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1Fórmulas e métodos
Vetores: produto escalar e vetorial
Módulo
|a| = √(ax² + ay² + az²)
Vetor unitário
û = a/|a|
Componentes a partir de um ângulo
Fx = F·cos θ, Fy = F·sin θ
Produto escalar
a·b = axbx + ayby + azbz = |a||b|cos θ
Projeção escalar de a sobre b
a·b/|b|
Trabalho
W = F·d
Produto vetorial
a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx)
Áreas
paralelogramo |a × b|, triângulo ½|a × b|
Momento em relação a O
MO = r × F, r = A − O
Volume de um paralelepípedo
V = |a·(b × c)|
Método
Escreva todo vetor em componentes; para uma força dada por um módulo e um ângulo, use F·cos θ e F·sin θ.
Para comprimentos e direções use o módulo √(x² + y² + z²) e o vetor unitário a/|a|.
Use o produto escalar para ângulos, projeções, perpendicularidade e trabalho: a·b = |a||b|cos θ.
Use o produto vetorial para vetores perpendiculares, áreas e momentos: escreva as três componentes com cuidado, mantendo a ordem a × b.
Reações de apoio em vigas
Equilíbrio
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Carga uniforme
resultante w·L no meio da carga
Momento
M = F·d
Método
Desenhe um diagrama de corpo livre e substitua cada apoio por suas reações.
Substitua cada carga distribuída por uma única força no seu centroide.
Tome momentos em relação a um apoio para encontrar a reação no outro.
Use ΣFy = 0 para encontrar a reação restante e confira com uma segunda equação de momentos.
Treliça: método dos nós
Método dos nós
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
Método das seções
ΣM = 0 about a cut point
Esforço na barra
positivo = tração, negativo = compressão
Método
Encontre as reações de apoio da treliça inteira.
Método dos nós: comece em um nó com no máximo duas forças de barra desconhecidas e use ΣFx = 0 e ΣFy = 0.
Método das seções: corte a barra de que você precisa e tome momentos em relação a um ponto onde as outras barras desconhecidas se encontram.
Suponha tração; uma resposta negativa significa compressão.
Pórticos e máquinas
Equilíbrio de cada membro
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Membro de duas forças
força ao longo da reta que passa pelos seus dois pinos
Força no pino
iguais e opostas nos dois membros que ele liga
Módulo de uma força no pino
F = √(Fx² + Fy²)
Alavanca, alicate, alavanca angular
Fin·a = Fout·b
Articulação de joelho
Flink = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
Carga uniforme
resultante w·L no meio da carga
Método
Desenhe a estrutura inteira e encontre as reações de apoio se houver no máximo três incógnitas.
Identifique os membros de duas forças: carregados apenas em dois pinos, sua força atua ao longo da reta entre os pinos.
Desmonte o pórtico e desenhe cada membro separadamente, com forças nos pinos iguais e opostas onde os membros se encontram.
Para cada membro, tome momentos em torno de um pino com forças desconhecidas e use depois ΣFx = 0 e ΣFy = 0; combine as componentes em um módulo só no final.
Esforço cortante e momento fletor
Cortante e momento
V = ΣF de um lado, M = ΣF·d de um lado
Tensão de flexão
σ = M·y/I
Retângulo
I = bh³/12
Módulo de resistência
W = I/ymax
Viga biapoiada, carga uniforme
Mmax = wL²/8
Método
Encontre as reações de apoio pelo equilíbrio da viga inteira.
Corte a viga na seção de que você precisa e fique com um dos lados.
Esforço cortante: soma das forças verticais daquele lado. Momento fletor: soma dos momentos dessas forças em relação ao corte.
Para o momento máximo, encontre onde o esforço cortante é zero.
Centroide e momento de inércia
Centroide
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
Retângulo
I = bh³/12
Teorema dos eixos paralelos
I = Ic + A·d²
Seção composta
I = Σ(Ic,i + Aidi²)
2Exercícios
1.Vetores: produto escalar e vetorialMédia
Encontre o produto escalar a·b de a = (−5, −2, −3) e b = (5, 4, 7).
a = (−5, −2, −3)b = (5, 4, 7)
a·b =
2.Vetores: produto escalar e vetorialDifícil
O vetor unitário n̂ é perpendicular a a = (−2, 3, 3) e a b = (−3, 5, 0) e tem componente z positiva. Encontre sua componente y n̂y.
a = (−2, 3, 3)b = (−3, 5, 0)n̂z > 0
n̂y =
3.Reações de apoio em vigasMédia
A viga simplesmente apoiada tem um apoio fixo em A e um apoio móvel em B. Ela suporta uma carga concentrada P a 2 m de A e um binário anti-horário M a 1,5 m de A. Encontre a reação vertical RB, considerando positivo para cima.
L = 4 mP = 50 kN em 2 mM = 10 kN·m (anti-horário) em 1,5 m
RB = kN
4.Reações de apoio em vigasDifícil
A viga simplesmente apoiada tem um apoio fixo em A e um apoio móvel em B. Uma carga P atua a 5 m de A, inclinada a 45° em relação à horizontal, e uma carga vertical Q atua a 7 m de A. Encontre o módulo da força de reação total RA no apoio fixo A.
L = 8 mP = 75 kN em 5 m, θ = 45°Q = 30 kN em 7 m
RA = kN
5.Treliça: método dos nósMédia
Exatamente um membro desta treliça não suporta força sob estas cargas. Qual é o membro de força nula? Clique nele no diagrama.
B: 30 kN ↓D: 35 kN ↓F: 20 kN ↓H: 10 kN ↓
1membro AB
2membro BC
3membro CD
4membro DE
5membro FG
6membro GH
7membro AF
8membro HE
9membro BF
10membro CG
11membro DH
12membro FC
13membro HC
6.Treliça: método dos nósDifícil
Exatamente um membro desta treliça não suporta força sob estas cargas. Qual é o membro de força nula? Clique nele no diagrama.
B: 30 kN ↓G: 10 kN ↓H: 30 kN ↓H: 20 kN ←
1membro AB
2membro BC
3membro CD
4membro DE
5membro FG
6membro GH
7membro AF
8membro HE
9membro BF
10membro CG
11membro DH
12membro BG
13membro DG
7.Pórticos e máquinasMédia
No grampo de articulação de joelho mostrado, duas barras iguais AB e BC estão articuladas em B, e cada uma faz 30° com a reta AC. Uma força para baixo de 400 N é aplicada em B. O cursor C pressiona uma peça. Desprezando o atrito e os pesos, encontre a força de aperto horizontal Q.
F = 400 Nθ = 30°
Q = N
8.Pórticos e máquinasDifícil
Uma prensa de articulação de joelho tem duas barras iguais AB e BC, cada uma com 100 mm de comprimento entre pinos. A junta B está 5 mm acima da reta AC. Que força para baixo F em B produz uma força de prensagem horizontal de 1500 N no cursor C? Despreze o atrito e os pesos.
Q = 1500 NAB = BC = 100 mmh = 5 mm
F = N
9.Esforço cortante e momento fletorMédia
A viga em balanço está engastada em A. Ela suporta uma carga uniformemente distribuída w em todo o comprimento e uma carga concentrada P a 2 m de A. Encontre o momento fletor MA no engaste A. Use momentos positivos quando tracionam a face inferior e cortante para cima na face esquerda positivo.
L = 5 mP = 50 kN em 2 mw = 12 kN/m de 0 a 5 m
MA = kN·m
10.Esforço cortante e momento fletorDifícil
As marcas A a G dividem a viga em seis partes iguais. Em qual marca o momento fletor é maior em valor absoluto, positivo ou negativo? Clique nela no diagrama.
15 kN @ 6 m10 kN @ 1 m6 kN/m, 0–4 m
1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)
11.Centroide e momento de inérciaMédia
Uma placa de 100 mm × 300 mm tem um furo circular de diâmetro 30 mm na sua linha de centro vertical, com o centro a 195 mm acima da base. Encontre o momento de inércia da área Ix em torno do eixo horizontal que passa pelo centroide.
b = 100 mmh = 300 mmd = 30 mmcentro do furo: y = 195 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
12.Centroide e momento de inérciaDifícil
Uma placa de 120 mm × 240 mm tem um recorte retangular de 30 mm de largura e 20 mm de altura, centrado na linha de centro vertical, com seu centro a 168 mm acima da base. Encontre o momento de inércia da área Ix em torno do eixo horizontal que passa pelo centroide.
b = 120 mmh = 240 mmrecorte: 30 × 20 mmcentro do furo: y = 168 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
3Soluções
1.Vetores: produto escalar e vetorial
Resposta: a·b = −54
Dot product:a·b = axbx + ayby + azbz = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.
Negativo: o ângulo entre os vetores é maior que 90°.
2.Vetores: produto escalar e vetorial
Resposta: n̂y = 0,5137
Cross product:a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is MO = r × F, with r = A − O.
Produto vetorial
(a × b)x = aybz − azby = 3·0 − 3·5 = −15
(a × b)y = azbx − axbz = 3·(−3) − (−2)·0 = −9
(a × b)z = axby − aybx = (−2)·5 − 3·(−3) = −1
Normalize
A componente z de a × b é negativa, então use −(a × b).
Equilíbrio estático: um corpo em repouso tem ΣFx = 0, ΣFy = 0 e ΣM = 0 em relação a qualquer ponto. Substitua cada carga distribuída pela sua resultante (a sua área) atuando no centroide do diagrama de carga, e tome momentos em relação a um apoio para eliminar a reação desse apoio da equação.
Momentos em relação a A
Anti-horário positivo.
ΣMA = 0: RB·4 − 50·2 + 10 = 0
RB = 90/4 = 22,5 kN
Equilíbrio vertical
RA = 50 − 22,5 = 27,5 kN
Resposta
RB = 22,5 kN
Uma reação negativa atua para baixo.
4.Reações de apoio em vigas
Resposta: RA = 58,06 kN
Equilíbrio estático: um corpo em repouso tem ΣFx = 0, ΣFy = 0 e ΣM = 0 em relação a qualquer ponto. Substitua cada carga distribuída pela sua resultante (a sua área) atuando no centroide do diagrama de carga, e tome momentos em relação a um apoio para eliminar a reação desse apoio da equação.
Componentes de P
Pv = 75·sin 45° = 53,03 kN
Ph = 75·cos 45° = 53,03 kN
Reações
ΣMA = 0: RB·8 = 53,03·5 + 30·7 → RB = 59,4 kN
Ay = 53,03 + 30 − 59,4 = 23,64 kN
Ax = Ph = 53,03 kN
Resultante em A
RA = √(53,03² + 23,64²) = 58,06 kN
Resposta
RA = 58,06 kN
5.Treliça: método dos nós
Resposta: membro CG
Membros de força nula: em um nó, as forças devem se equilibrar em todas as direções. Se um nó não tem carga nem apoio, e dois de seus três membros estão alinhados, então o equilíbrio na direção perpendicular a essa linha envolve apenas o terceiro membro, e portanto sua força é zero. Se apenas dois membros se encontram em um nó sem carga e não estão alinhados, ambos são nulos.
Nó G
FG e GH estão em uma mesma reta e o nó não tem carga. Equilibrar as forças na direção perpendicular a essa reta deixa apenas CG.
ΣF⊥ = 0 → FCG = 0
Verifique com o método dos nós
Resolver todos os nós dá estas forças nos membros (T = tração, C = compressão).
Membros de força nula: em um nó, as forças devem se equilibrar em todas as direções. Se um nó não tem carga nem apoio, e dois de seus três membros estão alinhados, então o equilíbrio na direção perpendicular a essa linha envolve apenas o terceiro membro, e portanto sua força é zero. Se apenas dois membros se encontram em um nó sem carga e não estão alinhados, ambos são nulos.
Nó C
BC e CD estão em uma mesma reta e o nó não tem carga. Equilibrar as forças na direção perpendicular a essa reta deixa apenas CG.
ΣF⊥ = 0 → FCG = 0
Verifique com o método dos nós
Resolver todos os nós dá estas forças nos membros (T = tração, C = compressão).
Máquinas: alicates, alavancas, articulações e grampos transformam uma força de entrada em uma força de saída maior ou de outra direção. Desenhe uma peça como corpo livre e tome momentos em torno do seu pivô: a força no pino sai da equação, e Fin·a = Fout·b dá a vantagem mecânica a/b. A força no pino decorre então de ΣF = 0 na mesma peça. Em uma articulação de joelho, duas barras se encontram em um ângulo raso θ; cada barra é um membro de duas forças, de modo que uma pequena força F na junta cria grandes forças F/(2 sen θ) nas barras e uma força de aperto F/(2 tan θ).
Equilíbrio do pino B
2·Flink·sin 30° = 400
Flink = 400 N
Força de aperto
Q = Flink·cos 30° = 400/(2·tan 30°) = 346,4 N
Resposta
Q = 346,4 N
A razão de forças Q/F = 0,866 cresce sem limite à medida que as barras se endireitam.
8.Pórticos e máquinas
Resposta: F = 150,2 N
Máquinas: alicates, alavancas, articulações e grampos transformam uma força de entrada em uma força de saída maior ou de outra direção. Desenhe uma peça como corpo livre e tome momentos em torno do seu pivô: a força no pino sai da equação, e Fin·a = Fout·b dá a vantagem mecânica a/b. A força no pino decorre então de ΣF = 0 na mesma peça. Em uma articulação de joelho, duas barras se encontram em um ângulo raso θ; cada barra é um membro de duas forças, de modo que uma pequena força F na junta cria grandes forças F/(2 sen θ) nas barras e uma força de aperto F/(2 tan θ).
Ângulo da barra
sin θ = 5/100 = 0,05, θ = 2,866°
Força na barra
Flink = Q/cos θ = 1502 N
Força em B
F = 2·Flink·sin θ = 2·1500·tan θ = 150,2 N
Resposta
F = 150,2 N
9.Esforço cortante e momento fletor
Resposta: MA = −250 kN·m
Método das seções: corte a viga onde você quer os esforços internos e fique com um lado. O esforço cortante V equilibra as forças verticais desse lado, e o momento fletor M equilibra os momentos delas em relação ao corte.
Fique com a parte da extremidade livre
P: −50·2 = −100 kN·m
w: −12·5²/2 = −150 kN·m
MA = −100 − 150 = −250 kN·m
Resposta
MA = −250 kN·m
Negativo significa tração na face superior.
10.Esforço cortante e momento fletor
Resposta: E (x = 4 m)
Maior momento fletor: M muda de inclinação onde quer que a força cortante mude, então seus picos ficam onde a força cortante cruza o zero: sob uma carga pontual, dentro de uma carga distribuída ou sobre um apoio de um balanço. No engaste de uma viga em balanço, o momento é maior na parede. Compare o tamanho de M nesses lugares, positivo ou negativo.
Reações de apoio
Tome momentos em torno de um apoio e depois use o equilíbrio das forças verticais.
R1 = 12 kN, R2 = 37 kN
Momento fletor em cada marca
Some os momentos de todas as forças de um lado do corte. O momento que traciona embaixo é positivo, o que traciona em cima é negativo.
MA = 0, MB = 9, MC = 2, MD = −11, ME = −30 kN·m, MF = −15, MG = 0
Resposta
Marca E: ME = −30 kN·m
11.Centroide e momento de inércia
Resposta: Ix = 223,5 × 10⁶ mm⁴
Seções com furos: trate um furo como uma área negativa. O centroide é ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), com A₁, y₁ para a placa inteira e A₂, y₂ para o furo. Para o momento de inércia da área (segundo momento de área) em torno do eixo que passa pelo centroide, use o teorema dos eixos paralelos para cada parte e subtraia o furo: I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²), em que d é a distância do centroide próprio de cada parte ao eixo que passa por ȳ. Um retângulo tem Ic = bh³/12 e um círculo Ic = πd⁴/64.
Centroide
ȳ = (30000·150 − 706,9·195)/(30000 − 706,9) = 148,9 mm
Placa inteira em torno de ȳ
100·300³/12 + 30000·1,086² = 225 × 10⁶ mm⁴
Furo em torno de ȳ
π·30⁴/64 + 706,9·46,09² = 1,541 × 10⁶ mm⁴
Subtraia
Ix = 223,5 × 10⁶ mm⁴
Resposta
Ix = 223,5 × 10⁶ mm⁴
12.Centroide e momento de inércia
Resposta: Ix = 136,8 × 10⁶ mm⁴
Seções com furos: trate um furo como uma área negativa. O centroide é ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), com A₁, y₁ para a placa inteira e A₂, y₂ para o furo. Para o momento de inércia da área (segundo momento de área) em torno do eixo que passa pelo centroide, use o teorema dos eixos paralelos para cada parte e subtraia o furo: I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²), em que d é a distância do centroide próprio de cada parte ao eixo que passa por ȳ. Um retângulo tem Ic = bh³/12 e um círculo Ic = πd⁴/64.