Estática: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 12 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Vetores: produto escalar e vetorial

Módulo: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
Vetor unitário: û = a/|a|
Componentes a partir de um ângulo: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
Produto escalar: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
Projeção escalar de a sobre b: a·b/|b|
Trabalho: W = F·d
Produto vetorial: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
Áreas: paralelogramo |a × b|, triângulo ½|a × b|
Momento em relação a O: M_O = r × F, r = A − O
Volume de um paralelepípedo: V = |a·(b × c)|

Método

Escreva todo vetor em componentes; para uma força dada por um módulo e um ângulo, use F·cos θ e F·sin θ.
Para comprimentos e direções use o módulo √(x² + y² + z²) e o vetor unitário a/|a|.
Use o produto escalar para ângulos, projeções, perpendicularidade e trabalho: a·b = |a||b|cos θ.
Use o produto vetorial para vetores perpendiculares, áreas e momentos: escreva as três componentes com cuidado, mantendo a ordem a × b.

Reações de apoio em vigas

Equilíbrio: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Carga uniforme: resultante w·L no meio da carga
Momento: M = F·d

Método

Desenhe um diagrama de corpo livre e substitua cada apoio por suas reações.
Substitua cada carga distribuída por uma única força no seu centroide.
Tome momentos em relação a um apoio para encontrar a reação no outro.
Use ΣF_y = 0 para encontrar a reação restante e confira com uma segunda equação de momentos.

Treliça: método dos nós

Método dos nós: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Método das seções: ΣM = 0 about a cut point
Esforço na barra: positivo = tração, negativo = compressão

Método

Encontre as reações de apoio da treliça inteira.
Método dos nós: comece em um nó com no máximo duas forças de barra desconhecidas e use ΣF_x = 0 e ΣF_y = 0.
Método das seções: corte a barra de que você precisa e tome momentos em relação a um ponto onde as outras barras desconhecidas se encontram.
Suponha tração; uma resposta negativa significa compressão.

Pórticos e máquinas

Equilíbrio de cada membro: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Membro de duas forças: força ao longo da reta que passa pelos seus dois pinos
Força no pino: iguais e opostas nos dois membros que ele liga
Módulo de uma força no pino: F = √(F_x² + F_y²)
Alavanca, alicate, alavanca angular: F_in·a = F_out·b
Articulação de joelho: F_link = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
Carga uniforme: resultante w·L no meio da carga

Método

Desenhe a estrutura inteira e encontre as reações de apoio se houver no máximo três incógnitas.
Identifique os membros de duas forças: carregados apenas em dois pinos, sua força atua ao longo da reta entre os pinos.
Desmonte o pórtico e desenhe cada membro separadamente, com forças nos pinos iguais e opostas onde os membros se encontram.
Para cada membro, tome momentos em torno de um pino com forças desconhecidas e use depois ΣF_x = 0 e ΣF_y = 0; combine as componentes em um módulo só no final.

Esforço cortante e momento fletor

Cortante e momento: V = ΣF de um lado, M = ΣF·d de um lado
Tensão de flexão: σ = M·y/I
Retângulo: I = bh³/12
Módulo de resistência: W = I/y_max
Viga biapoiada, carga uniforme: M_max = wL²/8

Método

Encontre as reações de apoio pelo equilíbrio da viga inteira.
Corte a viga na seção de que você precisa e fique com um dos lados.
Esforço cortante: soma das forças verticais daquele lado. Momento fletor: soma dos momentos dessas forças em relação ao corte.
Para o momento máximo, encontre onde o esforço cortante é zero.

Centroide e momento de inércia

Centroide: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Retângulo: I = bh³/12
Teorema dos eixos paralelos: I = I_c + A·d²
Seção composta: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

2Exercícios

1.Vetores: produto escalar e vetorialMédia

Encontre o ângulo θ entre os vetores a = (6, 1, 6) e b = (3, 3, 4), em graus.

a = (6, 1, 6)b = (3, 3, 4)

θ = °

2.Vetores: produto escalar e vetorialDifícil

Encontre o volume V do paralelepípedo cujas arestas a partir de um vértice são a = (−1, 2, −2), b = (−4, 0, 3) e c = (−4, 0, −2).

a = (−1, 2, −2)b = (−4, 0, 3)c = (−4, 0, −2)

V =

3.Reações de apoio em vigasMédia

A viga simplesmente apoiada (apoio fixo em A, apoio móvel em B) suporta uma carga linearmente variável que decresce de 20 kN/m em A até zero em B. Uma carga concentrada P também atua a 1 m de A. Encontre a reação vertical de apoio R_A.

L = 4 mw₀ = 20 kN/mP = 65 kN em 1 m

R_A = kN

4.Reações de apoio em vigasDifícil

A viga simplesmente apoiada tem um apoio fixo em A e um apoio móvel em B. Encontre a reação vertical de apoio R_A.

L = 8 mP = 15 kN em 2 mw = 12 kN/m de 6 a 8 m

R_A = kN

5.Treliça: método dos nósMédia

Use o método dos nós para encontrar a força F_AB na barra AB. Dê tração como positiva e compressão como negativa.

vão = 4 maltura = 3 mB está a 3 m de Acarga vertical = 30 kN

F_AB = kN

6.Treliça: método dos nósDifícil

Use o método dos nós para encontrar a força F_BC na barra BC. Dê tração como positiva e compressão como negativa.

vão = 4 maltura = 4 mB está a 1 m de Acarga vertical = 60 kNcarga horizontal = 25 kN →

F_BC = kN

7.Pórticos e máquinasMédia

O pórtico em A mostrado está apoiado em um pino em A e em um rolete em B, a 4,8 m de distância, com o pino do vértice C a 3,6 m de altura e o tirante horizontal DE a 1 m acima do solo. Uma carga vertical de 10 kN atua na perna AC em K, a 1,2 m (na horizontal) de A. Encontre a tração T no tirante.

P = 10 kNAB = 4,8 maltura de C = 3,6 maltura de DE = 1 mdistância horizontal de A a K = 1,2 m

T = kN

8.Pórticos e máquinasDifícil

Uma lança horizontal uniforme AB de peso 3 kN está articulada a uma parede em A e sustentada por um cabo que vai da sua extremidade B ao ponto C da parede, 3 m acima de A. Uma carga de 8 kN está pendurada em B. Encontre a tração T no cabo.

W = 8 kNW_b = 3 kNAB = 4 mAC = 3 m

T = kN

9.Esforço cortante e momento fletorMédia

A viga simplesmente apoiada suporta um binário no sentido horário M₀ = 15 kN·m em x = 4 m a partir de A, e nenhuma outra carga. Encontre o momento fletor M_x logo à esquerda do binário. Use momentos positivos quando tracionam a face inferior e cortante para cima na face esquerda positivo.

L = 10 mM₀ = 15 kN·m no sentido horário, em 4 m

M_x = kN·m

10.Esforço cortante e momento fletorDifícil

A viga simplesmente apoiada suporta uma carga uniformemente distribuída w em todo o vão e uma carga concentrada P. Encontre o momento fletor máximo M_max na viga.

L = 10 mP = 25 kN em 5 mw = 2 kN/m de 0 a 10 m

M_max = kN·m

11.Centroide e momento de inérciaMédia

Um perfil U está com o lado aberto para cima: uma chapa de base de 240 mm de largura com duas abas verticais, com altura total de 120 mm. Base e abas têm todas 20 mm de espessura. Encontre seu momento de inércia I_x em relação ao eixo horizontal x que passa pelo centroide.

b = 240 mmh = 120 mmt = 20 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.Centroide e momento de inérciaDifícil

A seção T é usada como viga com a mesa em cima e suporta um momento fletor positivo de 10 kN·m. Encontre a tensão de flexão σ_base na borda inferior.

b_f = 120 mmt_f = 10 mmt_w = 20 mmh_w = 260 mmM = 10 kN·m

σ_base = MPa

3Soluções

1.Vetores: produto escalar e vetorial

Resposta: θ = 25,41 °

Dot product: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.

Produto escalar

a·b = 6·3 + 1·3 + 6·4 = 45

Módulos

|a| = √(6² + 1² + 6²) = 8,544

|b| = √(3² + 3² + 4²) = 5,831

Ângulo

cos θ = 45/(8,544·5,831) = 0,9033

θ = arccos(0,9033) = 25,41°

Resposta

θ = 25,41°

2.Vetores: produto escalar e vetorial

Resposta: V = 40

Cross product: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is M_O = r × F, with r = A − O.

Produto vetorial b × c

(b × c)_x = b_yc_z − b_zc_y = 0·(−2) − 3·0 = 0

(b × c)_y = b_zc_x − b_xc_z = 3·(−4) − (−4)·(−2) = −20

(b × c)_z = b_xc_y − b_yc_x = (−4)·0 − 0·(−4) = 0

Produto escalar com a

a·(b × c) = (−1)·0 + 2·(−20) + (−2)·0 = −40

V = |−40| = 40

Resposta

V = 40

3.Reações de apoio em vigas

Resposta: R_A = 75,42 kN

Equilíbrio estático: um corpo em repouso tem ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 e ΣM = 0 em relação a qualquer ponto. Substitua cada carga distribuída pela sua resultante (a sua área) atuando no centroide do diagrama de carga, e tome momentos em relação a um apoio para eliminar a reação desse apoio da equação.

Resultante da carga triangular

W = ½·20·4 = 40 kN

x̄ = L/3 = 1,333 m

Equilíbrio

Momentos em relação a A, positivos no sentido anti-horário. Depois o equilíbrio das forças verticais.

ΣM_A = 0: R_B·4 = 40·1,333 + 65·1

R_B = 29,58 kN

R_A = 105 − 29,58 = 75,42 kN

Resposta

R_A = 75,42 kN

4.Reações de apoio em vigas

Resposta: R_A = 14,25 kN

Equilíbrio estático: um corpo em repouso tem ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 e ΣM = 0 em relação a qualquer ponto. Tomar momentos em relação a um apoio elimina a reação desse apoio da equação.

Diagrama de corpo livre

Substitua os apoios por forças de reação. Um apoio móvel dá uma reação vertical; com apenas cargas verticais, o apoio fixo também dá uma reação vertical.

Equilíbrio

Momentos em relação a A, positivos no sentido anti-horário. Depois o equilíbrio das forças verticais.

Resultante da carga distribuída: W = w·ℓ = 12·2 = 24 kN, atuando em x̄ = 7 m

ΣM_A = 0: R_B·8 = 15·2 + 12·2·7

R_B = 198/8 = 24,75 kN

ΣF_y = 0: R_A = 39 − 24,75 = 14,25 kN

Resposta

R_A = 14,25 kN

5.Treliça: método dos nós

Resposta: F_AB = −10,61 kN

Método dos nós: cada nó de uma treliça está em equilíbrio, então ΣF_x = 0 e ΣF_y = 0 em cada nó. Comece por um nó com no máximo duas forças de barra desconhecidas. Um resultado negativo significa que a barra está comprimida.

Reações de apoio

Equilíbrio da treliça inteira. Momentos em relação a A, positivos no sentido anti-horário.

ΣM_A = 0: C_y·4 = 30·3 → C_y = 22,5 kN

ΣF_y = 0: A_y = 30 − 22,5 = 7,5 kN

Nó A

Suponha que toda barra está tracionada (puxando para fora do nó). Só AB tem componente vertical em A.

sin α = 3/4,243 = 0,7071

ΣF_y = 0: A_y + F_AB·sin α = 0

F_AB = −7,5/0,7071 = −10,61 kN

Resposta

F_AB = −10,61 kN (compressão)

6.Treliça: método dos nós

Resposta: F_BC = −50 kN

Reações de apoio

Equilíbrio da treliça inteira. Momentos em relação a A, positivos no sentido anti-horário.

ΣM_A = 0: C_y·4 = 60·1 + 25·4 → C_y = 40 kN

ΣF_y = 0: A_y = 60 − 40 = 20 kN

ΣF_x = 0: A_x = −25 kN

Nó C

O apoio móvel dá apenas uma reação vertical, então o nó C tem só duas forças de barra desconhecidas. Suponha ambas tracionadas.

sin γ = 4/5 = 0,8, cos γ = 3/5 = 0,6

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −40/0,8 = −50 kN

Resposta

F_BC = −50 kN (compressão)

7.Pórticos e máquinas

Resposta: T = 2,308 kN

Pórticos e máquinas: ao contrário de uma treliça, um pórtico contém pelo menos um membro que suporta forças em mais de dois pontos, ou uma carga entre seus pinos. Procure primeiro os membros de duas forças: um membro carregado apenas em dois pinos tem sua força ao longo da reta que passa por eles, de modo que traz uma incógnita, e não duas. Depois use a estrutura inteira para as reações de apoio quando houver no máximo três incógnitas. Por fim, desmonte o pórtico: desenhe cada membro separadamente, com as forças nos pinos iguais e opostas nos dois membros que eles ligam, e escreva ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 e ΣM = 0 para ele. Tomar momentos em torno de um pino elimina da equação as duas componentes da força desse pino.

Pórtico inteiro: momentos em torno de A

B_y = 10·1,2/4,8 = 2,5 kN

Perna BC: momentos em torno de C

2,5·2,4 = T·2,6

T = 2,308 kN

Resposta

T = 2,308 kN

8.Pórticos e máquinas

Resposta: T = 15,83 kN

Ângulo do cabo

BC = √(4² + 3²) = 5 m, sin β = 0,6

Momentos em relação a A

T·0,6·4 = 8·4 + 3·2

T = 15,83 kN

Resposta

T = 15,83 kN

9.Esforço cortante e momento fletor

Resposta: M_x = −6 kN·m

Método das seções: corte a viga onde você quer os esforços internos e fique com um lado. O esforço cortante V equilibra as forças verticais desse lado, e o momento fletor M equilibra os momentos delas em relação ao corte. Um binário aplicado faz o diagrama de momento fletor saltar do valor do binário.

Reações de apoio

Momentos em relação a A, positivos no sentido anti-horário: R_B·L − M₀ = 0. Equilíbrio vertical: R_A + R_B = 0.

R_B = M₀/L = 15/10 = 1,5 kN (para cima)

R_A = −R_B = −1,5 kN (para baixo)

Corte logo à esquerda do binário

A parte esquerda contém apenas R_A.

M_x = R_A·a = −1,5·4 = −6 kN·m

Resposta

M_x = −6 kN·m

10.Esforço cortante e momento fletor

Resposta: M_max = 87,5 kN·m

Método das seções: corte a viga onde você quer os esforços internos e fique com um lado. O esforço cortante V equilibra as forças verticais desse lado, e o momento fletor M equilibra os momentos delas em relação ao corte. Momento máximo: como dM/dx = V, o momento fletor atinge seu pico onde o esforço cortante passa por zero, seja em uma carga concentrada, seja dentro de uma carga distribuída.

Reações de apoio

Equilíbrio da viga inteira.

Resultante da carga distribuída: W = w·ℓ = 2·10 = 20 kN, atuando em x̄ = 5 m

ΣM_A = 0: R_B·10 = 25·5 + 2·10·5

R_B = 225/10 = 22,5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 45 − 22,5 = 22,5 kN

Onde V = 0?

V(5⁻) = R_A − w·5 = 12,5 kN

V(5⁺) = 12,5 − 25 = −12,5 kN

O cortante muda de sinal na carga, então o máximo fica sob a carga.

Momento máximo

M_max = R_A·5 − w·5²/2 = 22,5·5 − 2·5²/2 = 87,5 kN·m

Resposta

M_max = 87,5 kN·m

Ele ocorre em x = 5 m a partir de A.

11.Centroide e momento de inércia

Resposta: I_x = 11,35 × 10⁶ mm⁴

Áreas compostas: divida a seção em retângulos. O centroide é a média ponderada pelas áreas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. O momento de inércia em relação ao eixo centroidal soma o bh³/12 próprio de cada parte e seu termo de eixos paralelos A·d², onde d é a distância do centroide da parte ao centroide geral. A tensão de flexão é σ = M·y/I.

Divida em retângulos

Tome a base com a largura total e as duas abas acima dela (altura h − t), para que nada seja contado duas vezes.

base: A₁ = 240·20 = 4800 mm², y₁ = 10 mm

duas abas: A₂ = 2·20·100 = 4000 mm², y₂ = 20 + 100/2 = 70 mm

Centroide

ȳ = (4800·10 + 4000·70)/8800 = 37,27 mm

Teorema dos eixos paralelos

base: 240·20³/12 + 4800·(10 − 37,27)² = 3,73 × 10⁶ mm⁴

duas abas: 2·20·100³/12 + 4000·(70 − 37,27)² = 7,618 × 10⁶ mm⁴

I_x = 3,73 × 10⁶ + 7,618 × 10⁶

I_x = 1,135 × 10⁷ mm⁴ = 11,35 × 10⁶ mm⁴

Resposta

I_x = 11,35 × 10⁶ mm⁴

12.Centroide e momento de inércia

Resposta: σ_base = 32,99 MPa

Divida em dois retângulos

Meça todo y a partir da borda inferior.

mesa: A_f = 120·10 = 1200 mm², y_f = 260 + 10/2 = 265 mm

alma: A_w = 20·260 = 5200 mm², y_w = 260/2 = 130 mm

Centroide

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (1200·265 + 5200·130)/6400 = 155,3 mm

Teorema dos eixos paralelos

mesa: 120·10³/12 + 1200·(265 − 155,3)² = 1,445 × 10⁷ mm⁴

alma: 20·260³/12 + 5200·(130 − 155,3)² = 3,263 × 10⁷ mm⁴

I_x = 1,445 × 10⁷ + 3,263 × 10⁷ = 4,707 × 10⁷ mm⁴

Tensão de flexão

A borda inferior está a ȳ do eixo.

y = 155,3 mm

σ = M·y/I = 1 × 10⁷·155,3/4,707 × 10⁷ = 32,99 MPa

Resposta

σ_base = 32,99 MPa

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