máximo três incógnitas.
Identifique os membros de duas forças: carregados apenas em dois pinos, sua força atua ao longo da reta entre os pinos.
Desmonte o pórtico e desenhe cada membro separadamente, com forças nos pinos iguais e opostas onde os membros se encontram.
Para cada membro, tome momentos em torno de um pino com forças desconhecidas e use depois ΣF_x = 0 e ΣF_y = 0; combine as componentes em um módulo só no final.

Esforço cortante e momento fletor

Cortante e momento: V = ΣF de um lado, M = ΣF·d de um lado
Tensão de flexão: σ = M·y/I
Retângulo: I = bh³/12
Módulo de resistência: W = I/y_max
Viga biapoiada, carga uniforme: M_max = wL²/8

Método

Encontre as reações de apoio pelo equilíbrio da viga inteira.
Corte a viga na seção de que você precisa e fique com um dos lados.
Esforço cortante: soma das forças verticais daquele lado. Momento fletor: soma dos momentos dessas forças em relação ao corte.
Para o momento máximo, encontre onde o esforço cortante é zero.

Centroide e momento de inércia

Centroide: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Retângulo: I = bh³/12
Teorema dos eixos paralelos: I = I_c + A·d²
Seção composta: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

2Exercícios

1.Vetores: produto escalar e vetorialMédia

Encontre o valor de k para o qual os vetores a = (−1, 0, 2) e b = (2, −1, k) são perpendiculares.

a = (−1, 0, 2)b = (2, −1, k)

k =

2.Vetores: produto escalar e vetorialDifícil

Encontre o volume V do paralelepípedo cujas arestas a partir de um vértice são a = (−4, 2, 5), b = (5, 3, 1) e c = (2, −3, −3).

a = (−4, 2, 5)b = (5, 3, 1)c = (2, −3, −3)

V =

3.Reações de apoio em vigasMédia

A viga simplesmente apoiada tem um apoio fixo em A e um apoio móvel em B. Ela suporta uma carga concentrada P a 4 m de A e um binário horário M a 3 m de A. Encontre a reação vertical R_B, considerando positivo para cima.

L = 8 mP = 45 kN em 4 mM = 50 kN·m (horário) em 3 m

R_B = kN

4.Reações de apoio em vigasDifícil

A viga tem um apoio fixo em A e um apoio móvel em B, a 3,5 m de A, e se estende em balanço além de B até a extremidade livre C. Ela suporta uma carga concentrada P a 2 m de A e uma carga uniformemente distribuída w de 1,5 m até a extremidade livre em 5 m. Encontre a reação vertical R_B, considerando positivo para cima.

AB = 3,5 mAC = 5 mP = 25 kN em 2 mw = 2 kN/m de 1,5 a 5 m

R_B = kN

5.Treliça: método dos nósMédia

Exatamente um membro desta treliça não suporta força sob estas cargas. Qual é o membro de força nula? Clique nele no diagrama.

B: 15 kN ↓G: 20 kN ↓H: 40 kN ↓

1membro AB
2membro BC
3membro CD
4membro DE
5membro FG
6membro GH
7membro AF
8membro HE
9membro BF
10membro CG
11membro DH
12membro BG
13membro DG

6.Treliça: método dos nósDifícil

Use o método dos nós para encontrar a força F_BC na barra BC. Dê tração como positiva e compressão como negativa.

vão = 5 maltura = 2 mB está a 4 m de Acarga vertical = 25 kNcarga horizontal = 20 kN →

F_BC = kN

7.Pórticos e máquinasMédia

O pórtico em A mostrado está apoiado em um pino em A e em um rolete em B, a 4,8 m de distância. As pernas se encontram no pino C, a 3 m de altura, e o tirante horizontal DE está a 0,8 m acima do solo. Uma carga de 5 kN atua em C. Encontre o módulo da força C que o pino C exerce sobre a perna BC.

P = 5 kNAB = 4,8 maltura de C = 3 maltura de DE = 0,8 m

C = kN

8.Pórticos e máquinasDifícil

O pórtico em A mostrado está apoiado em um pino em A e em um rolete em B, a 6 m de distância. As pernas se encontram no pino C, a 3,6 m de altura, e são ligadas pela barra horizontal DE a 1,2 m. Uma força horizontal de 4 kN para a direita atua em C. Encontre a tração T no tirante.

P = 4 kNAB = 6 maltura de C = 3,6 maltura de DE = 1,2 m

T = kN

9.Esforço cortante e momento fletorMédia

A viga em balanço está engastada em A. Ela suporta uma carga uniformemente distribuída w em todo o comprimento e uma carga concentrada P a 2 m de A. Encontre o momento fletor M_A no engaste A. Use momentos positivos quando tracionam a face inferior e cortante para cima na face esquerda positivo.

L = 2 mP = 45 kN em 2 mw = 6 kN/m de 0 a 2 m

M_A = kN·m

10.Esforço cortante e momento fletorDifícil

Encontre o momento fletor M_x na seção x = 6,5 m a partir do apoio A. Use momentos positivos quando tracionam a face inferior e cortante para cima na face esquerda positivo.

L = 8 mP = 55 kN em 5 mw = 2 kN/m de 0 a 8 mx = 6,5 m

M_x = kN·m

11.Centroide e momento de inérciaMédia

Encontre o momento de inércia I_x da seção T em relação ao eixo horizontal x pelo seu centroide.

b_f = 200 mmt_f = 10 mmt_w = 20 mmh_w = 280 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.Centroide e momento de inérciaDifícil

Uma viga de ferro fundido tem a seção T mostrada, com a mesa em cima. As tensões admissíveis são 60 MPa na tração e 90 MPa na compressão. Encontre o maior momento fletor negativo M_allow que a viga pode suportar (dê o seu módulo).

b_f = 300 mmt_f = 25 mmt_w = 18 mmh_w = 260 mmσ_t,allow = 60 MPaσ_c,allow = 90 MPa

M_allow = kN·m

3Soluções

1.Vetores: produto escalar e vetorial

Resposta: k = 1

Dot product: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.

Produto escalar igual a zero

a·b = (−1)·2 + 0·(−1) + 2·k = 0

−2 + 2·k = 0

Resolver para k

k = −(−2)/2 = 1

Resposta

k = 1

2.Vetores: produto escalar e vetorial

Resposta: V = 47

Cross product: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is M_O = r × F, with r = A − O.

Produto vetorial b × c

(b × c)_x = b_yc_z − b_zc_y = 3·(−3) − 1·(−3) = −6

(b × c)_y = b_zc_x − b_xc_z = 1·2 − 5·(−3) = 17

(b × c)_z = b_xc_y − b_yc_x = 5·(−3) − 3·2 = −21

Produto escalar com a

a·(b × c) = (−4)·(−6) + 2·17 + 5·(−21) = −47

V = |−47| = 47

Resposta

V = 47

3.Reações de apoio em vigas

Resposta: R_B = 28,75 kN

Equilíbrio estático: um corpo em repouso tem ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 e ΣM = 0 em relação a qualquer ponto. Substitua cada carga distribuída pela sua resultante (a sua área) atuando no centroide do diagrama de carga, e tome momentos em relação a um apoio para eliminar a reação desse apoio da equação.

Momentos em relação a A

Anti-horário positivo.

ΣM_A = 0: R_B·8 − 45·4 − 50 = 0

R_B = 230/8 = 28,75 kN

Equilíbrio vertical

R_A = 45 − 28,75 = 16,25 kN

Resposta

R_B = 28,75 kN

Uma reação negativa atua para baixo.

4.Reações de apoio em vigas

Resposta: R_B = 20,79 kN

Resultante da carga distribuída

W = 2·3,5 = 7 kN, x̄ = (1,5 + 5)/2 = 3,25 m

Equilíbrio

Momentos em relação a A, positivos no sentido anti-horário. Depois o equilíbrio das forças verticais.

ΣM_A = 0: R_B·3,5 = 25·2 + 7·3,25

R_B = 72,75/3,5 = 20,79 kN

R_A = 32 − 20,79 = 11,21 kN

Resposta

R_B = 20,79 kN

5.Treliça: método dos nós

Resposta: membro CG

Membros de força nula: em um nó, as forças devem se equilibrar em todas as direções. Se um nó não tem carga nem apoio, e dois de seus três membros estão alinhados, então o equilíbrio na direção perpendicular a essa linha envolve apenas o terceiro membro, e portanto sua força é zero. Se apenas dois membros se encontram em um nó sem carga e não estão alinhados, ambos são nulos.

Nó C

BC e CD estão em uma mesma reta e o nó não tem carga. Equilibrar as forças na direção perpendicular a essa reta deixa apenas CG.

ΣF⊥ = 0 → F_CG = 0

Verifique com o método dos nós

Resolver todos os nós dá estas forças nos membros (T = tração, C = compressão).

AB: 41,67 kN (T), BC: 63,33 kN (T), CD: 63,33 kN (T), DE: 58,33 kN (T), FG: 41,67 kN (C), GH: 58,33 kN (C), AF: 52,08 kN (C), HE: 72,92 kN (C), BF: 31,25 kN (T), CG: 0, DH: 3,75 kN (T), BG: 27,08 kN (C), DG: 6,25 kN (C)

Resposta

Membro de força nula: CG

6.Treliça: método dos nós

Resposta: F_BC = −31,3 kN

Método dos nós: cada nó de uma treliça está em equilíbrio, então ΣF_x = 0 e ΣF_y = 0 em cada nó. Comece por um nó com no máximo duas forças de barra desconhecidas. Um resultado negativo significa que a barra está comprimida.

Reações de apoio

Equilíbrio da treliça inteira. Momentos em relação a A, positivos no sentido anti-horário.

ΣM_A = 0: C_y·5 = 25·4 + 20·2 → C_y = 28 kN

ΣF_y = 0: A_y = 25 − 28 = −3 kN

ΣF_x = 0: A_x = −20 kN

Nó C

O apoio móvel dá apenas uma reação vertical, então o nó C tem só duas forças de barra desconhecidas. Suponha ambas tracionadas.

sin γ = 2/2,236 = 0,8944, cos γ = 1/2,236 = 0,4472

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −28/0,8944 = −31,3 kN

Resposta

F_BC = −31,3 kN (compressão)

7.Pórticos e máquinas

Resposta: C = 3,7 kN

Pórticos e máquinas: ao contrário de uma treliça, um pórtico contém pelo menos um membro que suporta forças em mais de dois pontos, ou uma carga entre seus pinos. Procure primeiro os membros de duas forças: um membro carregado apenas em dois pinos tem sua força ao longo da reta que passa por eles, de modo que traz uma incógnita, e não duas. Depois use a estrutura inteira para as reações de apoio quando houver no máximo três incógnitas. Por fim, desmonte o pórtico: desenhe cada membro separadamente, com as forças nos pinos iguais e opostas nos dois membros que eles ligam, e escreva ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 e ΣM = 0 para ele. Tomar momentos em torno de um pino elimina da equação as duas componentes da força desse pino.

Força no tirante a partir da perna BC

B_y = 2,5 kN

T = 2,5·2,4/2,2 = 2,727 kN

Componentes da força no pino sobre BC

C_x = T = 2,727 kN, C_y = −B_y = −2,5 kN

Módulo

C = √(2,727² + 2,5²) = 3,7 kN

Resposta

C = 3,7 kN

8.Pórticos e máquinas

Resposta: T = 3 kN

Pórtico inteiro: momentos em torno de A

B_y·6 = 4·3,6

B_y = 2,4 kN

Perna BC: momentos em torno de C

2,4·3 = T·2,4

T = 3 kN

Resposta

T = 3 kN

Um T positivo significa que o tirante está tracionado, como suposto.

9.Esforço cortante e momento fletor

Resposta: M_A = −102 kN·m

Método das seções: corte a viga onde você quer os esforços internos e fique com um lado. O esforço cortante V equilibra as forças verticais desse lado, e o momento fletor M equilibra os momentos delas em relação ao corte.

Fique com a parte da extremidade livre

P: −45·2 = −90 kN·m

w: −6·2²/2 = −12 kN·m

M_A = −90 − 12 = −102 kN·m

Resposta

M_A = −102 kN·m

Negativo significa tração na face superior.

10.Esforço cortante e momento fletor

Resposta: M_x = 61,31 kN·m

Reações de apoio

Equilíbrio da viga inteira.

Resultante da carga distribuída: W = w·ℓ = 2·8 = 16 kN, atuando em x̄ = 4 m

ΣM_A = 0: R_B·8 = 55·5 + 2·8·4

R_B = 339/8 = 42,38 kN

ΣF_y = 0: R_A = 71 − 42,38 = 28,63 kN

Corte em x = 6,5 m e fique com a parte esquerda

Só aparecem as forças à esquerda do corte. Uma parte da carga distribuída age como uma única força no meio dessa parte.

M = R_A·x − (cada carga à esquerda do corte × sua distância até o corte)

M_x = 28,63·6,5 − 55·(6,5 − 5) − 2·6,5·3,25 = 61,31 kN·m

Resposta

M_x = 61,31 kN·m

11.Centroide e momento de inércia

Resposta: I_x = 67,59 × 10⁶ mm⁴

Áreas compostas: divida a seção em retângulos. O centroide é a média ponderada pelas áreas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. O momento de inércia em relação ao eixo centroidal soma o bh³/12 próprio de cada parte e seu termo de eixos paralelos A·d², onde d é a distância do centroide da parte ao centroide geral. A tensão de flexão é σ = M·y/I.

Divida em dois retângulos

Meça todo y a partir da borda inferior.

mesa: A_f = 200·10 = 2000 mm², y_f = 280 + 10/2 = 285 mm

alma: A_w = 20·280 = 5600 mm², y_w = 280/2 = 140 mm

Centroide

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (2000·285 + 5600·140)/7600 = 178,2 mm

Teorema dos eixos paralelos

mesa: 200·10³/12 + 2000·(285 − 178,2)² = 2,285 × 10⁷ mm⁴

alma: 20·280³/12 + 5600·(140 − 178,2)² = 4,474 × 10⁷ mm⁴

I_x = 2,285 × 10⁷ + 4,474 × 10⁷ = 6,759 × 10⁷ mm⁴ = 67,59 × 10⁶ mm⁴

Resposta

I_x = 67,59 × 10⁶ mm⁴

12.Centroide e momento de inércia

Resposta: M_allow = 35,25 kN·m

Centroide

ȳ = (7500·272,5 + 4680·130)/12180 = 217,7 mm

borda superior: c = 285 − 217,7 = 67,25 mm

Momento de inércia de área

I = 300·25³/12 + 7500·54,75² + 18·260³/12 + 4680·87,75² = 8,527 × 10⁷ mm⁴

Momento admitido por cada borda

Momento negativo: a face superior fica tracionada, a inferior comprimida.

borda superior: M = 60·8,527 × 10⁷/67,25 = 76,08 kN·m

borda inferior: M = 90·8,527 × 10⁷/217,7 = 35,25 kN·m

Valor determinante

M_allow = min = 35,25 kN·m (borda inferior)

Resposta

M_allow = 35,25 kN·m

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