Estática: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 12 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Vetores: produto escalar e vetorial

Módulo: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
Vetor unitário: û = a/|a|
Componentes a partir de um ângulo: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
Produto escalar: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
Projeção escalar de a sobre b: a·b/|b|
Trabalho: W = F·d
Produto vetorial: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
Áreas: paralelogramo |a × b|, triângulo ½|a × b|
Momento em relação a O: M_O = r × F, r = A − O
Volume de um paralelepípedo: V = |a·(b × c)|

Método

Escreva todo vetor em componentes; para uma força dada por um módulo e um ângulo, use F·cos θ e F·sin θ.
Para comprimentos e direções use o módulo √(x² + y² + z²) e o vetor unitário a/|a|.
Use o produto escalar para ângulos, projeções, perpendicularidade e trabalho: a·b = |a||b|cos θ.
Use o produto vetorial para vetores perpendiculares, áreas e momentos: escreva as três componentes com cuidado, mantendo a ordem a × b.

Reações de apoio em vigas

Equilíbrio: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Carga uniforme: resultante w·L no meio da carga
Momento: M = F·d

Método

Desenhe um diagrama de corpo livre e substitua cada apoio por suas reações.
Substitua cada carga distribuída por uma única força no seu centroide.
Tome momentos em relação a um apoio para encontrar a reação no outro.
Use ΣF_y = 0 para encontrar a reação restante e confira com uma segunda equação de momentos.

Treliça: método dos nós

Método dos nós: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Método das seções: ΣM = 0 about a cut point
Esforço na barra: positivo = tração, negativo = compressão

Método

Encontre as reações de apoio da treliça inteira.
Método dos nós: comece em um nó com no máximo duas forças de barra desconhecidas e use ΣF_x = 0 e ΣF_y = 0.
Método das seções: corte a barra de que você precisa e tome momentos em relação a um ponto onde as outras barras desconhecidas se encontram.
Suponha tração; uma resposta negativa significa compressão.

Pórticos e máquinas

Equilíbrio de cada membro: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Membro de duas forças: força ao longo da reta que passa pelos seus dois pinos
Força no pino: iguais e opostas nos dois membros que ele liga
Módulo de uma força no pino: F = √(F_x² + F_y²)
Alavanca, alicate, alavanca angular: F_in·a = F_out·b
Articulação de joelho: F_link = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
Carga uniforme: resultante w·L no meio da carga

Método

Desenhe a estrutura inteira e encontre as reações de apoio se houver no máximo três incógnitas.
Identifique os membros de duas forças: carregados apenas em dois pinos, sua força atua ao longo da reta entre os pinos.
Desmonte o pórtico e desenhe cada membro separadamente, com forças nos pinos iguais e opostas onde os membros se encontram.
Para cada membro, tome momentos em torno de um pino com forças desconhecidas e use depois ΣF_x = 0 e ΣF_y = 0; combine as componentes em um módulo só no final.

Esforço cortante e momento fletor

Cortante e momento: V = ΣF de um lado, M = ΣF·d de um lado
Tensão de flexão: σ = M·y/I
Retângulo: I = bh³/12
Módulo de resistência: W = I/y_max
Viga biapoiada, carga uniforme: M_max = wL²/8

Método

Encontre as reações de apoio pelo equilíbrio da viga inteira.
Corte a viga na seção de que você precisa e fique com um dos lados.
Esforço cortante: soma das forças verticais daquele lado. Momento fletor: soma dos momentos dessas forças em relação ao corte.
Para o momento máximo, encontre onde o esforço cortante é zero.

Centroide e momento de inércia

Centroide: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Retângulo: I = bh³/12
Teorema dos eixos paralelos: I = I_c + A·d²
Seção composta: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

2Exercícios

1.Vetores: produto escalar e vetorialMédia

Encontre o valor de k para o qual os vetores a = (−5, −1, 4) e b = (6, k, 5) são perpendiculares.

a = (−5, −1, 4)b = (6, k, 5)

k =

2.Vetores: produto escalar e vetorialDifícil

O vetor unitário n̂ é perpendicular a a = (−3, −4, −4) e a b = (3, 5, 3) e tem componente z positiva. Encontre sua componente x n̂_x.

a = (−3, −4, −4)b = (3, 5, 3)n̂_z > 0

n̂_x =

3.Reações de apoio em vigasMédia

A viga simplesmente apoiada (apoio fixo em A, apoio móvel em B) suporta uma carga linearmente variável que decresce de 10 kN/m em A até zero em B. Uma carga concentrada P também atua a 1,5 m de A. Encontre a reação vertical de apoio R_B.

L = 5 mw₀ = 10 kN/mP = 60 kN em 1,5 m

R_B = kN

4.Reações de apoio em vigasDifícil

A viga simplesmente apoiada tem um apoio fixo em A e um apoio móvel em B. Uma carga P atua a 2 m de A, inclinada a 30° em relação à horizontal, e uma carga vertical Q atua a 5 m de A. Encontre o módulo da força de reação total R_A no apoio fixo A.

L = 8 mP = 40 kN em 2 m, θ = 30°Q = 70 kN em 5 m

R_A = kN

5.Treliça: método dos nósMédia

Exatamente um membro desta treliça não suporta força sob estas cargas. Qual é o membro de força nula? Clique nele no diagrama.

F: 40 kN ↓

1membro AB
2membro BC
3membro CD
4membro DE
5membro FG
6membro GH
7membro AF
8membro HE
9membro BF
10membro CG
11membro DH
12membro BG
13membro DG

6.Treliça: método dos nósDifícil

Exatamente um membro desta treliça não suporta força sob estas cargas. Qual é o membro de força nula? Clique nele no diagrama.

D: 25 kN ↓G: 20 kN ↓H: 15 kN ↓H: 30 kN ←

1membro AB
2membro BC
3membro CD
4membro DE
5membro FG
6membro GH
7membro AF
8membro HE
9membro BF
10membro CG
11membro DH
12membro BG
13membro DG

7.Pórticos e máquinasMédia

No grampo de articulação de joelho mostrado, duas barras iguais AB e BC estão articuladas em B, e cada uma faz 30° com a reta AC. Uma força para baixo de 500 N é aplicada em B. O cursor C pressiona uma peça. Desprezando o atrito e os pesos, encontre a força de aperto horizontal Q.

F = 500 Nθ = 30°

Q = N

8.Pórticos e máquinasDifícil

O pórtico em A mostrado está apoiado em um pino em A e em um rolete em B, a 3 m de distância, com o pino do vértice C a 3,6 m de altura e o tirante horizontal DE a 1 m acima do solo. Uma carga vertical de 12 kN atua na perna AC em K, a 1,125 m (na horizontal) de A. Encontre o módulo da força C que o pino C exerce sobre a perna BC.

P = 12 kNAB = 3 maltura de C = 3,6 maltura de DE = 1 mdistância horizontal de A a K = 1,125 m

C = kN

9.Esforço cortante e momento fletorMédia

A viga simplesmente apoiada suporta um binário no sentido horário M₀ = 25 kN·m em x = 4 m a partir de A, e nenhuma outra carga. Encontre o momento fletor M_x logo à esquerda do binário. Use momentos positivos quando tracionam a face inferior e cortante para cima na face esquerda positivo.

L = 10 mM₀ = 25 kN·m no sentido horário, em 4 m

M_x = kN·m

10.Esforço cortante e momento fletorDifícil

A viga simplesmente apoiada suporta uma carga uniformemente distribuída w em todo o vão e uma carga concentrada P. Encontre o momento fletor máximo M_max na viga.

L = 6 mP = 15 kN em 4 mw = 3 kN/m de 0 a 6 m

M_max = kN·m

11.Centroide e momento de inérciaMédia

Encontre o momento de inércia I_x da seção T em relação ao eixo horizontal x pelo seu centroide.

b_f = 220 mmt_f = 20 mmt_w = 8 mmh_w = 240 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.Centroide e momento de inérciaDifícil

A seção T é usada como viga com a mesa em cima e suporta um momento fletor positivo de 25 kN·m. Encontre o valor da tensão de flexão σ_topo na borda superior.

b_f = 240 mmt_f = 10 mmt_w = 20 mmh_w = 220 mmM = 25 kN·m

σ_topo = MPa

3Soluções

1.Vetores: produto escalar e vetorial

Resposta: k = −10

Dot product: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.

Produto escalar igual a zero

a·b = (−5)·6 + (−1)·k + 4·5 = 0

−10 + (−1)·k = 0

Resolver para k

k = −(−10)/(−1) = −10

Resposta

k = −10

2.Vetores: produto escalar e vetorial

Resposta: n̂_x = −0,8835

Cross product: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is M_O = r × F, with r = A − O.

Produto vetorial

(a × b)_x = a_yb_z − a_zb_y = (−4)·3 − (−4)·5 = 8

(a × b)_y = a_zb_x − a_xb_z = (−4)·3 − (−3)·3 = −3

(a × b)_z = a_xb_y − a_yb_x = (−3)·5 − (−4)·3 = −3

Normalize

A componente z de a × b é negativa, então use −(a × b).

|a × b| = √(8² + (−3)² + (−3)²) = 9,055

n̂ = −(8, −3, −3)/9,055 = (−0,8835, 0,3313, 0,3313)

n̂_x = −0,8835

Resposta

n̂_x = −0,8835

3.Reações de apoio em vigas

Resposta: R_B = 26,33 kN

Equilíbrio estático: um corpo em repouso tem ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 e ΣM = 0 em relação a qualquer ponto. Substitua cada carga distribuída pela sua resultante (a sua área) atuando no centroide do diagrama de carga, e tome momentos em relação a um apoio para eliminar a reação desse apoio da equação.

Resultante da carga triangular

W = ½·10·5 = 25 kN

x̄ = L/3 = 1,667 m

Equilíbrio

Momentos em relação a A, positivos no sentido anti-horário. Depois o equilíbrio das forças verticais.

ΣM_A = 0: R_B·5 = 25·1,667 + 60·1,5

R_B = 26,33 kN

R_A = 85 − 26,33 = 58,67 kN

Resposta

R_B = 26,33 kN

4.Reações de apoio em vigas

Resposta: R_A = 53,87 kN

Componentes de P

P_v = 40·sin 30° = 20 kN

P_h = 40·cos 30° = 34,64 kN

Reações

ΣM_A = 0: R_B·8 = 20·2 + 70·5 → R_B = 48,75 kN

A_y = 20 + 70 − 48,75 = 41,25 kN

A_x = P_h = 34,64 kN

Resultante em A

R_A = √(34,64² + 41,25²) = 53,87 kN

Resposta

R_A = 53,87 kN

5.Treliça: método dos nós

Resposta: membro CG

Membros de força nula: em um nó, as forças devem se equilibrar em todas as direções. Se um nó não tem carga nem apoio, e dois de seus três membros estão alinhados, então o equilíbrio na direção perpendicular a essa linha envolve apenas o terceiro membro, e portanto sua força é zero. Se apenas dois membros se encontram em um nó sem carga e não estão alinhados, ambos são nulos.

Nó C

BC e CD estão em uma mesma reta e o nó não tem carga. Equilibrar as forças na direção perpendicular a essa reta deixa apenas CG.

ΣF⊥ = 0 → F_CG = 0

Verifique com o método dos nós

Resolver todos os nós dá estas forças nos membros (T = tração, C = compressão).

AB: 40 kN (T), BC: 26,67 kN (T), CD: 26,67 kN (T), DE: 13,33 kN (T), FG: 40 kN (C), GH: 13,33 kN (C), AF: 50 kN (C), HE: 16,67 kN (C), BF: 10 kN (C), CG: 0, DH: 10 kN (T), BG: 16,67 kN (T), DG: 16,67 kN (C)

Resposta

Membro de força nula: CG

6.Treliça: método dos nós

Resposta: membro CG

Nó C

BC e CD estão em uma mesma reta e o nó não tem carga. Equilibrar as forças na direção perpendicular a essa reta deixa apenas CG.

ΣF⊥ = 0 → F_CG = 0

Verifique com o método dos nós

Resolver todos os nós dá estas forças nos membros (T = tração, C = compressão).

AB: 4,167 kN (T), BC: 38,33 kN (T), CD: 38,33 kN (T), DE: 45,83 kN (T), FG: 34,17 kN (C), GH: 75,83 kN (C), AF: 42,71 kN (C), HE: 57,29 kN (C), BF: 25,63 kN (T), CG: 0, DH: 19,38 kN (T), BG: 42,71 kN (C), DG: 9,375 kN (T)

Resposta

Membro de força nula: CG

7.Pórticos e máquinas

Resposta: Q = 433 N

Máquinas: alicates, alavancas, articulações e grampos transformam uma força de entrada em uma força de saída maior ou de outra direção. Desenhe uma peça como corpo livre e tome momentos em torno do seu pivô: a força no pino sai da equação, e F_in·a = F_out·b dá a vantagem mecânica a/b. A força no pino decorre então de ΣF = 0 na mesma peça. Em uma articulação de joelho, duas barras se encontram em um ângulo raso θ; cada barra é um membro de duas forças, de modo que uma pequena força F na junta cria grandes forças F/(2 sen θ) nas barras e uma força de aperto F/(2 tan θ).

Equilíbrio do pino B

2·F_link·sin 30° = 500

F_link = 500 N

Força de aperto

Q = F_link·cos 30° = 500/(2·tan 30°) = 433 N

Resposta

Q = 433 N

A razão de forças Q/F = 0,866 cresce sem limite à medida que as barras se endireitam.

8.Pórticos e máquinas

Resposta: C = 5,195 kN

Pórticos e máquinas: ao contrário de uma treliça, um pórtico contém pelo menos um membro que suporta forças em mais de dois pontos, ou uma carga entre seus pinos. Procure primeiro os membros de duas forças: um membro carregado apenas em dois pinos tem sua força ao longo da reta que passa por eles, de modo que traz uma incógnita, e não duas. Depois use a estrutura inteira para as reações de apoio quando houver no máximo três incógnitas. Por fim, desmonte o pórtico: desenhe cada membro separadamente, com as forças nos pinos iguais e opostas nos dois membros que eles ligam, e escreva ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 e ΣM = 0 para ele. Tomar momentos em torno de um pino elimina da equação as duas componentes da força desse pino.

Reação de apoio em B

B_y = 12·1,125/3 = 4,5 kN

Força no tirante

T = 4,5·1,5/2,6 = 2,596 kN

Força no pino sobre BC

C_x = 2,596 kN, C_y = −4,5 kN

C = √(2,596² + 4,5²) = 5,195 kN

Resposta

C = 5,195 kN

9.Esforço cortante e momento fletor

Resposta: M_x = −10 kN·m

Método das seções: corte a viga onde você quer os esforços internos e fique com um lado. O esforço cortante V equilibra as forças verticais desse lado, e o momento fletor M equilibra os momentos delas em relação ao corte. Um binário aplicado faz o diagrama de momento fletor saltar do valor do binário.

Reações de apoio

Momentos em relação a A, positivos no sentido anti-horário: R_B·L − M₀ = 0. Equilíbrio vertical: R_A + R_B = 0.

R_B = M₀/L = 25/10 = 2,5 kN (para cima)

R_A = −R_B = −2,5 kN (para baixo)

Corte logo à esquerda do binário

A parte esquerda contém apenas R_A.

M_x = R_A·a = −2,5·4 = −10 kN·m

Resposta

M_x = −10 kN·m

10.Esforço cortante e momento fletor

Resposta: M_max = 32 kN·m

Método das seções: corte a viga onde você quer os esforços internos e fique com um lado. O esforço cortante V equilibra as forças verticais desse lado, e o momento fletor M equilibra os momentos delas em relação ao corte. Momento máximo: como dM/dx = V, o momento fletor atinge seu pico onde o esforço cortante passa por zero, seja em uma carga concentrada, seja dentro de uma carga distribuída.

Reações de apoio

Equilíbrio da viga inteira.

Resultante da carga distribuída: W = w·ℓ = 3·6 = 18 kN, atuando em x̄ = 3 m

ΣM_A = 0: R_B·6 = 15·4 + 3·6·3

R_B = 114/6 = 19 kN

ΣF_y = 0: R_A = 33 − 19 = 14 kN

Onde V = 0?

V(4⁻) = R_A − w·4 = 2 kN

V(4⁺) = 2 − 15 = −13 kN

O cortante muda de sinal na carga, então o máximo fica sob a carga.

Momento máximo

M_max = R_A·4 − w·4²/2 = 14·4 − 3·4²/2 = 32 kN·m

Resposta

M_max = 32 kN·m

Ele ocorre em x = 4 m a partir de A.

11.Centroide e momento de inércia

Resposta: I_x = 31,95 × 10⁶ mm⁴

Áreas compostas: divida a seção em retângulos. O centroide é a média ponderada pelas áreas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. O momento de inércia em relação ao eixo centroidal soma o bh³/12 próprio de cada parte e seu termo de eixos paralelos A·d², onde d é a distância do centroide da parte ao centroide geral. A tensão de flexão é σ = M·y/I.

Divida em dois retângulos

Meça todo y a partir da borda inferior.

mesa: A_f = 220·20 = 4400 mm², y_f = 240 + 20/2 = 250 mm

alma: A_w = 8·240 = 1920 mm², y_w = 240/2 = 120 mm

Centroide

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (4400·250 + 1920·120)/6320 = 210,5 mm

Teorema dos eixos paralelos

mesa: 220·20³/12 + 4400·(250 − 210,5)² = 7,01 × 10⁶ mm⁴

alma: 8·240³/12 + 1920·(120 − 210,5)² = 2,494 × 10⁷ mm⁴

I_x = 7,01 × 10⁶ + 2,494 × 10⁷ = 3,195 × 10⁷ mm⁴ = 31,95 × 10⁶ mm⁴

Resposta

I_x = 31,95 × 10⁶ mm⁴

12.Centroide e momento de inércia

Resposta: σ_topo = 51,83 MPa

Divida em dois retângulos

Meça todo y a partir da borda inferior.

mesa: A_f = 240·10 = 2400 mm², y_f = 220 + 10/2 = 225 mm

alma: A_w = 20·220 = 4400 mm², y_w = 220/2 = 110 mm

Centroide

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (2400·225 + 4400·110)/6800 = 150,6 mm

Teorema dos eixos paralelos

mesa: 240·10³/12 + 2400·(225 − 150,6)² = 1,331 × 10⁷ mm⁴

alma: 20·220³/12 + 4400·(110 − 150,6)² = 2,5 × 10⁷ mm⁴

I_x = 1,331 × 10⁷ + 2,5 × 10⁷ = 3,83 × 10⁷ mm⁴

Tensão de flexão

A borda superior está a h − ȳ do eixo.

y = 230 − 150,6 = 79,41 mm

σ = M·y/I = 2,5 × 10⁷·79,41/3,83 × 10⁷ = 51,83 MPa

Resposta

σ_topo = 51,83 MPa

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