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1Fórmulas e métodos
Vetores: produto escalar e vetorial
Módulo
|a| = √(ax² + ay² + az²)
Vetor unitário
û = a/|a|
Componentes a partir de um ângulo
Fx = F·cos θ, Fy = F·sin θ
Produto escalar
a·b = axbx + ayby + azbz = |a||b|cos θ
Projeção escalar de a sobre b
a·b/|b|
Trabalho
W = F·d
Produto vetorial
a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx)
Áreas
paralelogramo |a × b|, triângulo ½|a × b|
Momento em relação a O
MO = r × F, r = A − O
Volume de um paralelepípedo
V = |a·(b × c)|
Método
Escreva todo vetor em componentes; para uma força dada por um módulo e um ângulo, use F·cos θ e F·sin θ.
Para comprimentos e direções use o módulo √(x² + y² + z²) e o vetor unitário a/|a|.
Use o produto escalar para ângulos, projeções, perpendicularidade e trabalho: a·b = |a||b|cos θ.
Use o produto vetorial para vetores perpendiculares, áreas e momentos: escreva as três componentes com cuidado, mantendo a ordem a × b.
Reações de apoio em vigas
Equilíbrio
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Carga uniforme
resultante w·L no meio da carga
Momento
M = F·d
Método
Desenhe um diagrama de corpo livre e substitua cada apoio por suas reações.
Substitua cada carga distribuída por uma única força no seu centroide.
Tome momentos em relação a um apoio para encontrar a reação no outro.
Use ΣFy = 0 para encontrar a reação restante e confira com uma segunda equação de momentos.
Treliça: método dos nós
Método dos nós
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
Método das seções
ΣM = 0 about a cut point
Esforço na barra
positivo = tração, negativo = compressão
Método
Encontre as reações de apoio da treliça inteira.
Método dos nós: comece em um nó com no máximo duas forças de barra desconhecidas e use ΣFx = 0 e ΣFy = 0.
Método das seções: corte a barra de que você precisa e tome momentos em relação a um ponto onde as outras barras desconhecidas se encontram.
Suponha tração; uma resposta negativa significa compressão.
Pórticos e máquinas
Equilíbrio de cada membro
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Membro de duas forças
força ao longo da reta que passa pelos seus dois pinos
Força no pino
iguais e opostas nos dois membros que ele liga
Módulo de uma força no pino
F = √(Fx² + Fy²)
Alavanca, alicate, alavanca angular
Fin·a = Fout·b
Articulação de joelho
Flink = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
Carga uniforme
resultante w·L no meio da carga
Método
Desenhe a estrutura inteira e encontre as reações de apoio se houver no máximo três incógnitas.
Identifique os membros de duas forças: carregados apenas em dois pinos, sua força atua ao longo da reta entre os pinos.
Desmonte o pórtico e desenhe cada membro separadamente, com forças nos pinos iguais e opostas onde os membros se encontram.
Para cada membro, tome momentos em torno de um pino com forças desconhecidas e use depois ΣFx = 0 e ΣFy = 0; combine as componentes em um módulo só no final.
Esforço cortante e momento fletor
Cortante e momento
V = ΣF de um lado, M = ΣF·d de um lado
Tensão de flexão
σ = M·y/I
Retângulo
I = bh³/12
Módulo de resistência
W = I/ymax
Viga biapoiada, carga uniforme
Mmax = wL²/8
Método
Encontre as reações de apoio pelo equilíbrio da viga inteira.
Corte a viga na seção de que você precisa e fique com um dos lados.
Esforço cortante: soma das forças verticais daquele lado. Momento fletor: soma dos momentos dessas forças em relação ao corte.
Para o momento máximo, encontre onde o esforço cortante é zero.
Centroide e momento de inércia
Centroide
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
Retângulo
I = bh³/12
Teorema dos eixos paralelos
I = Ic + A·d²
Seção composta
I = Σ(Ic,i + Aidi²)
2Exercícios
1.Vetores: produto escalar e vetorialMédia
Encontre o ângulo θ entre os vetores a = (2, 1, −1) e b = (5, 6, −5), em graus.
a = (2, 1, −1)b = (5, 6, −5)
θ = °
2.Vetores: produto escalar e vetorialDifícil
Para a = (−4, 5, −5) e b = (−1, −4, 4), encontre a componente z (a × b)z do produto vetorial a × b.
a = (−4, 5, −5)b = (−1, −4, 4)
(a × b)z =
3.Reações de apoio em vigasMédia
A viga simplesmente apoiada tem um apoio fixo em A e um apoio móvel em B. Encontre a reação vertical de apoio RA.
L = 8 mP1 = 10 kN em 5 mP2 = 45 kN em 7 m
RA = kN
4.Reações de apoio em vigasDifícil
A viga simplesmente apoiada tem um apoio fixo em A e um apoio móvel em B. Encontre a reação vertical de apoio RB.
L = 5 mP = 20 kN em 4 mw = 5 kN/m de 3 a 5 m
RB = kN
5.Treliça: método dos nósMédia
Exatamente um membro desta treliça não suporta força sob estas cargas. Qual é o membro de força nula? Clique nele no diagrama.
B: 40 kN ↓F: 30 kN ↓
1membro AB
2membro BC
3membro CD
4membro DE
5membro FG
6membro GH
7membro AF
8membro HE
9membro BF
10membro CG
11membro DH
12membro BG
13membro DG
6.Treliça: método dos nósDifícil
Exatamente um membro desta treliça não suporta força sob estas cargas. Qual é o membro de força nula? Clique nele no diagrama.
B: 15 kN ↓F: 35 kN ↓F: 10 kN →G: 15 kN ↓
1membro AB
2membro BC
3membro CD
4membro DE
5membro FG
6membro GH
7membro AF
8membro HE
9membro BF
10membro CG
11membro DH
12membro FC
13membro HC
7.Pórticos e máquinasMédia
A alavanca angular mostrada gira em torno do pino O. Uma força vertical de 200 N em A (a 200 mm de O) é equilibrada por uma força horizontal em B (a 60 mm acima de O). Encontre o módulo da reação no pino FO.
F = 200 NOA = 200 mmOB = 60 mm
FO = N
8.Pórticos e máquinasDifícil
Uma lança horizontal uniforme AB de peso 2 kN está articulada a uma parede em A e sustentada por um cabo que vai da sua extremidade B ao ponto C da parede, 2,5 m acima de A. Uma carga de 5 kN está pendurada em B. Encontre a tração T no cabo.
W = 5 kNWb = 2 kNAB = 4 mAC = 2,5 m
T = kN
9.Esforço cortante e momento fletorMédia
A viga simplesmente apoiada suporta duas cargas concentradas. Encontre o momento fletor máximo Mmax na viga.
L = 6 mP1 = 20 kN em 1,5 mP2 = 80 kN em 2,5 m
Mmax = kN·m
10.Esforço cortante e momento fletorDifícil
Encontre o momento fletor Mx na seção x = 2 m a partir do apoio A. Use momentos positivos quando tracionam a face inferior e cortante para cima na face esquerda positivo.
L = 4 mP = 35 kN em 1,5 mw = 12 kN/m de 0 a 4 mx = 2 m
Mx = kN·m
11.Centroide e momento de inérciaMédia
Um perfil U está com o lado aberto para cima: uma chapa de base de 120 mm de largura com duas abas verticais, com altura total de 60 mm. Base e abas têm todas 10 mm de espessura. Encontre a altura ȳ do centroide acima da borda inferior.
b = 120 mmh = 60 mmt = 10 mm
ȳ = mm
12.Centroide e momento de inérciaDifícil
Uma viga de ferro fundido tem a seção T mostrada, com a mesa em cima. As tensões admissíveis são 60 MPa na tração e 100 MPa na compressão. Encontre o maior momento fletor positivo Mallow que a viga pode suportar.
Dot product:a·b = axbx + ayby + azbz = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.
Produto escalar
a·b = 2·5 + 1·6 + (−1)·(−5) = 21
Módulos
|a| = √(2² + 1² + (−1)²) = 2,449
|b| = √(5² + 6² + (−5)²) = 9,274
Ângulo
cos θ = 21/(2,449·9,274) = 0,9245
θ = arccos(0,9245) = 22,41°
Resposta
θ = 22,41°
2.Vetores: produto escalar e vetorial
Resposta: (a × b)z = 21
Cross product:a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is MO = r × F, with r = A − O.
Produto vetorial, componente por componente
(a × b)x = aybz − azby = 5·4 − (−5)·(−4) = 0
(a × b)y = azbx − axbz = (−5)·(−1) − (−4)·4 = 21
(a × b)z = axby − aybx = (−4)·(−4) − 5·(−1) = 21
Componente pedida
(a × b)z = 21
Resposta
(a × b)z = 21
Verificação: a × b é perpendicular aos dois vetores, então o seu produto escalar com a e com b é zero.
3.Reações de apoio em vigas
Resposta: RA = 9,375 kN
Equilíbrio estático: um corpo em repouso tem ΣFx = 0, ΣFy = 0 e ΣM = 0 em relação a qualquer ponto. Tomar momentos em relação a um apoio elimina a reação desse apoio da equação.
Diagrama de corpo livre
Substitua os apoios por forças de reação. Um apoio móvel dá uma reação vertical; com apenas cargas verticais, o apoio fixo também dá uma reação vertical.
Equilíbrio
Momentos em relação a A, positivos no sentido anti-horário. Depois o equilíbrio das forças verticais.
ΣMA = 0: RB·8 = 10·5 + 45·7
RB = 365/8 = 45,63 kN
ΣFy = 0: RA = 55 − 45,63 = 9,375 kN
Resposta
RA = 9,375 kN
4.Reações de apoio em vigas
Resposta: RB = 24 kN
Equilíbrio estático: um corpo em repouso tem ΣFx = 0, ΣFy = 0 e ΣM = 0 em relação a qualquer ponto. Tomar momentos em relação a um apoio elimina a reação desse apoio da equação.
Diagrama de corpo livre
Substitua os apoios por forças de reação. Um apoio móvel dá uma reação vertical; com apenas cargas verticais, o apoio fixo também dá uma reação vertical.
Equilíbrio
Momentos em relação a A, positivos no sentido anti-horário. Depois o equilíbrio das forças verticais.
Resultante da carga distribuída: W = w·ℓ = 5·2 = 10 kN, atuando em x̄ = 4 m
ΣMA = 0: RB·5 = 20·4 + 5·2·4
RB = 120/5 = 24 kN
ΣFy = 0: RA = 30 − 24 = 6 kN
Resposta
RB = 24 kN
5.Treliça: método dos nós
Resposta: membro CG
Membros de força nula: em um nó, as forças devem se equilibrar em todas as direções. Se um nó não tem carga nem apoio, e dois de seus três membros estão alinhados, então o equilíbrio na direção perpendicular a essa linha envolve apenas o terceiro membro, e portanto sua força é zero. Se apenas dois membros se encontram em um nó sem carga e não estão alinhados, ambos são nulos.
Nó C
BC e CD estão em uma mesma reta e o nó não tem carga. Equilibrar as forças na direção perpendicular a essa reta deixa apenas CG.
ΣF⊥ = 0 → FCG = 0
Verifique com o método dos nós
Resolver todos os nós dá estas forças nos membros (T = tração, C = compressão).
Membros de força nula: em um nó, as forças devem se equilibrar em todas as direções. Se um nó não tem carga nem apoio, e dois de seus três membros estão alinhados, então o equilíbrio na direção perpendicular a essa linha envolve apenas o terceiro membro, e portanto sua força é zero. Se apenas dois membros se encontram em um nó sem carga e não estão alinhados, ambos são nulos.
Nó D
CD e DE estão em uma mesma reta e o nó não tem carga. Equilibrar as forças na direção perpendicular a essa reta deixa apenas DH.
ΣF⊥ = 0 → FDH = 0
Verifique com o método dos nós
Resolver todos os nós dá estas forças nos membros (T = tração, C = compressão).
Máquinas: alicates, alavancas, articulações e grampos transformam uma força de entrada em uma força de saída maior ou de outra direção. Desenhe uma peça como corpo livre e tome momentos em torno do seu pivô: a força no pino sai da equação, e Fin·a = Fout·b dá a vantagem mecânica a/b. A força no pino decorre então de ΣF = 0 na mesma peça. Em uma articulação de joelho, duas barras se encontram em um ângulo raso θ; cada barra é um membro de duas forças, de modo que uma pequena força F na junta cria grandes forças F/(2 sen θ) nas barras e uma força de aperto F/(2 tan θ).
Força em B
Q = 200·200/60 = 666,7 N
Reação no pino
Ox = 666,7 N, Oy = 200 N
FO = √(666,7² + 200²) = 696 N
Resposta
FO = 696 N
8.Pórticos e máquinas
Resposta: T = 11,32 kN
Pórticos e máquinas: ao contrário de uma treliça, um pórtico contém pelo menos um membro que suporta forças em mais de dois pontos, ou uma carga entre seus pinos. Procure primeiro os membros de duas forças: um membro carregado apenas em dois pinos tem sua força ao longo da reta que passa por eles, de modo que traz uma incógnita, e não duas. Depois use a estrutura inteira para as reações de apoio quando houver no máximo três incógnitas. Por fim, desmonte o pórtico: desenhe cada membro separadamente, com as forças nos pinos iguais e opostas nos dois membros que eles ligam, e escreva ΣFx = 0, ΣFy = 0 e ΣM = 0 para ele. Tomar momentos em torno de um pino elimina da equação as duas componentes da força desse pino.
Ângulo do cabo
BC = √(4² + 2,5²) = 4,717 m, sin β = 0,53
Momentos em relação a A
T·0,53·4 = 5·4 + 2·2
T = 11,32 kN
Resposta
T = 11,32 kN
9.Esforço cortante e momento fletor
Resposta: Mmax = 134,2 kN·m
Método das seções: corte a viga onde você quer os esforços internos e fique com um lado. O esforço cortante V equilibra as forças verticais desse lado, e o momento fletor M equilibra os momentos delas em relação ao corte. Momento máximo: como dM/dx = V, o momento fletor atinge seu pico onde o esforço cortante passa por zero, seja em uma carga concentrada, seja dentro de uma carga distribuída.
Reações de apoio
Equilíbrio da viga inteira.
ΣMA = 0: RB·6 = 20·1,5 + 80·2,5
RB = 230/6 = 38,33 kN
ΣFy = 0: RA = 100 − 38,33 = 61,67 kN
Momento sob cada carga
Fique com a parte à esquerda de cada carga.
sob P1: M = RA·1,5 = 61,67·1,5 = 92,5 kN·m
sob P2: M = RB·3,5 = 38,33·3,5 = 134,2 kN·m
Maior valor
Mmax = 134,2 kN·m (sob P2)
Resposta
Mmax = 134,2 kN·m
10.Esforço cortante e momento fletor
Resposta: Mx = 50,25 kN·m
Método das seções: corte a viga onde você quer os esforços internos e fique com um lado. O esforço cortante V equilibra as forças verticais desse lado, e o momento fletor M equilibra os momentos delas em relação ao corte.
Reações de apoio
Equilíbrio da viga inteira.
Resultante da carga distribuída: W = w·ℓ = 12·4 = 48 kN, atuando em x̄ = 2 m
ΣMA = 0: RB·4 = 35·1,5 + 12·4·2
RB = 148,5/4 = 37,13 kN
ΣFy = 0: RA = 83 − 37,13 = 45,88 kN
Corte em x = 2 m e fique com a parte esquerda
Só aparecem as forças à esquerda do corte. Uma parte da carga distribuída age como uma única força no meio dessa parte.
M = RA·x − (cada carga à esquerda do corte × sua distância até o corte)
Mx = 45,88·2 − 35·(2 − 1,5) − 12·2·1 = 50,25 kN·m
Resposta
Mx = 50,25 kN·m
11.Centroide e momento de inércia
Resposta: ȳ = 18,64 mm
Áreas compostas: divida a seção em retângulos. O centroide é a média ponderada pelas áreas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. O momento de inércia em relação ao eixo centroidal soma o bh³/12 próprio de cada parte e seu termo de eixos paralelos A·d², onde d é a distância do centroide da parte ao centroide geral. A tensão de flexão é σ = M·y/I.
Divida em retângulos
Tome a base com a largura total e as duas abas acima dela (altura h − t), para que nada seja contado duas vezes.
base: A1 = 120·10 = 1200 mm², y1 = 5 mm
duas abas: A2 = 2·10·50 = 1000 mm², y2 = 10 + 50/2 = 35 mm
Centroide
ȳ = (1200·5 + 1000·35)/2200 = 18,64 mm
Resposta
ȳ = 18,64 mm
12.Centroide e momento de inércia
Resposta: Mallow = 21,01 kN·m
Áreas compostas: divida a seção em retângulos. O centroide é a média ponderada pelas áreas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. O momento de inércia em relação ao eixo centroidal soma o bh³/12 próprio de cada parte e seu termo de eixos paralelos A·d², onde d é a distância do centroide da parte ao centroide geral. A tensão de flexão é σ = M·y/I.