Estática: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 12 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Vetores: produto escalar e vetorial

Módulo: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
Vetor unitário: û = a/|a|
Componentes a partir de um ângulo: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
Produto escalar: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
Projeção escalar de a sobre b: a·b/|b|
Trabalho: W = F·d
Produto vetorial: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
Áreas: paralelogramo |a × b|, triângulo ½|a × b|
Momento em relação a O: M_O = r × F, r = A − O
Volume de um paralelepípedo: V = |a·(b × c)|

Método

Escreva todo vetor em componentes; para uma força dada por um módulo e um ângulo, use F·cos θ e F·sin θ.
Para comprimentos e direções use o módulo √(x² + y² + z²) e o vetor unitário a/|a|.
Use o produto escalar para ângulos, projeções, perpendicularidade e trabalho: a·b = |a||b|cos θ.
Use o produto vetorial para vetores perpendiculares, áreas e momentos: escreva as três componentes com cuidado, mantendo a ordem a × b.

Reações de apoio em vigas

Equilíbrio: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Carga uniforme: resultante w·L no meio da carga
Momento: M = F·d

Método

Desenhe um diagrama de corpo livre e substitua cada apoio por suas reações.
Substitua cada carga distribuída por uma única força no seu centroide.
Tome momentos em relação a um apoio para encontrar a reação no outro.
Use ΣF_y = 0 para encontrar a reação restante e confira com uma segunda equação de momentos.

Treliça: método dos nós

Método dos nós: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Método das seções: ΣM = 0 about a cut point
Esforço na barra: positivo = tração, negativo = compressão

Método

Encontre as reações de apoio da treliça inteira.
Método dos nós: comece em um nó com no máximo duas forças de barra desconhecidas e use ΣF_x = 0 e ΣF_y = 0.
Método das seções: corte a barra de que você precisa e tome momentos em relação a um ponto onde as outras barras desconhecidas se encontram.
Suponha tração; uma resposta negativa significa compressão.

Pórticos e máquinas

Equilíbrio de cada membro: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Membro de duas forças: força ao longo da reta que passa pelos seus dois pinos
Força no pino: iguais e opostas nos dois membros que ele liga
Módulo de uma força no pino: F = √(F_x² + F_y²)
Alavanca, alicate, alavanca angular: F_in·a = F_out·b
Articulação de joelho: F_link = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
Carga uniforme: resultante w·L no meio da carga

Método

Desenhe a estrutura inteira e encontre as reações de apoio se houver no máximo três incógnitas.
Identifique os membros de duas forças: carregados apenas em dois pinos, sua força atua ao longo da reta entre os pinos.
Desmonte o pórtico e desenhe cada membro separadamente, com forças nos pinos iguais e opostas onde os membros se encontram.
Para cada membro, tome momentos em torno de um pino com forças desconhecidas e use depois ΣF_x = 0 e ΣF_y = 0; combine as componentes em um módulo só no final.

Esforço cortante e momento fletor

Cortante e momento: V = ΣF de um lado, M = ΣF·d de um lado
Tensão de flexão: σ = M·y/I
Retângulo: I = bh³/12
Módulo de resistência: W = I/y_max
Viga biapoiada, carga uniforme: M_max = wL²/8

Método

Encontre as reações de apoio pelo equilíbrio da viga inteira.
Corte a viga na seção de que você precisa e fique com um dos lados.
Esforço cortante: soma das forças verticais daquele lado. Momento fletor: soma dos momentos dessas forças em relação ao corte.
Para o momento máximo, encontre onde o esforço cortante é zero.

Centroide e momento de inércia

Centroide: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Retângulo: I = bh³/12
Teorema dos eixos paralelos: I = I_c + A·d²
Seção composta: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

2Exercícios

1.Vetores: produto escalar e vetorialMédia

Uma força constante F = (0, 25, −10) N atua sobre um objeto enquanto ele se move em linha reta do ponto A(−3, 1, −4) ao ponto B(−3, −5, 4). As coordenadas estão em metros. Encontre o trabalho W realizado pela força.

F = (0, 25, −10) NA(−3, 1, −4) mB(−3, −5, 4) m

W = J

2.Vetores: produto escalar e vetorialDifícil

Encontre a área A do paralelogramo formado por a = (−5, −2, 4) e b = (−4, 2, −4).

a = (−5, −2, 4)b = (−4, 2, −4)

A =

3.Reações de apoio em vigasMédia

A viga em balanço está engastada na parede em A. Ela suporta uma carga uniformemente distribuída w da parede até 3 m e uma carga concentrada P a 3,5 m da parede. Encontre o módulo do momento de reação M_A na parede.

L = 4 mP = 35 kN em 3,5 mw = 6 kN/m de 0 a 3 m

M_A = kN·m

4.Reações de apoio em vigasDifícil

Uma viga composta está engastada na parede em A, tem uma rótula interna em C (a 2 m de A) e se apoia em um apoio móvel em D (a 6 m de A). Ela suporta uma carga concentrada P a 2,5 m de A. Encontre a reação R_D no apoio móvel.

AC = 2 mAD = 6 mP = 15 kN em 2,5 m

R_D = kN

5.Treliça: método dos nósMédia

Use o método dos nós para encontrar a força F_BC na barra BC. Dê tração como positiva e compressão como negativa.

vão = 4 maltura = 2 mB está a 1 m de Acarga vertical = 45 kN

F_BC = kN

6.Treliça: método dos nósDifícil

Use o método dos nós para encontrar a força F_BC na barra BC. Dê tração como positiva e compressão como negativa.

vão = 8 maltura = 4 mB está a 3 m de Acarga vertical = 30 kNcarga horizontal = 15 kN →

F_BC = kN

7.Pórticos e máquinasMédia

Uma viga horizontal AB está articulada a uma parede em A e escorada pela escora CD, articulada à parede em C, 1 m abaixo de A. Uma carga de 4 kN está pendurada em B. Despreze os pesos. Encontre o módulo da força A no pino sobre a viga em A.

P = 4 kNAD = 0,75 mAB = 2,5 mAC = 1 m

A = kN

8.Pórticos e máquinasDifícil

Uma lança horizontal uniforme AB de peso 1 kN está articulada a uma parede em A e sustentada por um cabo de B ao ponto C da parede, 1,5 m acima de A. Uma carga de 12 kN está pendurada em B. Encontre o módulo da reação no pino A.

W = 12 kNW_b = 1 kNAB = 2 mAC = 1,5 m

A = kN

9.Esforço cortante e momento fletorMédia

A viga em balanço está engastada em A. Ela suporta uma carga uniformemente distribuída w em todo o comprimento e uma carga concentrada P a 3,5 m de A. Encontre o momento fletor M_A no engaste A. Use momentos positivos quando tracionam a face inferior e cortante para cima na face esquerda positivo.

L = 4 mP = 25 kN em 3,5 mw = 10 kN/m de 0 a 4 m

M_A = kN·m

10.Esforço cortante e momento fletorDifícil

A viga simplesmente apoiada suporta uma carga uniformemente distribuída w em todo o vão e uma carga concentrada P. Encontre o momento fletor máximo M_max na viga.

L = 4 mP = 15 kN em 2,5 mw = 2 kN/m de 0 a 4 m

M_max = kN·m

11.Centroide e momento de inérciaMédia

Encontre o momento de inércia I_x da seção T em relação ao eixo horizontal x pelo seu centroide.

b_f = 200 mmt_f = 30 mmt_w = 20 mmh_w = 180 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.Centroide e momento de inérciaDifícil

Um perfil I soldado tem mesa superior de 170 × 16 mm, alma de 290 mm de altura e 16 mm de espessura, e mesa inferior de 280 × 12 mm (largura × espessura). Encontre seu momento de inércia I_x em relação ao eixo horizontal x que passa pelo centroide.

mesa superior: 170 × 16 mmalma: 16 × 290 mmmesa inferior: 280 × 12 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

3Soluções

1.Vetores: produto escalar e vetorial

Resposta: W = −230 J

Dot product: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.

Deslocamento

d = B − A = (−3, −5, 4) − (−3, 1, −4) = (0, −6, 8) m

Trabalho

W = F·d = 0·0 + 25·(−6) + (−10)·8 = −230 J

Resposta

W = −230 J

Trabalho negativo: a força atua principalmente contra o movimento.

2.Vetores: produto escalar e vetorial

Resposta: A = 40,25

Cross product: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is M_O = r × F, with r = A − O.

Produto vetorial

(a × b)_x = a_yb_z − a_zb_y = (−2)·(−4) − 4·2 = 0

(a × b)_y = a_zb_x − a_xb_z = 4·(−4) − (−5)·(−4) = −36

(a × b)_z = a_xb_y − a_yb_x = (−5)·2 − (−2)·(−4) = −18

Área

A = |a × b| = √(0² + (−36)² + (−18)²) = 40,25

Resposta

A = 40,25

3.Reações de apoio em vigas

Resposta: M_A = 149,5 kN·m

Equilíbrio de balanços: um engaste pode empurrar para cima e também impedir a rotação, então dá uma reação vertical R_A e um momento de reação M_A. ΣF_y = 0 dá R_A, e os momentos em relação à parede dão M_A = Σ(carga × distância até a parede). Uma carga distribuída atua como sua resultante no centroide do diagrama de carga.

Resultante da carga distribuída

W = 6·3 = 18 kN, x̄ = 1,5 m

Momento em relação à parede

M_A = P·a + W·x̄ = 35·3,5 + 18·1,5 = 149,5 kN·m

Resposta

M_A = 149,5 kN·m

4.Reações de apoio em vigas

Resposta: R_D = 1,875 kN

Equilíbrio estático: um corpo em repouso tem ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 e ΣM = 0 em relação a qualquer ponto. Substitua cada carga distribuída pela sua resultante (a sua área) atuando no centroide do diagrama de carga, e tome momentos em relação a um apoio para eliminar a reação desse apoio da equação. Uma rótula interna não pode transmitir momento fletor, o que dá uma equação adicional: o momento em relação à rótula das forças de qualquer um dos lados é zero.

Trecho CD

A rótula não tem momento, então os momentos em relação a C só no trecho CD devem se equilibrar.

ΣM_C = 0: R_D·4 = 15·0,5

R_D = 1,875 kN

V_C = 15 − 1,875 = 13,13 kN

Resposta

R_D = 1,875 kN

5.Treliça: método dos nós

Resposta: F_BC = −20,28 kN

Método dos nós: cada nó de uma treliça está em equilíbrio, então ΣF_x = 0 e ΣF_y = 0 em cada nó. Comece por um nó com no máximo duas forças de barra desconhecidas. Um resultado negativo significa que a barra está comprimida.

Reações de apoio

Equilíbrio da treliça inteira. Momentos em relação a A, positivos no sentido anti-horário.

ΣM_A = 0: C_y·4 = 45·1 → C_y = 11,25 kN

ΣF_y = 0: A_y = 45 − 11,25 = 33,75 kN

Nó C

O apoio móvel dá apenas uma reação vertical, então o nó C tem só duas forças de barra desconhecidas. Suponha ambas tracionadas.

sin γ = 2/3,606 = 0,5547, cos γ = 3/3,606 = 0,8321

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −11,25/0,5547 = −20,28 kN

Resposta

F_BC = −20,28 kN (compressão)

6.Treliça: método dos nós

Resposta: F_BC = −30,01 kN

Reações de apoio

Equilíbrio da treliça inteira. Momentos em relação a A, positivos no sentido anti-horário.

ΣM_A = 0: C_y·8 = 30·3 + 15·4 → C_y = 18,75 kN

ΣF_y = 0: A_y = 30 − 18,75 = 11,25 kN

ΣF_x = 0: A_x = −15 kN

Nó C

O apoio móvel dá apenas uma reação vertical, então o nó C tem só duas forças de barra desconhecidas. Suponha ambas tracionadas.

sin γ = 4/6,403 = 0,6247, cos γ = 5/6,403 = 0,7809

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −18,75/0,6247 = −30,01 kN

Resposta

F_BC = −30,01 kN (compressão)

7.Pórticos e máquinas

Resposta: A = 13,68 kN

Pórticos e máquinas: ao contrário de uma treliça, um pórtico contém pelo menos um membro que suporta forças em mais de dois pontos, ou uma carga entre seus pinos. Procure primeiro os membros de duas forças: um membro carregado apenas em dois pinos tem sua força ao longo da reta que passa por eles, de modo que traz uma incógnita, e não duas. Depois use a estrutura inteira para as reações de apoio quando houver no máximo três incógnitas. Por fim, desmonte o pórtico: desenhe cada membro separadamente, com as forças nos pinos iguais e opostas nos dois membros que eles ligam, e escreva ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 e ΣM = 0 para ele. Tomar momentos em torno de um pino elimina da equação as duas componentes da força desse pino.

Força na escora

F_CD = 4·2,5/(0,8·0,75) = 16,67 kN

Componentes em A

A_x = F_CD·cos α = 10 kN (em direção à parede)

A_y = 4 − F_CD·sin α = −9,333 kN

Módulo

A = √(10² + −9,333²) = 13,68 kN

Resposta

A = 13,68 kN

Um A_y negativo significa que a parede puxa a viga para baixo em A.

8.Pórticos e máquinas

Resposta: A = 16,67 kN

Tração no cabo

T = (12 + 1/2)/0,6 = 20,83 kN

Componentes em A

A_x = T·cos β = 16,67 kN

A_y = 12 + 1 − T·sin β = 0,5 kN

Módulo

A = √(16,67² + 0,5²) = 16,67 kN

Resposta

A = 16,67 kN

9.Esforço cortante e momento fletor

Resposta: M_A = −167,5 kN·m

Fique com a parte da extremidade livre

P: −25·3,5 = −87,5 kN·m

w: −10·4²/2 = −80 kN·m

M_A = −87,5 − 80 = −167,5 kN·m

Resposta

M_A = −167,5 kN·m

Negativo significa tração na face superior.

10.Esforço cortante e momento fletor

Resposta: M_max = 17,81 kN·m

Método das seções: corte a viga onde você quer os esforços internos e fique com um lado. O esforço cortante V equilibra as forças verticais desse lado, e o momento fletor M equilibra os momentos delas em relação ao corte. Momento máximo: como dM/dx = V, o momento fletor atinge seu pico onde o esforço cortante passa por zero, seja em uma carga concentrada, seja dentro de uma carga distribuída.

Reações de apoio

Equilíbrio da viga inteira.

Resultante da carga distribuída: W = w·ℓ = 2·4 = 8 kN, atuando em x̄ = 2 m

ΣM_A = 0: R_B·4 = 15·2,5 + 2·4·2

R_B = 53,5/4 = 13,38 kN

ΣF_y = 0: R_A = 23 − 13,38 = 9,625 kN

Onde V = 0?

V(2,5⁻) = R_A − w·2,5 = 4,625 kN

V(2,5⁺) = 4,625 − 15 = −10,38 kN

O cortante muda de sinal na carga, então o máximo fica sob a carga.

Momento máximo

M_max = R_A·2,5 − w·2,5²/2 = 9,625·2,5 − 2·2,5²/2 = 17,81 kN·m

Resposta

M_max = 17,81 kN·m

Ele ocorre em x = 2,5 m a partir de A.

11.Centroide e momento de inércia

Resposta: I_x = 34,98 × 10⁶ mm⁴

Áreas compostas: divida a seção em retângulos. O centroide é a média ponderada pelas áreas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. O momento de inércia em relação ao eixo centroidal soma o bh³/12 próprio de cada parte e seu termo de eixos paralelos A·d², onde d é a distância do centroide da parte ao centroide geral. A tensão de flexão é σ = M·y/I.

Divida em dois retângulos

Meça todo y a partir da borda inferior.

mesa: A_f = 200·30 = 6000 mm², y_f = 180 + 30/2 = 195 mm

alma: A_w = 20·180 = 3600 mm², y_w = 180/2 = 90 mm

Centroide

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (6000·195 + 3600·90)/9600 = 155,6 mm

Teorema dos eixos paralelos

mesa: 200·30³/12 + 6000·(195 − 155,6)² = 9,752 × 10⁶ mm⁴

alma: 20·180³/12 + 3600·(90 − 155,6)² = 2,522 × 10⁷ mm⁴

I_x = 9,752 × 10⁶ + 2,522 × 10⁷ = 3,498 × 10⁷ mm⁴ = 34,98 × 10⁶ mm⁴

Resposta

I_x = 34,98 × 10⁶ mm⁴

12.Centroide e momento de inércia

Resposta: I_x = 172,1 × 10⁶ mm⁴

Divida em três retângulos

Meça todo y a partir da borda inferior.

mesa superior: A = 2720 mm², y = 310 mm

alma: A = 4640 mm², y = 157 mm

mesa inferior: A = 3360 mm², y = 6 mm

Centroide

ȳ = (2720·310 + 4640·157 + 3360·6)/10720 = 148,5 mm

Teorema dos eixos paralelos

mesa superior: 170·16³/12 + 2720·161,5² = 7,101 × 10⁷ mm⁴

alma: 16·290³/12 + 4640·8,507² = 3,285 × 10⁷ mm⁴

mesa inferior: 280·12³/12 + 3360·142,5² = 6,826 × 10⁷ mm⁴

I_x = 7,101 × 10⁷ + 3,285 × 10⁷ + 6,826 × 10⁷

I_x = 1,721 × 10⁸ mm⁴ = 172,1 × 10⁶ mm⁴

Resposta

I_x = 172,1 × 10⁶ mm⁴

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