Estática: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 12 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Vetores: produto escalar e vetorial

Módulo: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
Vetor unitário: û = a/|a|
Componentes a partir de um ângulo: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
Produto escalar: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
Projeção escalar de a sobre b: a·b/|b|
Trabalho: W = F·d
Produto vetorial: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
Áreas: paralelogramo |a × b|, triângulo ½|a × b|
Momento em relação a O: M_O = r × F, r = A − O
Volume de um paralelepípedo: V = |a·(b × c)|

Método

Escreva todo vetor em componentes; para uma força dada por um módulo e um ângulo, use F·cos θ e F·sin θ.
Para comprimentos e direções use o módulo √(x² + y² + z²) e o vetor unitário a/|a|.
Use o produto escalar para ângulos, projeções, perpendicularidade e trabalho: a·b = |a||b|cos θ.
Use o produto vetorial para vetores perpendiculares, áreas e momentos: escreva as três componentes com cuidado, mantendo a ordem a × b.

Reações de apoio em vigas

Equilíbrio: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Carga uniforme: resultante w·L no meio da carga
Momento: M = F·d

Método

Desenhe um diagrama de corpo livre e substitua cada apoio por suas reações.
Substitua cada carga distribuída por uma única força no seu centroide.
Tome momentos em relação a um apoio para encontrar a reação no outro.
Use ΣF_y = 0 para encontrar a reação restante e confira com uma segunda equação de momentos.

Treliça: método dos nós

Método dos nós: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Método das seções: ΣM = 0 about a cut point
Esforço na barra: positivo = tração, negativo = compressão

Método

Encontre as reações de apoio da treliça inteira.
Método dos nós: comece em um nó com no máximo duas forças de barra desconhecidas e use ΣF_x = 0 e ΣF_y = 0.
Método das seções: corte a barra de que você precisa e tome momentos em relação a um ponto onde as outras barras desconhecidas se encontram.
Suponha tração; uma resposta negativa significa compressão.

Pórticos e máquinas

Equilíbrio de cada membro: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Membro de duas forças: força ao longo da reta que passa pelos seus dois pinos
Força no pino: iguais e opostas nos dois membros que ele liga
Módulo de uma força no pino: F = √(F_x² + F_y²)
Alavanca, alicate, alavanca angular: F_in·a = F_out·b
Articulação de joelho: F_link = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
Carga uniforme: resultante w·L no meio da carga

Método

Desenhe a estrutura inteira e encontre as reações de apoio se houver no máximo três incógnitas.
Identifique os membros de duas forças: carregados apenas em dois pinos, sua força atua ao longo da reta entre os pinos.
Desmonte o pórtico e desenhe cada membro separadamente, com forças nos pinos iguais e opostas onde os membros se encontram.
Para cada membro, tome momentos em torno de um pino com forças desconhecidas e use depois ΣF_x = 0 e ΣF_y = 0; combine as componentes em um módulo só no final.

Esforço cortante e momento fletor

Cortante e momento: V = ΣF de um lado, M = ΣF·d de um lado
Tensão de flexão: σ = M·y/I
Retângulo: I = bh³/12
Módulo de resistência: W = I/y_max
Viga biapoiada, carga uniforme: M_max = wL²/8

Método

Encontre as reações de apoio pelo equilíbrio da viga inteira.
Corte a viga na seção de que você precisa e fique com um dos lados.
Esforço cortante: soma das forças verticais daquele lado. Momento fletor: soma dos momentos dessas forças em relação ao corte.
Para o momento máximo, encontre onde o esforço cortante é zero.

Centroide e momento de inércia

Centroide: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Retângulo: I = bh³/12
Teorema dos eixos paralelos: I = I_c + A·d²
Seção composta: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

2Exercícios

1.Vetores: produto escalar e vetorialMédia

Encontre a projeção escalar comp_b a de a = (−7, 2, 1) sobre b = (1, −3, −5), isto é, a componente de a na direção de b.

a = (−7, 2, 1)b = (1, −3, −5)

comp_b a =

2.Vetores: produto escalar e vetorialDifícil

Encontre a área A do triângulo de vértices A(0, 2, −4), B(0, 3, 3) e C(−3, −2, −2). As coordenadas estão em metros.

A(0, 2, −4)B(0, 3, 3)C(−3, −2, −2)

A = m²

3.Reações de apoio em vigasMédia

A viga simplesmente apoiada tem um apoio fixo em A e um apoio móvel em B. Ela suporta uma carga concentrada P a 3 m de A e um binário anti-horário M a 6 m de A. Encontre a reação vertical R_A, considerando positivo para cima.

L = 10 mP = 65 kN em 3 mM = 15 kN·m (anti-horário) em 6 m

R_A = kN

4.Reações de apoio em vigasDifícil

A viga tem um apoio fixo em A e um apoio móvel em B, a 3 m de A, e se estende em balanço além de B até a extremidade livre C. Ela suporta uma carga concentrada P a 1 m de A e uma carga uniformemente distribuída w de 2 m até a extremidade livre em 4 m. Encontre a reação vertical R_A, considerando positivo para cima.

AB = 3 mAC = 4 mP = 10 kN em 1 mw = 8 kN/m de 2 a 4 m

R_A = kN

5.Treliça: método dos nósMédia

Use o método dos nós para encontrar a força F_AB na barra AB. Dê tração como positiva e compressão como negativa.

vão = 4 maltura = 4 mB está a 3 m de Acarga vertical = 55 kN

F_AB = kN

6.Treliça: método dos nósDifícil

Use o método dos nós para encontrar a força F_AB na barra AB. Dê tração como positiva e compressão como negativa.

vão = 8 maltura = 3 mB está a 7 m de Acarga vertical = 60 kNcarga horizontal = 10 kN →

F_AB = kN

7.Pórticos e máquinasMédia

No grampo de articulação de joelho mostrado, duas barras iguais AB e BC estão articuladas em B, e cada uma faz 12° com a reta AC. Uma força para baixo de 500 N é aplicada em B. O cursor C pressiona uma peça. Desprezando o atrito e os pesos, encontre a força de aperto horizontal Q.

F = 500 Nθ = 12°

Q = N

8.Pórticos e máquinasDifícil

Uma lança horizontal uniforme AB de peso 2 kN está articulada a uma parede em A e sustentada por um cabo de B ao ponto C da parede, 3 m acima de A. Uma carga de 15 kN está pendurada em B. Encontre o módulo da reação no pino A.

W = 15 kNW_b = 2 kNAB = 2,5 mAC = 3 m

A = kN

9.Esforço cortante e momento fletorMédia

A viga em balanço está engastada em A. Ela suporta uma carga uniformemente distribuída w em todo o comprimento e uma carga concentrada P a 2 m de A. Encontre o momento fletor M_A no engaste A. Use momentos positivos quando tracionam a face inferior e cortante para cima na face esquerda positivo.

L = 4 mP = 30 kN em 2 mw = 3 kN/m de 0 a 4 m

M_A = kN·m

10.Esforço cortante e momento fletorDifícil

A viga se apoia em um apoio fixo em A e em um apoio móvel em B e se estende 2 m além de B, em balanço, até a extremidade livre C. Uma carga uniformemente distribuída w atua em todo o comprimento A–C. Encontre o momento fletor positivo máximo M_max entre os apoios.

L = 10 mw = 6 kN/m de 0 a 10 mapoios em x = 0 e x = 8 m

M_max = kN·m

11.Centroide e momento de inérciaMédia

Um perfil I simétrico tem mesas de 140 mm de largura e 24 mm de espessura, altura total de 480 mm e alma de 10 mm de espessura. Encontre seu momento de inércia I_x em relação ao eixo centroidal horizontal x.

B = 140 mmH = 480 mmt_f = 24 mmt_w = 10 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.Centroide e momento de inérciaDifícil

Um perfil I simétrico tem mesas de 120 mm de largura e 14 mm de espessura, altura total de 420 mm e alma de 10 mm de espessura. Ela suporta um momento fletor de 120 kN·m em relação ao eixo x. Encontre o módulo da tensão de flexão máxima σ_max na seção.

B = 120 mmH = 420 mmt_f = 14 mmt_w = 10 mmM = 120 kN·m

σ_max = MPa

3Soluções

1.Vetores: produto escalar e vetorial

Resposta: comp_b a = −3,043

Dot product: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.

Produto escalar

a·b = (−7)·1 + 2·(−3) + 1·(−5) = −18

Comprimento de b

|b| = √(1² + (−3)² + (−5)²) = 5,916

Projeção escalar

comp_b a = a·b/|b| = −18/5,916 = −3,043

Resposta

comp_b a = −3,043

Negativa: a tem uma componente que aponta contra b.

2.Vetores: produto escalar e vetorial

Resposta: A = 18,37 m²

Cross product: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is M_O = r × F, with r = A − O.

Vetores das arestas

AB = B − A = (0, 1, 7)

AC = C − A = (−3, −4, 2)

Produto vetorial

(AB × AC)_x = AB_yAC_z − AB_zAC_y = 1·2 − 7·(−4) = 30

(AB × AC)_y = AB_zAC_x − AB_xAC_z = 7·(−3) − 0·2 = −21

(AB × AC)_z = AB_xAC_y − AB_yAC_x = 0·(−4) − 1·(−3) = 3

|AB × AC| = √(30² + (−21)² + 3²) = 36,74

Área do triângulo

A = ½·36,74 = 18,37 m²

Resposta

A = 18,37 m²

3.Reações de apoio em vigas

Resposta: R_A = 47 kN

Equilíbrio estático: um corpo em repouso tem ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 e ΣM = 0 em relação a qualquer ponto. Substitua cada carga distribuída pela sua resultante (a sua área) atuando no centroide do diagrama de carga, e tome momentos em relação a um apoio para eliminar a reação desse apoio da equação.

Momentos em relação a A

Anti-horário positivo.

ΣM_A = 0: R_B·10 − 65·3 + 15 = 0

R_B = 180/10 = 18 kN

Equilíbrio vertical

R_A = 65 − 18 = 47 kN

Resposta

R_A = 47 kN

Uma reação negativa atua para baixo.

4.Reações de apoio em vigas

Resposta: R_A = 6,667 kN

Resultante da carga distribuída

W = 8·2 = 16 kN, x̄ = (2 + 4)/2 = 3 m

Equilíbrio

Momentos em relação a A, positivos no sentido anti-horário. Depois o equilíbrio das forças verticais.

ΣM_A = 0: R_B·3 = 10·1 + 16·3

R_B = 58/3 = 19,33 kN

R_A = 26 − 19,33 = 6,667 kN

Resposta

R_A = 6,667 kN

5.Treliça: método dos nós

Resposta: F_AB = −17,19 kN

Método dos nós: cada nó de uma treliça está em equilíbrio, então ΣF_x = 0 e ΣF_y = 0 em cada nó. Comece por um nó com no máximo duas forças de barra desconhecidas. Um resultado negativo significa que a barra está comprimida.

Reações de apoio

Equilíbrio da treliça inteira. Momentos em relação a A, positivos no sentido anti-horário.

ΣM_A = 0: C_y·4 = 55·3 → C_y = 41,25 kN

ΣF_y = 0: A_y = 55 − 41,25 = 13,75 kN

Nó A

Suponha que toda barra está tracionada (puxando para fora do nó). Só AB tem componente vertical em A.

sin α = 4/5 = 0,8

ΣF_y = 0: A_y + F_AB·sin α = 0

F_AB = −13,75/0,8 = −17,19 kN

Resposta

F_AB = −17,19 kN (compressão)

6.Treliça: método dos nós

Resposta: F_AB = −9,52 kN

Reações de apoio

Equilíbrio da treliça inteira. Momentos em relação a A, positivos no sentido anti-horário.

ΣM_A = 0: C_y·8 = 60·7 + 10·3 → C_y = 56,25 kN

ΣF_y = 0: A_y = 60 − 56,25 = 3,75 kN

ΣF_x = 0: A_x = −10 kN

Nó A

Suponha que toda barra está tracionada (puxando para fora do nó). Só AB tem componente vertical em A.

sin α = 3/7,616 = 0,3939

ΣF_y = 0: A_y + F_AB·sin α = 0

F_AB = −3,75/0,3939 = −9,52 kN

Resposta

F_AB = −9,52 kN (compressão)

7.Pórticos e máquinas

Resposta: Q = 1176 N

Máquinas: alicates, alavancas, articulações e grampos transformam uma força de entrada em uma força de saída maior ou de outra direção. Desenhe uma peça como corpo livre e tome momentos em torno do seu pivô: a força no pino sai da equação, e F_in·a = F_out·b dá a vantagem mecânica a/b. A força no pino decorre então de ΣF = 0 na mesma peça. Em uma articulação de joelho, duas barras se encontram em um ângulo raso θ; cada barra é um membro de duas forças, de modo que uma pequena força F na junta cria grandes forças F/(2 sen θ) nas barras e uma força de aperto F/(2 tan θ).

Equilíbrio do pino B

2·F_link·sin 12° = 500

F_link = 1202 N

Força de aperto

Q = F_link·cos 12° = 500/(2·tan 12°) = 1176 N

Resposta

Q = 1176 N

A razão de forças Q/F = 2,352 cresce sem limite à medida que as barras se endireitam.

8.Pórticos e máquinas

Resposta: A = 13,37 kN

Pórticos e máquinas: ao contrário de uma treliça, um pórtico contém pelo menos um membro que suporta forças em mais de dois pontos, ou uma carga entre seus pinos. Procure primeiro os membros de duas forças: um membro carregado apenas em dois pinos tem sua força ao longo da reta que passa por eles, de modo que traz uma incógnita, e não duas. Depois use a estrutura inteira para as reações de apoio quando houver no máximo três incógnitas. Por fim, desmonte o pórtico: desenhe cada membro separadamente, com as forças nos pinos iguais e opostas nos dois membros que eles ligam, e escreva ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 e ΣM = 0 para ele. Tomar momentos em torno de um pino elimina da equação as duas componentes da força desse pino.

Tração no cabo

T = (15 + 2/2)/0,7682 = 20,83 kN

Componentes em A

A_x = T·cos β = 13,33 kN

A_y = 15 + 2 − T·sin β = 1 kN

Módulo

A = √(13,33² + 1²) = 13,37 kN

Resposta

A = 13,37 kN

9.Esforço cortante e momento fletor

Resposta: M_A = −84 kN·m

Fique com a parte da extremidade livre

P: −30·2 = −60 kN·m

w: −3·4²/2 = −24 kN·m

M_A = −60 − 24 = −84 kN·m

Resposta

M_A = −84 kN·m

Negativo significa tração na face superior.

10.Esforço cortante e momento fletor

Resposta: M_max = 42,19 kN·m

Método das seções: corte a viga onde você quer os esforços internos e fique com um lado. O esforço cortante V equilibra as forças verticais desse lado, e o momento fletor M equilibra os momentos delas em relação ao corte. Momento máximo: como dM/dx = V, o momento fletor atinge seu pico onde o esforço cortante passa por zero, seja em uma carga concentrada, seja dentro de uma carga distribuída.

Reações de apoio

Equilíbrio da viga inteira, incluindo a carga no balanço.

Resultante da carga distribuída: W = w·ℓ = 6·10 = 60 kN, atuando em x̄ = 5 m

ΣM_A = 0: R_B·8 = 6·10·5

R_B = 300/8 = 37,5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 60 − 37,5 = 22,5 kN

Cortante nulo

R_A − w·x₀ = 0 → x₀ = 22,5/6 = 3,75 m

Momento positivo máximo

M_max = R_A·x₀ − w·x₀²/2 = R_A²/(2w) = 22,5²/(2·6) = 42,19 kN·m

Resposta

M_max = 42,19 kN·m

11.Centroide e momento de inércia

Resposta: I_x = 416,8 × 10⁶ mm⁴

Momento de inércia de área: para um retângulo em relação ao seu próprio eixo centroidal I = bh³/12, e em relação à sua base bh³/3 (teorema dos eixos paralelos I = I_c + A·d²). Um furo é tratado subtraindo seu I, desde que as duas partes usem o mesmo eixo. O módulo de resistência elástico é S = I/c, onde c é a distância até a fibra mais afastada.

Retângulo externo menos os dois recortes laterais

Os dois recortes juntos têm (B − t_w) de largura e h_w = H − 2t_f de altura, e compartilham o eixo x.

h_w = 480 − 2·24 = 432 mm

I_x = (B·H³ − (B − t_w)·h_w³)/12 = (140·480³ − 130·432³)/12

I_x = 4,168 × 10⁸ mm⁴ = 416,8 × 10⁶ mm⁴

Resposta

I_x = 416,8 × 10⁶ mm⁴

12.Centroide e momento de inércia

Resposta: σ_max = 133,5 MPa

Áreas compostas: divida a seção em retângulos. O centroide é a média ponderada pelas áreas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. O momento de inércia em relação ao eixo centroidal soma o bh³/12 próprio de cada parte e seu termo de eixos paralelos A·d², onde d é a distância do centroide da parte ao centroide geral. A tensão de flexão é σ = M·y/I.

Retângulo externo menos os dois recortes laterais

Os dois recortes juntos têm (B − t_w) de largura e h_w = H − 2t_f de altura, e compartilham o eixo x.

h_w = 420 − 2·14 = 392 mm

I_x = (B·H³ − (B − t_w)·h_w³)/12 = (120·420³ − 110·392³)/12

I_x = 1,887 × 10⁸ mm⁴

Tensão de flexão

y = 210 mm

σ = M·y/I = 1,2 × 10⁸·210/1,887 × 10⁸ = 133,5 MPa

Resposta

σ_max = 133,5 MPa

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