Estática: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 12 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Vetores: produto escalar e vetorial

Módulo: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
Vetor unitário: û = a/|a|
Componentes a partir de um ângulo: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
Produto escalar: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
Projeção escalar de a sobre b: a·b/|b|
Trabalho: W = F·d
Produto vetorial: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
Áreas: paralelogramo |a × b|, triângulo ½|a × b|
Momento em relação a O: M_O = r × F, r = A − O
Volume de um paralelepípedo: V = |a·(b × c)|

Método

Escreva todo vetor em componentes; para uma força dada por um módulo e um ângulo, use F·cos θ e F·sin θ.
Para comprimentos e direções use o módulo √(x² + y² + z²) e o vetor unitário a/|a|.
Use o produto escalar para ângulos, projeções, perpendicularidade e trabalho: a·b = |a||b|cos θ.
Use o produto vetorial para vetores perpendiculares, áreas e momentos: escreva as três componentes com cuidado, mantendo a ordem a × b.

Reações de apoio em vigas

Equilíbrio: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Carga uniforme: resultante w·L no meio da carga
Momento: M = F·d

Método

Desenhe um diagrama de corpo livre e substitua cada apoio por suas reações.
Substitua cada carga distribuída por uma única força no seu centroide.
Tome momentos em relação a um apoio para encontrar a reação no outro.
Use ΣF_y = 0 para encontrar a reação restante e confira com uma segunda equação de momentos.

Treliça: método dos nós

Método dos nós: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Método das seções: ΣM = 0 about a cut point
Esforço na barra: positivo = tração, negativo = compressão

Método

Encontre as reações de apoio da treliça inteira.
Método dos nós: comece em um nó com no máximo duas forças de barra desconhecidas e use ΣF_x = 0 e ΣF_y = 0.
Método das seções: corte a barra de que você precisa e tome momentos em relação a um ponto onde as outras barras desconhecidas se encontram.
Suponha tração; uma resposta negativa significa compressão.

Pórticos e máquinas

Equilíbrio de cada membro: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Membro de duas forças: força ao longo da reta que passa pelos seus dois pinos
Força no pino: iguais e opostas nos dois membros que ele liga
Módulo de uma força no pino: F = √(F_x² + F_y²)
Alavanca, alicate, alavanca angular: F_in·a = F_out·b
Articulação de joelho: F_link = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
Carga uniforme: resultante w·L no meio da carga

Método

Desenhe a estrutura inteira e encontre as reações de apoio se houver no máximo três incógnitas.
Identifique os membros de duas forças: carregados apenas em dois pinos, sua força atua ao longo da reta entre os pinos.
Desmonte o pórtico e desenhe cada membro separadamente, com forças nos pinos iguais e opostas onde os membros se encontram.
Para cada membro, tome momentos em torno de um pino com forças desconhecidas e use depois ΣF_x = 0 e ΣF_y = 0; combine as componentes em um módulo só no final.

Esforço cortante e momento fletor

Cortante e momento: V = ΣF de um lado, M = ΣF·d de um lado
Tensão de flexão: σ = M·y/I
Retângulo: I = bh³/12
Módulo de resistência: W = I/y_max
Viga biapoiada, carga uniforme: M_max = wL²/8

Método

Encontre as reações de apoio pelo equilíbrio da viga inteira.
Corte a viga na seção de que você precisa e fique com um dos lados.
Esforço cortante: soma das forças verticais daquele lado. Momento fletor: soma dos momentos dessas forças em relação ao corte.
Para o momento máximo, encontre onde o esforço cortante é zero.

Centroide e momento de inércia

Centroide: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Retângulo: I = bh³/12
Teorema dos eixos paralelos: I = I_c + A·d²
Seção composta: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

2Exercícios

1.Vetores: produto escalar e vetorialMédia

Encontre o produto escalar a·b de a = (−2, 4, −1) e b = (0, 3, 2).

a = (−2, 4, −1)b = (0, 3, 2)

a·b =

2.Vetores: produto escalar e vetorialDifícil

O vetor unitário n̂ é perpendicular a a = (−3, 3, −5) e a b = (−3, −5, −2) e tem componente z positiva. Encontre sua componente x n̂_x.

a = (−3, 3, −5)b = (−3, −5, −2)n̂_z > 0

n̂_x =

3.Reações de apoio em vigasMédia

A viga simplesmente apoiada tem um apoio fixo em A e um apoio móvel em B. Encontre a reação vertical de apoio R_A.

L = 10 mP₁ = 55 kN em 3 mP₂ = 30 kN em 4 m

R_A = kN

4.Reações de apoio em vigasDifícil

A viga simplesmente apoiada tem um apoio fixo em A e um apoio móvel em B. Encontre a reação vertical de apoio R_B.

L = 10 mP = 10 kN em 7 mw = 6 kN/m de 4 a 9 m

R_B = kN

5.Treliça: método dos nósMédia

Use o método dos nós para encontrar a força F_AB na barra AB. Dê tração como positiva e compressão como negativa.

vão = 8 maltura = 3 mB está a 3 m de Acarga vertical = 25 kN

F_AB = kN

6.Treliça: método dos nósDifícil

Use o método dos nós para encontrar a força F_AB na barra AB. Dê tração como positiva e compressão como negativa.

vão = 6 maltura = 2 mB está a 5 m de Acarga vertical = 25 kNcarga horizontal = 20 kN ←

F_AB = kN

7.Pórticos e máquinasMédia

O pórtico mostrado tem pinos em A, B e C; A e C estão fixados ao solo a 6 m de distância, e B está a 2 m acima do solo e a 3,6 m à direita de A. Uma carga vertical de 5 kN atua no membro AB em K, a 0,9 m (na horizontal) de A. Encontre a força F_BC no membro BC.

P = 5 kNL = 6 mH = 2 mdistância horizontal de A a B = 3,6 mdistância horizontal de A a K = 0,9 m

F_BC = kN

8.Pórticos e máquinasDifícil

Uma lança horizontal uniforme AB de peso 0,5 kN está articulada a uma parede em A e sustentada por um cabo de B ao ponto C da parede, 3 m acima de A. Uma carga de 15 kN está pendurada em B. Encontre o módulo da reação no pino A.

W = 15 kNW_b = 0,5 kNAB = 3 mAC = 3 m

A = kN

9.Esforço cortante e momento fletorMédia

As marcas A a G dividem a viga em seis partes iguais. Em qual marca o momento fletor é maior em valor absoluto, positivo ou negativo? Clique nela no diagrama.

60 kN @ 6 m60 kN @ 2 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

10.Esforço cortante e momento fletorDifícil

A viga simplesmente apoiada suporta uma carga uniformemente distribuída sobre parte do vão. Encontre o momento fletor máximo M_max na viga.

L = 8 mw = 12 kN/m de 2 a 5 m

M_max = kN·m

11.Centroide e momento de inérciaMédia

Um perfil U está com o lado aberto para cima: uma chapa de base de 300 mm de largura com duas abas verticais, com altura total de 170 mm. Base e abas têm todas 10 mm de espessura. Encontre seu momento de inércia I_x em relação ao eixo horizontal x que passa pelo centroide.

b = 300 mmh = 170 mmt = 10 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.Centroide e momento de inérciaDifícil

A seção T é usada como viga com a mesa em cima e suporta um momento fletor positivo de 40 kN·m. Encontre a tensão de flexão σ_base na borda inferior.

b_f = 120 mmt_f = 25 mmt_w = 18 mmh_w = 140 mmM = 40 kN·m

σ_base = MPa

3Soluções

1.Vetores: produto escalar e vetorial

Resposta: a·b = 10

Dot product: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.

Multiplique as componentes correspondentes e some

a·b = (−2)·0 + 4·3 + (−1)·2 = 0 + 12 + (−2) = 10

Resposta

a·b = 10

Positivo: o ângulo entre os vetores é menor que 90°.

2.Vetores: produto escalar e vetorial

Resposta: n̂_x = −0,7707

Cross product: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is M_O = r × F, with r = A − O.

Produto vetorial

(a × b)_x = a_yb_z − a_zb_y = 3·(−2) − (−5)·(−5) = −31

(a × b)_y = a_zb_x − a_xb_z = (−5)·(−3) − (−3)·(−2) = 9

(a × b)_z = a_xb_y − a_yb_x = (−3)·(−5) − 3·(−3) = 24

Normalize

A componente z de a × b já é positiva.

|a × b| = √((−31)² + 9² + 24²) = 40,22

n̂ = (−31, 9, 24)/40,22 = (−0,7707, 0,2237, 0,5967)

n̂_x = −0,7707

Resposta

n̂_x = −0,7707

3.Reações de apoio em vigas

Resposta: R_A = 56,5 kN

Equilíbrio estático: um corpo em repouso tem ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 e ΣM = 0 em relação a qualquer ponto. Tomar momentos em relação a um apoio elimina a reação desse apoio da equação.

Diagrama de corpo livre

Substitua os apoios por forças de reação. Um apoio móvel dá uma reação vertical; com apenas cargas verticais, o apoio fixo também dá uma reação vertical.

Equilíbrio

Momentos em relação a A, positivos no sentido anti-horário. Depois o equilíbrio das forças verticais.

ΣM_A = 0: R_B·10 = 55·3 + 30·4

R_B = 285/10 = 28,5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 85 − 28,5 = 56,5 kN

Resposta

R_A = 56,5 kN

4.Reações de apoio em vigas

Resposta: R_B = 26,5 kN

Equilíbrio estático: um corpo em repouso tem ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 e ΣM = 0 em relação a qualquer ponto. Tomar momentos em relação a um apoio elimina a reação desse apoio da equação.

Diagrama de corpo livre

Substitua os apoios por forças de reação. Um apoio móvel dá uma reação vertical; com apenas cargas verticais, o apoio fixo também dá uma reação vertical.

Equilíbrio

Momentos em relação a A, positivos no sentido anti-horário. Depois o equilíbrio das forças verticais.

Resultante da carga distribuída: W = w·ℓ = 6·5 = 30 kN, atuando em x̄ = 6,5 m

ΣM_A = 0: R_B·10 = 10·7 + 6·5·6,5

R_B = 265/10 = 26,5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 40 − 26,5 = 13,5 kN

Resposta

R_B = 26,5 kN

5.Treliça: método dos nós

Resposta: F_AB = −22,1 kN

Método dos nós: cada nó de uma treliça está em equilíbrio, então ΣF_x = 0 e ΣF_y = 0 em cada nó. Comece por um nó com no máximo duas forças de barra desconhecidas. Um resultado negativo significa que a barra está comprimida.

Reações de apoio

Equilíbrio da treliça inteira. Momentos em relação a A, positivos no sentido anti-horário.

ΣM_A = 0: C_y·8 = 25·3 → C_y = 9,375 kN

ΣF_y = 0: A_y = 25 − 9,375 = 15,63 kN

Nó A

Suponha que toda barra está tracionada (puxando para fora do nó). Só AB tem componente vertical em A.

sin α = 3/4,243 = 0,7071

ΣF_y = 0: A_y + F_AB·sin α = 0

F_AB = −15,63/0,7071 = −22,1 kN

Resposta

F_AB = −22,1 kN (compressão)

6.Treliça: método dos nós

Resposta: F_AB = −29,17 kN

Reações de apoio

Equilíbrio da treliça inteira. Momentos em relação a A, positivos no sentido anti-horário.

ΣM_A = 0: C_y·6 = 25·5 − 20·2 → C_y = 14,17 kN

ΣF_y = 0: A_y = 25 − 14,17 = 10,83 kN

ΣF_x = 0: A_x = 20 kN

Nó A

Suponha que toda barra está tracionada (puxando para fora do nó). Só AB tem componente vertical em A.

sin α = 2/5,385 = 0,3714

ΣF_y = 0: A_y + F_AB·sin α = 0

F_AB = −10,83/0,3714 = −29,17 kN

Resposta

F_AB = −29,17 kN (compressão)

7.Pórticos e máquinas

Resposta: F_BC = 1,172 kN

Pórticos e máquinas: ao contrário de uma treliça, um pórtico contém pelo menos um membro que suporta forças em mais de dois pontos, ou uma carga entre seus pinos. Procure primeiro os membros de duas forças: um membro carregado apenas em dois pinos tem sua força ao longo da reta que passa por eles, de modo que traz uma incógnita, e não duas. Depois use a estrutura inteira para as reações de apoio quando houver no máximo três incógnitas. Por fim, desmonte o pórtico: desenhe cada membro separadamente, com as forças nos pinos iguais e opostas nos dois membros que eles ligam, e escreva ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 e ΣM = 0 para ele. Tomar momentos em torno de um pino elimina da equação as duas componentes da força desse pino.

Membro de duas forças BC

BC = √(2,4² + 2²) = 3,124 m

Pórtico inteiro: momentos em torno de A

O solo empurra BC em C ao longo de CB; sua componente horizontal passa por A, e só a vertical tem momento.

F_BC·(2/3,124)·6 = 5·0,9

F_BC = 1,172 kN (compressão)

Resposta

F_BC = 1,172 kN

8.Pórticos e máquinas

Resposta: A = 15,25 kN

Tração no cabo

T = (15 + 0,5/2)/0,7071 = 21,57 kN

Componentes em A

A_x = T·cos β = 15,25 kN

A_y = 15 + 0,5 − T·sin β = 0,25 kN

Módulo

A = √(15,25² + 0,25²) = 15,25 kN

Resposta

A = 15,25 kN

9.Esforço cortante e momento fletor

Resposta: D (x = 6 m)

Maior momento fletor: M muda de inclinação onde quer que a força cortante mude, então seus picos ficam onde a força cortante cruza o zero: sob uma carga pontual, dentro de uma carga distribuída ou sobre um apoio de um balanço. No engaste de uma viga em balanço, o momento é maior na parede. Compare o tamanho de M nesses lugares, positivo ou negativo.

Reações de apoio

Tome momentos em torno de um apoio e depois use o equilíbrio das forças verticais.

R₁ = 80 kN, R₂ = 40 kN

Momento fletor em cada marca

Some os momentos de todas as forças de um lado do corte. O momento que traciona embaixo é positivo, o que traciona em cima é negativo.

M_A = 0, M_B = 160, M_C = 200, M_D = 240 kN·m, M_E = 160, M_F = 80, M_G = 0

Resposta

Marca D: M_D = 240 kN·m

10.Esforço cortante e momento fletor

Resposta: M_max = 57,59 kN·m

Método das seções: corte a viga onde você quer os esforços internos e fique com um lado. O esforço cortante V equilibra as forças verticais desse lado, e o momento fletor M equilibra os momentos delas em relação ao corte. Momento máximo: como dM/dx = V, o momento fletor atinge seu pico onde o esforço cortante passa por zero, seja em uma carga concentrada, seja dentro de uma carga distribuída.

Reações de apoio

Equilíbrio da viga inteira.

Resultante da carga distribuída: W = w·ℓ = 12·3 = 36 kN, atuando em x̄ = 3,5 m

ΣM_A = 0: R_B·8 = 12·3·3,5

R_B = 126/8 = 15,75 kN

ΣF_y = 0: R_A = 36 − 15,75 = 20,25 kN

Cortante nulo

O esforço cortante começa em R_A, fica constante em qualquer trecho descarregado e cai com inclinação w dentro da carga.

R_A − w·(x₀ − 2) = 0

x₀ = 2 + 20,25/12 = 3,688 m

Momento máximo

M_max = R_A·x₀ − w·(x₀ − 2)²/2 = 20,25·3,688 − 12·1,688²/2 = 57,59 kN·m

Resposta

M_max = 57,59 kN·m

11.Centroide e momento de inércia

Resposta: I_x = 18,04 × 10⁶ mm⁴

Áreas compostas: divida a seção em retângulos. O centroide é a média ponderada pelas áreas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. O momento de inércia em relação ao eixo centroidal soma o bh³/12 próprio de cada parte e seu termo de eixos paralelos A·d², onde d é a distância do centroide da parte ao centroide geral. A tensão de flexão é σ = M·y/I.

Divida em retângulos

Tome a base com a largura total e as duas abas acima dela (altura h − t), para que nada seja contado duas vezes.

base: A₁ = 300·10 = 3000 mm², y₁ = 5 mm

duas abas: A₂ = 2·10·160 = 3200 mm², y₂ = 10 + 160/2 = 90 mm

Centroide

ȳ = (3000·5 + 3200·90)/6200 = 48,87 mm

Teorema dos eixos paralelos

base: 300·10³/12 + 3000·(5 − 48,87)² = 5,799 × 10⁶ mm⁴

duas abas: 2·10·160³/12 + 3200·(90 − 48,87)² = 1,224 × 10⁷ mm⁴

I_x = 5,799 × 10⁶ + 1,224 × 10⁷

I_x = 1,804 × 10⁷ mm⁴ = 18,04 × 10⁶ mm⁴

Resposta

I_x = 18,04 × 10⁶ mm⁴

12.Centroide e momento de inércia

Resposta: σ_base = 337,9 MPa

Divida em dois retângulos

Meça todo y a partir da borda inferior.

mesa: A_f = 120·25 = 3000 mm², y_f = 140 + 25/2 = 152,5 mm

alma: A_w = 18·140 = 2520 mm², y_w = 140/2 = 70 mm

Centroide

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (3000·152,5 + 2520·70)/5520 = 114,8 mm

Teorema dos eixos paralelos

mesa: 120·25³/12 + 3000·(152,5 − 114,8)² = 4,412 × 10⁶ mm⁴

alma: 18·140³/12 + 2520·(70 − 114,8)² = 9,182 × 10⁶ mm⁴

I_x = 4,412 × 10⁶ + 9,182 × 10⁶ = 1,359 × 10⁷ mm⁴

Tensão de flexão

A borda inferior está a ȳ do eixo.

y = 114,8 mm

σ = M·y/I = 4 × 10⁷·114,8/1,359 × 10⁷ = 337,9 MPa

Resposta

σ_base = 337,9 MPa

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