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1Fórmulas e métodos
Vetores: produto escalar e vetorial
Módulo
|a| = √(ax² + ay² + az²)
Vetor unitário
û = a/|a|
Componentes a partir de um ângulo
Fx = F·cos θ, Fy = F·sin θ
Produto escalar
a·b = axbx + ayby + azbz = |a||b|cos θ
Projeção escalar de a sobre b
a·b/|b|
Trabalho
W = F·d
Produto vetorial
a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx)
Áreas
paralelogramo |a × b|, triângulo ½|a × b|
Momento em relação a O
MO = r × F, r = A − O
Volume de um paralelepípedo
V = |a·(b × c)|
Método
Escreva todo vetor em componentes; para uma força dada por um módulo e um ângulo, use F·cos θ e F·sin θ.
Para comprimentos e direções use o módulo √(x² + y² + z²) e o vetor unitário a/|a|.
Use o produto escalar para ângulos, projeções, perpendicularidade e trabalho: a·b = |a||b|cos θ.
Use o produto vetorial para vetores perpendiculares, áreas e momentos: escreva as três componentes com cuidado, mantendo a ordem a × b.
Reações de apoio em vigas
Equilíbrio
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Carga uniforme
resultante w·L no meio da carga
Momento
M = F·d
Método
Desenhe um diagrama de corpo livre e substitua cada apoio por suas reações.
Substitua cada carga distribuída por uma única força no seu centroide.
Tome momentos em relação a um apoio para encontrar a reação no outro.
Use ΣFy = 0 para encontrar a reação restante e confira com uma segunda equação de momentos.
Treliça: método dos nós
Método dos nós
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
Método das seções
ΣM = 0 about a cut point
Esforço na barra
positivo = tração, negativo = compressão
Método
Encontre as reações de apoio da treliça inteira.
Método dos nós: comece em um nó com no máximo duas forças de barra desconhecidas e use ΣFx = 0 e ΣFy = 0.
Método das seções: corte a barra de que você precisa e tome momentos em relação a um ponto onde as outras barras desconhecidas se encontram.
Suponha tração; uma resposta negativa significa compressão.
Pórticos e máquinas
Equilíbrio de cada membro
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Membro de duas forças
força ao longo da reta que passa pelos seus dois pinos
Força no pino
iguais e opostas nos dois membros que ele liga
Módulo de uma força no pino
F = √(Fx² + Fy²)
Alavanca, alicate, alavanca angular
Fin·a = Fout·b
Articulação de joelho
Flink = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
Carga uniforme
resultante w·L no meio da carga
Método
Desenhe a estrutura inteira e encontre as reações de apoio se houver no máximo três incógnitas.
Identifique os membros de duas forças: carregados apenas em dois pinos, sua força atua ao longo da reta entre os pinos.
Desmonte o pórtico e desenhe cada membro separadamente, com forças nos pinos iguais e opostas onde os membros se encontram.
Para cada membro, tome momentos em torno de um pino com forças desconhecidas e use depois ΣFx = 0 e ΣFy = 0; combine as componentes em um módulo só no final.
Esforço cortante e momento fletor
Cortante e momento
V = ΣF de um lado, M = ΣF·d de um lado
Tensão de flexão
σ = M·y/I
Retângulo
I = bh³/12
Módulo de resistência
W = I/ymax
Viga biapoiada, carga uniforme
Mmax = wL²/8
Método
Encontre as reações de apoio pelo equilíbrio da viga inteira.
Corte a viga na seção de que você precisa e fique com um dos lados.
Esforço cortante: soma das forças verticais daquele lado. Momento fletor: soma dos momentos dessas forças em relação ao corte.
Para o momento máximo, encontre onde o esforço cortante é zero.
Centroide e momento de inércia
Centroide
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
Retângulo
I = bh³/12
Teorema dos eixos paralelos
I = Ic + A·d²
Seção composta
I = Σ(Ic,i + Aidi²)
2Exercícios
1.Vetores: produto escalar e vetorialMédia
Encontre a projeção escalar compb a de a = (−6, 6, −4) sobre b = (−1, −1, −2), isto é, a componente de a na direção de b.
a = (−6, 6, −4)b = (−1, −1, −2)
compb a =
2.Vetores: produto escalar e vetorialDifícil
Uma força F = (−50, 40, −40) N atua no ponto A(−2, 2, 1). As coordenadas estão em metros. Encontre a componente x Mx do momento da força em relação a a origem O(0, 0, 0).
F = (−50, 40, −40) NA(−2, 2, 1) mO(0, 0, 0) m
Mx = N·m
3.Reações de apoio em vigasMédia
A viga tem um apoio fixo em A e um apoio móvel em B, a 7 m de A, e se estende em balanço além de B até a extremidade livre C. Encontre a reação vertical RA, considerando positivo para cima.
AB = 7 mAC = 10 mP1 = 10 kN em 6 mP2 = 45 kN em 10 m
RA = kN
4.Reações de apoio em vigasDifícil
A viga simplesmente apoiada tem um apoio fixo em A e um apoio móvel em B. Uma carga P atua a 1,5 m de A, inclinada a 45° em relação à horizontal, e uma carga vertical Q atua a 3 m de A. Encontre o ângulo α entre a força de reação total no apoio fixo A e a horizontal.
L = 5 mP = 45 kN em 1,5 m, θ = 45°Q = 35 kN em 3 m
α = °
5.Treliça: método dos nósMédia
Use o método dos nós para encontrar a força FAB na barra AB. Dê tração como positiva e compressão como negativa.
vão = 8 maltura = 2 mB está a 1 m de Acarga vertical = 30 kN
FAB = kN
6.Treliça: método dos nósDifícil
Exatamente um membro desta treliça não suporta força sob estas cargas. Qual é o membro de força nula? Clique nele no diagrama.
D: 15 kN ↓G: 15 kN ↓H: 25 kN ←
1membro AB
2membro BC
3membro CD
4membro DE
5membro FG
6membro GH
7membro AF
8membro HE
9membro BF
10membro CG
11membro DH
12membro FC
13membro HC
7.Pórticos e máquinasMédia
O pórtico em A mostrado está apoiado em um pino em A e em um rolete em B, a 2,4 m de distância, com o pino do vértice C a 3 m de altura e o tirante horizontal DE a 1,2 m acima do solo. Uma carga vertical de 5 kN atua na perna AC em K, a 0,9 m (na horizontal) de A. Encontre a tração T no tirante.
P = 5 kNAB = 2,4 maltura de C = 3 maltura de DE = 1,2 mdistância horizontal de A a K = 0,9 m
T = kN
8.Pórticos e máquinasDifícil
Uma lança horizontal uniforme AB de peso 3 kN está articulada a uma parede em A e sustentada por um cabo que vai da sua extremidade B ao ponto C da parede, 3 m acima de A. Uma carga de 10 kN está pendurada em B. Encontre a tração T no cabo.
W = 10 kNWb = 3 kNAB = 2 mAC = 3 m
T = kN
9.Esforço cortante e momento fletorMédia
A viga simplesmente apoiada suporta um binário no sentido horário M0 = 10 kN·m em x = 6 m a partir de A, e nenhuma outra carga. Encontre o momento fletor Mx logo à esquerda do binário. Use momentos positivos quando tracionam a face inferior e cortante para cima na face esquerda positivo.
L = 10 mM0 = 10 kN·m no sentido horário, em 6 m
Mx = kN·m
10.Esforço cortante e momento fletorDifícil
As marcas A a G dividem a viga em seis partes iguais. Em qual marca o momento fletor é maior em valor absoluto, positivo ou negativo? Clique nela no diagrama.
50 kN @ 0 m15 kN @ 6 m8 kN/m, 1–5 m
1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)
11.Centroide e momento de inérciaMédia
Um tubo circular tem diâmetro externo D = 280 mm e diâmetro interno d = 264 mm. Encontre seu raio de giração r em relação ao eixo centroidal horizontal.
D = 280 mmd = 264 mm
r = mm
12.Centroide e momento de inérciaDifícil
Uma placa de 100 mm × 200 mm tem um recorte retangular de 50 mm de largura e 40 mm de altura, centrado na linha de centro vertical, com seu centro a 140 mm acima da base. Encontre o momento de inércia da área Ix em torno do eixo horizontal que passa pelo centroide.
b = 100 mmh = 200 mmrecorte: 50 × 40 mmcentro do furo: y = 140 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
3Soluções
1.Vetores: produto escalar e vetorial
Resposta: compb a = 3,266
Dot product:a·b = axbx + ayby + azbz = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.
Produto escalar
a·b = (−6)·(−1) + 6·(−1) + (−4)·(−2) = 8
Comprimento de b
|b| = √((−1)² + (−1)² + (−2)²) = 2,449
Projeção escalar
compb a = a·b/|b| = 8/2,449 = 3,266
Resposta
compb a = 3,266
2.Vetores: produto escalar e vetorial
Resposta: Mx = −120 N·m
Cross product:a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is MO = r × F, with r = A − O.
Equilíbrio estático: um corpo em repouso tem ΣFx = 0, ΣFy = 0 e ΣM = 0 em relação a qualquer ponto. Substitua cada carga distribuída pela sua resultante (a sua área) atuando no centroide do diagrama de carga, e tome momentos em relação a um apoio para eliminar a reação desse apoio da equação.
Momentos em relação a A
Anti-horário positivo.
ΣMA = 0: RB·7 = 10·6 + 45·10
RB = 510/7 = 72,86 kN
Equilíbrio vertical
RA = 10 + 45 − 72,86 = −17,86 kN
Resposta
RA = −17,86 kN
RA é negativa: o apoio fixo em A precisa segurar a viga para baixo.
4.Reações de apoio em vigas
Resposta: α = 48,74 °
Equilíbrio estático: um corpo em repouso tem ΣFx = 0, ΣFy = 0 e ΣM = 0 em relação a qualquer ponto. Substitua cada carga distribuída pela sua resultante (a sua área) atuando no centroide do diagrama de carga, e tome momentos em relação a um apoio para eliminar a reação desse apoio da equação.
Componentes de P
Pv = 45·sin 45° = 31,82 kN
Ph = 45·cos 45° = 31,82 kN
Reações
ΣMA = 0: RB·5 = 31,82·1,5 + 35·3 → RB = 30,55 kN
Ay = 31,82 + 35 − 30,55 = 36,27 kN
Ax = Ph = 31,82 kN
Direção em A
α = atan(Ay/Ax) = atan(36,27/31,82) = 48,74°
Resposta
α = 48,74°
5.Treliça: método dos nós
Resposta: FAB = −29,35 kN
Método dos nós: cada nó de uma treliça está em equilíbrio, então ΣFx = 0 e ΣFy = 0 em cada nó. Comece por um nó com no máximo duas forças de barra desconhecidas. Um resultado negativo significa que a barra está comprimida.
Reações de apoio
Equilíbrio da treliça inteira. Momentos em relação a A, positivos no sentido anti-horário.
ΣMA = 0: Cy·8 = 30·1 → Cy = 3,75 kN
ΣFy = 0: Ay = 30 − 3,75 = 26,25 kN
Nó A
Suponha que toda barra está tracionada (puxando para fora do nó). Só AB tem componente vertical em A.
sin α = 2/2,236 = 0,8944
ΣFy = 0: Ay + FAB·sin α = 0
FAB = −26,25/0,8944 = −29,35 kN
Resposta
FAB = −29,35 kN (compressão)
6.Treliça: método dos nós
Resposta: membro BF
Membros de força nula: em um nó, as forças devem se equilibrar em todas as direções. Se um nó não tem carga nem apoio, e dois de seus três membros estão alinhados, então o equilíbrio na direção perpendicular a essa linha envolve apenas o terceiro membro, e portanto sua força é zero. Se apenas dois membros se encontram em um nó sem carga e não estão alinhados, ambos são nulos.
Nó B
AB e BC estão em uma mesma reta e o nó não tem carga. Equilibrar as forças na direção perpendicular a essa reta deixa apenas BF.
ΣF⊥ = 0 → FBF = 0
Verifique com o método dos nós
Resolver todos os nós dá estas forças nos membros (T = tração, C = compressão).
Pórticos e máquinas: ao contrário de uma treliça, um pórtico contém pelo menos um membro que suporta forças em mais de dois pontos, ou uma carga entre seus pinos. Procure primeiro os membros de duas forças: um membro carregado apenas em dois pinos tem sua força ao longo da reta que passa por eles, de modo que traz uma incógnita, e não duas. Depois use a estrutura inteira para as reações de apoio quando houver no máximo três incógnitas. Por fim, desmonte o pórtico: desenhe cada membro separadamente, com as forças nos pinos iguais e opostas nos dois membros que eles ligam, e escreva ΣFx = 0, ΣFy = 0 e ΣM = 0 para ele. Tomar momentos em torno de um pino elimina da equação as duas componentes da força desse pino.
Pórtico inteiro: momentos em torno de A
By = 5·0,9/2,4 = 1,875 kN
Perna BC: momentos em torno de C
1,875·1,2 = T·1,8
T = 1,25 kN
Resposta
T = 1,25 kN
8.Pórticos e máquinas
Resposta: T = 13,82 kN
Pórticos e máquinas: ao contrário de uma treliça, um pórtico contém pelo menos um membro que suporta forças em mais de dois pontos, ou uma carga entre seus pinos. Procure primeiro os membros de duas forças: um membro carregado apenas em dois pinos tem sua força ao longo da reta que passa por eles, de modo que traz uma incógnita, e não duas. Depois use a estrutura inteira para as reações de apoio quando houver no máximo três incógnitas. Por fim, desmonte o pórtico: desenhe cada membro separadamente, com as forças nos pinos iguais e opostas nos dois membros que eles ligam, e escreva ΣFx = 0, ΣFy = 0 e ΣM = 0 para ele. Tomar momentos em torno de um pino elimina da equação as duas componentes da força desse pino.
Ângulo do cabo
BC = √(2² + 3²) = 3,606 m, sin β = 0,8321
Momentos em relação a A
T·0,8321·2 = 10·2 + 3·1
T = 13,82 kN
Resposta
T = 13,82 kN
9.Esforço cortante e momento fletor
Resposta: Mx = −6 kN·m
Método das seções: corte a viga onde você quer os esforços internos e fique com um lado. O esforço cortante V equilibra as forças verticais desse lado, e o momento fletor M equilibra os momentos delas em relação ao corte. Um binário aplicado faz o diagrama de momento fletor saltar do valor do binário.
Reações de apoio
Momentos em relação a A, positivos no sentido anti-horário: RB·L − M0 = 0. Equilíbrio vertical: RA + RB = 0.
RB = M0/L = 10/10 = 1 kN (para cima)
RA = −RB = −1 kN (para baixo)
Corte logo à esquerda do binário
A parte esquerda contém apenas RA.
Mx = RA·a = −1·6 = −6 kN·m
Resposta
Mx = −6 kN·m
10.Esforço cortante e momento fletor
Resposta: B (x = 1 m)
Maior momento fletor: M muda de inclinação onde quer que a força cortante mude, então seus picos ficam onde a força cortante cruza o zero: sob uma carga pontual, dentro de uma carga distribuída ou sobre um apoio de um balanço. No engaste de uma viga em balanço, o momento é maior na parede. Compare o tamanho de M nesses lugares, positivo ou negativo.
Reações de apoio
Tome momentos em torno de um apoio e depois use o equilíbrio das forças verticais.
R1 = 74,75 kN, R2 = 22,25 kN
Momento fletor em cada marca
Some os momentos de todas as forças de um lado do corte. O momento que traciona embaixo é positivo, o que traciona em cima é negativo.
MA = 0, MB = −50 kN·m, MC = −29,25, MD = −16,5, ME = −11,75, MF = −15, MG = 0
Resposta
Marca B: MB = −50 kN·m
11.Centroide e momento de inércia
Resposta: r = 96,21 mm
Momento de inércia de área: para um retângulo em relação ao seu próprio eixo centroidal I = bh³/12, e em relação à sua base bh³/3 (teorema dos eixos paralelos I = Ic + A·d²). Um furo é tratado subtraindo seu I, desde que as duas partes usem o mesmo eixo. O módulo de resistência elástico é S = I/c, onde c é a distância até a fibra mais afastada. O raio de giração r = √(I/A) é a distância na qual toda a área daria o mesmo I; ele é usado na flambagem de pilares.
Área e momento de inércia líquidos
A = π(D² − d²)/4 = 6836 mm²
I = π(D⁴ − d⁴)/64 = 6,327 × 10⁷ mm⁴
Raio de giração
r = √(I/A) = √(6,327 × 10⁷/6836) = 96,21 mm
Resposta
r = 96,21 mm
12.Centroide e momento de inércia
Resposta: Ix = 62,84 × 10⁶ mm⁴
Seções com furos: trate um furo como uma área negativa. O centroide é ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), com A₁, y₁ para a placa inteira e A₂, y₂ para o furo. Para o momento de inércia da área (segundo momento de área) em torno do eixo que passa pelo centroide, use o teorema dos eixos paralelos para cada parte e subtraia o furo: I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²), em que d é a distância do centroide próprio de cada parte ao eixo que passa por ȳ. Um retângulo tem Ic = bh³/12 e um círculo Ic = πd⁴/64.
Centroide
ȳ = (20000·100 − 2000·140)/(20000 − 2000) = 95,56 mm