Estática: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 12 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Vetores: produto escalar e vetorial

Módulo: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
Vetor unitário: û = a/|a|
Componentes a partir de um ângulo: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
Produto escalar: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
Projeção escalar de a sobre b: a·b/|b|
Trabalho: W = F·d
Produto vetorial: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
Áreas: paralelogramo |a × b|, triângulo ½|a × b|
Momento em relação a O: M_O = r × F, r = A − O
Volume de um paralelepípedo: V = |a·(b × c)|

Método

Escreva todo vetor em componentes; para uma força dada por um módulo e um ângulo, use F·cos θ e F·sin θ.
Para comprimentos e direções use o módulo √(x² + y² + z²) e o vetor unitário a/|a|.
Use o produto escalar para ângulos, projeções, perpendicularidade e trabalho: a·b = |a||b|cos θ.
Use o produto vetorial para vetores perpendiculares, áreas e momentos: escreva as três componentes com cuidado, mantendo a ordem a × b.

Reações de apoio em vigas

Equilíbrio: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Carga uniforme: resultante w·L no meio da carga
Momento: M = F·d

Método

Desenhe um diagrama de corpo livre e substitua cada apoio por suas reações.
Substitua cada carga distribuída por uma única força no seu centroide.
Tome momentos em relação a um apoio para encontrar a reação no outro.
Use ΣF_y = 0 para encontrar a reação restante e confira com uma segunda equação de momentos.

Treliça: método dos nós

Método dos nós: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Método das seções: ΣM = 0 about a cut point
Esforço na barra: positivo = tração, negativo = compressão

Método

Encontre as reações de apoio da treliça inteira.
Método dos nós: comece em um nó com no máximo duas forças de barra desconhecidas e use ΣF_x = 0 e ΣF_y = 0.
Método das seções: corte a barra de que você precisa e tome momentos em relação a um ponto onde as outras barras desconhecidas se encontram.
Suponha tração; uma resposta negativa significa compressão.

Pórticos e máquinas

Equilíbrio de cada membro: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Membro de duas forças: força ao longo da reta que passa pelos seus dois pinos
Força no pino: iguais e opostas nos dois membros que ele liga
Módulo de uma força no pino: F = √(F_x² + F_y²)
Alavanca, alicate, alavanca angular: F_in·a = F_out·b
Articulação de joelho: F_link = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
Carga uniforme: resultante w·L no meio da carga

Método

Desenhe a estrutura inteira e encontre as reações de apoio se houver no máximo três incógnitas.
Identifique os membros de duas forças: carregados apenas em dois pinos, sua força atua ao longo da reta entre os pinos.
Desmonte o pórtico e desenhe cada membro separadamente, com forças nos pinos iguais e opostas onde os membros se encontram.
Para cada membro, tome momentos em torno de um pino com forças desconhecidas e use depois ΣF_x = 0 e ΣF_y = 0; combine as componentes em um módulo só no final.

Esforço cortante e momento fletor

Cortante e momento: V = ΣF de um lado, M = ΣF·d de um lado
Tensão de flexão: σ = M·y/I
Retângulo: I = bh³/12
Módulo de resistência: W = I/y_max
Viga biapoiada, carga uniforme: M_max = wL²/8

Método

Encontre as reações de apoio pelo equilíbrio da viga inteira.
Corte a viga na seção de que você precisa e fique com um dos lados.
Esforço cortante: soma das forças verticais daquele lado. Momento fletor: soma dos momentos dessas forças em relação ao corte.
Para o momento máximo, encontre onde o esforço cortante é zero.

Centroide e momento de inércia

Centroide: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Retângulo: I = bh³/12
Teorema dos eixos paralelos: I = I_c + A·d²
Seção composta: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

2Exercícios

1.Vetores: produto escalar e vetorialMédia

Encontre a projeção escalar comp_b a de a = (1, 6, 5) sobre b = (−5, 6, 5), isto é, a componente de a na direção de b.

a = (1, 6, 5)b = (−5, 6, 5)

comp_b a =

2.Vetores: produto escalar e vetorialDifícil

Uma força F = (20, 40, −10) N atua no ponto A(2, −4, −1). As coordenadas estão em metros. Encontre a componente z M_z do momento da força em relação a a origem O(0, 0, 0).

F = (20, 40, −10) NA(2, −4, −1) mO(0, 0, 0) m

M_z = N·m

3.Reações de apoio em vigasMédia

A viga tem um apoio fixo em A e um apoio móvel em B, a 3,5 m de A, e se estende em balanço além de B até a extremidade livre C. Encontre a reação vertical R_A, considerando positivo para cima.

AB = 3,5 mAC = 5 mP₁ = 35 kN em 2,5 mP₂ = 45 kN em 5 m

R_A = kN

4.Reações de apoio em vigasDifícil

A viga tem um apoio fixo em A e um apoio móvel em B, a 3 m de A, e se estende em balanço além de B até a extremidade livre C. Ela suporta uma carga concentrada P a 2 m de A e uma carga uniformemente distribuída w de 1,5 m até a extremidade livre em 4 m. Encontre a reação vertical R_B, considerando positivo para cima.

AB = 3 mAC = 4 mP = 15 kN em 2 mw = 4 kN/m de 1,5 a 4 m

R_B = kN

5.Treliça: método dos nósMédia

Use o método dos nós para encontrar a força F_AC na barra AC. Dê tração como positiva e compressão como negativa.

vão = 5 maltura = 2 mB está a 4 m de Acarga vertical = 10 kN

F_AC = kN

6.Treliça: método dos nósDifícil

Use o método dos nós para encontrar a força F_AB na barra AB. Dê tração como positiva e compressão como negativa.

vão = 6 maltura = 3 mB está a 4 m de Acarga vertical = 30 kNcarga horizontal = 15 kN →

F_AB = kN

7.Pórticos e máquinasMédia

O pórtico em A mostrado está apoiado em um pino em A e em um rolete em B, a 4,8 m de distância. As pernas se encontram no pino C, a 4,5 m de altura, e o tirante horizontal DE está a 2 m acima do solo. Uma carga de 5 kN atua em C. Encontre o módulo da força C que o pino C exerce sobre a perna BC.

P = 5 kNAB = 4,8 maltura de C = 4,5 maltura de DE = 2 m

C = kN

8.Pórticos e máquinasDifícil

Uma lança horizontal uniforme AB de peso 0,5 kN está articulada a uma parede em A e sustentada por um cabo de B ao ponto C da parede, 2 m acima de A. Uma carga de 12 kN está pendurada em B. Encontre o módulo da reação no pino A.

W = 12 kNW_b = 0,5 kNAB = 4 mAC = 2 m

A = kN

9.Esforço cortante e momento fletorMédia

A viga simplesmente apoiada suporta duas cargas concentradas. Encontre o momento fletor máximo M_max na viga.

L = 5 mP₁ = 65 kN em 1,5 mP₂ = 70 kN em 2 m

M_max = kN·m

10.Esforço cortante e momento fletorDifícil

A viga simplesmente apoiada suporta uma carga uniformemente distribuída w em todo o vão e uma carga concentrada P. Encontre o momento fletor máximo M_max na viga.

L = 8 mP = 10 kN em 4 mw = 2 kN/m de 0 a 8 m

M_max = kN·m

11.Centroide e momento de inérciaMédia

Uma placa de 120 mm × 200 mm tem um furo circular de diâmetro 50 mm na sua linha de centro vertical, com o centro a 140 mm acima da base. Encontre o momento de inércia da área I_x em torno do eixo horizontal que passa pelo centroide.

b = 120 mmh = 200 mmd = 50 mmcentro do furo: y = 140 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.Centroide e momento de inérciaDifícil

A seção T é usada como viga com a mesa em cima e suporta um momento fletor positivo de 50 kN·m. Encontre a tensão de flexão σ_base na borda inferior.

b_f = 240 mmt_f = 15 mmt_w = 16 mmh_w = 160 mmM = 50 kN·m

σ_base = MPa

3Soluções

1.Vetores: produto escalar e vetorial

Resposta: comp_b a = 6,039

Dot product: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.

Produto escalar

a·b = 1·(−5) + 6·6 + 5·5 = 56

Comprimento de b

|b| = √((−5)² + 6² + 5²) = 9,274

Projeção escalar

comp_b a = a·b/|b| = 56/9,274 = 6,039

Resposta

comp_b a = 6,039

2.Vetores: produto escalar e vetorial

Resposta: M_z = 160 N·m

Cross product: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is M_O = r × F, with r = A − O.

Vetor de posição de O a A

r = A − O = (2, −4, −1) − (0, 0, 0) = (2, −4, −1) m

Momento M = r × F

(r × F)_x = r_yF_z − r_zF_y = (−4)·(−10) − (−1)·40 = 80 N·m

(r × F)_y = r_zF_x − r_xF_z = (−1)·20 − 2·(−10) = 0 N·m

(r × F)_z = r_xF_y − r_yF_x = 2·40 − (−4)·20 = 160 N·m

Componente pedida

M_z = 160 N·m

Resposta

M_z = 160 N·m

3.Reações de apoio em vigas

Resposta: R_A = −9,286 kN

Equilíbrio estático: um corpo em repouso tem ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 e ΣM = 0 em relação a qualquer ponto. Substitua cada carga distribuída pela sua resultante (a sua área) atuando no centroide do diagrama de carga, e tome momentos em relação a um apoio para eliminar a reação desse apoio da equação.

Momentos em relação a A

Anti-horário positivo.

ΣM_A = 0: R_B·3,5 = 35·2,5 + 45·5

R_B = 312,5/3,5 = 89,29 kN

Equilíbrio vertical

R_A = 35 + 45 − 89,29 = −9,286 kN

Resposta

R_A = −9,286 kN

R_A é negativa: o apoio fixo em A precisa segurar a viga para baixo.

4.Reações de apoio em vigas

Resposta: R_B = 19,17 kN

Resultante da carga distribuída

W = 4·2,5 = 10 kN, x̄ = (1,5 + 4)/2 = 2,75 m

Equilíbrio

Momentos em relação a A, positivos no sentido anti-horário. Depois o equilíbrio das forças verticais.

ΣM_A = 0: R_B·3 = 15·2 + 10·2,75

R_B = 57,5/3 = 19,17 kN

R_A = 25 − 19,17 = 5,833 kN

Resposta

R_B = 19,17 kN

5.Treliça: método dos nós

Resposta: F_AC = 4 kN

Método dos nós: cada nó de uma treliça está em equilíbrio, então ΣF_x = 0 e ΣF_y = 0 em cada nó. Comece por um nó com no máximo duas forças de barra desconhecidas. Um resultado negativo significa que a barra está comprimida.

Reações de apoio

Equilíbrio da treliça inteira. Momentos em relação a A, positivos no sentido anti-horário.

ΣM_A = 0: C_y·5 = 10·4 → C_y = 8 kN

ΣF_y = 0: A_y = 10 − 8 = 2 kN

Nó C

O apoio móvel dá apenas uma reação vertical, então o nó C tem só duas forças de barra desconhecidas. Suponha ambas tracionadas.

sin γ = 2/2,236 = 0,8944, cos γ = 1/2,236 = 0,4472

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −8/0,8944 = −8,944 kN

ΣF_x = 0: −F_AC − F_BC·cos γ = 0 → F_AC = −(−8,944)·0,4472 = 4 kN

Resposta

F_AC = 4 kN (tração)

6.Treliça: método dos nós

Resposta: F_AB = −4,167 kN

Reações de apoio

Equilíbrio da treliça inteira. Momentos em relação a A, positivos no sentido anti-horário.

ΣM_A = 0: C_y·6 = 30·4 + 15·3 → C_y = 27,5 kN

ΣF_y = 0: A_y = 30 − 27,5 = 2,5 kN

ΣF_x = 0: A_x = −15 kN

Nó A

Suponha que toda barra está tracionada (puxando para fora do nó). Só AB tem componente vertical em A.

sin α = 3/5 = 0,6

ΣF_y = 0: A_y + F_AB·sin α = 0

F_AB = −2,5/0,6 = −4,167 kN

Resposta

F_AB = −4,167 kN (compressão)

7.Pórticos e máquinas

Resposta: C = 3,466 kN

Pórticos e máquinas: ao contrário de uma treliça, um pórtico contém pelo menos um membro que suporta forças em mais de dois pontos, ou uma carga entre seus pinos. Procure primeiro os membros de duas forças: um membro carregado apenas em dois pinos tem sua força ao longo da reta que passa por eles, de modo que traz uma incógnita, e não duas. Depois use a estrutura inteira para as reações de apoio quando houver no máximo três incógnitas. Por fim, desmonte o pórtico: desenhe cada membro separadamente, com as forças nos pinos iguais e opostas nos dois membros que eles ligam, e escreva ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 e ΣM = 0 para ele. Tomar momentos em torno de um pino elimina da equação as duas componentes da força desse pino.

Força no tirante a partir da perna BC

B_y = 2,5 kN

T = 2,5·2,4/2,5 = 2,4 kN

Componentes da força no pino sobre BC

C_x = T = 2,4 kN, C_y = −B_y = −2,5 kN

Módulo

C = √(2,4² + 2,5²) = 3,466 kN

Resposta

C = 3,466 kN

8.Pórticos e máquinas

Resposta: A = 24,5 kN

Tração no cabo

T = (12 + 0,5/2)/0,4472 = 27,39 kN

Componentes em A

A_x = T·cos β = 24,5 kN

A_y = 12 + 0,5 − T·sin β = 0,25 kN

Módulo

A = √(24,5² + 0,25²) = 24,5 kN

Resposta

A = 24,5 kN

9.Esforço cortante e momento fletor

Resposta: M_max = 142,5 kN·m

Método das seções: corte a viga onde você quer os esforços internos e fique com um lado. O esforço cortante V equilibra as forças verticais desse lado, e o momento fletor M equilibra os momentos delas em relação ao corte. Momento máximo: como dM/dx = V, o momento fletor atinge seu pico onde o esforço cortante passa por zero, seja em uma carga concentrada, seja dentro de uma carga distribuída.

Reações de apoio

Equilíbrio da viga inteira.

ΣM_A = 0: R_B·5 = 65·1,5 + 70·2

R_B = 237,5/5 = 47,5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 135 − 47,5 = 87,5 kN

Momento sob cada carga

Fique com a parte à esquerda de cada carga.

sob P₁: M = R_A·1,5 = 87,5·1,5 = 131,3 kN·m

sob P₂: M = R_B·3 = 47,5·3 = 142,5 kN·m

Maior valor

M_max = 142,5 kN·m (sob P₂)

Resposta

M_max = 142,5 kN·m

10.Esforço cortante e momento fletor

Resposta: M_max = 36 kN·m

Reações de apoio

Equilíbrio da viga inteira.

Resultante da carga distribuída: W = w·ℓ = 2·8 = 16 kN, atuando em x̄ = 4 m

ΣM_A = 0: R_B·8 = 10·4 + 2·8·4

R_B = 104/8 = 13 kN

ΣF_y = 0: R_A = 26 − 13 = 13 kN

Onde V = 0?

V(4⁻) = R_A − w·4 = 5 kN

V(4⁺) = 5 − 10 = −5 kN

O cortante muda de sinal na carga, então o máximo fica sob a carga.

Momento máximo

M_max = R_A·4 − w·4²/2 = 13·4 − 2·4²/2 = 36 kN·m

Resposta

M_max = 36 kN·m

Ele ocorre em x = 4 m a partir de A.

11.Centroide e momento de inércia

Resposta: I_x = 76,27 × 10⁶ mm⁴

Seções com furos: trate um furo como uma área negativa. O centroide é ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), com A₁, y₁ para a placa inteira e A₂, y₂ para o furo. Para o momento de inércia da área (segundo momento de área) em torno do eixo que passa pelo centroide, use o teorema dos eixos paralelos para cada parte e subtraia o furo: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), em que d é a distância do centroide próprio de cada parte ao eixo que passa por ȳ. Um retângulo tem I_c = bh³/12 e um círculo I_c = πd⁴/64.

Centroide

ȳ = (24000·100 − 1963·140)/(24000 − 1963) = 96,44 mm

Placa inteira em torno de ȳ

120·200³/12 + 24000·3,564² = 80,3 × 10⁶ mm⁴

Furo em torno de ȳ

π·50⁴/64 + 1963·43,56² = 4,033 × 10⁶ mm⁴

Subtraia

I_x = 76,27 × 10⁶ mm⁴

Resposta

I_x = 76,27 × 10⁶ mm⁴

12.Centroide e momento de inércia

Resposta: σ_base = 386,1 MPa

Áreas compostas: divida a seção em retângulos. O centroide é a média ponderada pelas áreas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. O momento de inércia em relação ao eixo centroidal soma o bh³/12 próprio de cada parte e seu termo de eixos paralelos A·d², onde d é a distância do centroide da parte ao centroide geral. A tensão de flexão é σ = M·y/I.

Divida em dois retângulos

Meça todo y a partir da borda inferior.

mesa: A_f = 240·15 = 3600 mm², y_f = 160 + 15/2 = 167,5 mm

alma: A_w = 16·160 = 2560 mm², y_w = 160/2 = 80 mm

Centroide

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (3600·167,5 + 2560·80)/6160 = 131,1 mm

Teorema dos eixos paralelos

mesa: 240·15³/12 + 3600·(167,5 − 131,1)² = 4,828 × 10⁶ mm⁴

alma: 16·160³/12 + 2560·(80 − 131,1)² = 1,216 × 10⁷ mm⁴

I_x = 4,828 × 10⁶ + 1,216 × 10⁷ = 1,698 × 10⁷ mm⁴

Tensão de flexão

A borda inferior está a ȳ do eixo.

y = 131,1 mm

σ = M·y/I = 5 × 10⁷·131,1/1,698 × 10⁷ = 386,1 MPa

Resposta

σ_base = 386,1 MPa

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