Na janela de impressão, escolha “Salvar como PDF” para guardar uma cópia no seu dispositivo.
1Fórmulas e métodos
Vetores: produto escalar e vetorial
Módulo
|a| = √(ax² + ay² + az²)
Vetor unitário
û = a/|a|
Componentes a partir de um ângulo
Fx = F·cos θ, Fy = F·sin θ
Produto escalar
a·b = axbx + ayby + azbz = |a||b|cos θ
Projeção escalar de a sobre b
a·b/|b|
Trabalho
W = F·d
Produto vetorial
a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx)
Áreas
paralelogramo |a × b|, triângulo ½|a × b|
Momento em relação a O
MO = r × F, r = A − O
Volume de um paralelepípedo
V = |a·(b × c)|
Método
Escreva todo vetor em componentes; para uma força dada por um módulo e um ângulo, use F·cos θ e F·sin θ.
Para comprimentos e direções use o módulo √(x² + y² + z²) e o vetor unitário a/|a|.
Use o produto escalar para ângulos, projeções, perpendicularidade e trabalho: a·b = |a||b|cos θ.
Use o produto vetorial para vetores perpendiculares, áreas e momentos: escreva as três componentes com cuidado, mantendo a ordem a × b.
Reações de apoio em vigas
Equilíbrio
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Carga uniforme
resultante w·L no meio da carga
Momento
M = F·d
Método
Desenhe um diagrama de corpo livre e substitua cada apoio por suas reações.
Substitua cada carga distribuída por uma única força no seu centroide.
Tome momentos em relação a um apoio para encontrar a reação no outro.
Use ΣFy = 0 para encontrar a reação restante e confira com uma segunda equação de momentos.
Treliça: método dos nós
Método dos nós
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
Método das seções
ΣM = 0 about a cut point
Esforço na barra
positivo = tração, negativo = compressão
Método
Encontre as reações de apoio da treliça inteira.
Método dos nós: comece em um nó com no máximo duas forças de barra desconhecidas e use ΣFx = 0 e ΣFy = 0.
Método das seções: corte a barra de que você precisa e tome momentos em relação a um ponto onde as outras barras desconhecidas se encontram.
Suponha tração; uma resposta negativa significa compressão.
Pórticos e máquinas
Equilíbrio de cada membro
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Membro de duas forças
força ao longo da reta que passa pelos seus dois pinos
Força no pino
iguais e opostas nos dois membros que ele liga
Módulo de uma força no pino
F = √(Fx² + Fy²)
Alavanca, alicate, alavanca angular
Fin·a = Fout·b
Articulação de joelho
Flink = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
Carga uniforme
resultante w·L no meio da carga
Método
Desenhe a estrutura inteira e encontre as reações de apoio se houver no máximo três incógnitas.
Identifique os membros de duas forças: carregados apenas em dois pinos, sua força atua ao longo da reta entre os pinos.
Desmonte o pórtico e desenhe cada membro separadamente, com forças nos pinos iguais e opostas onde os membros se encontram.
Para cada membro, tome momentos em torno de um pino com forças desconhecidas e use depois ΣFx = 0 e ΣFy = 0; combine as componentes em um módulo só no final.
Esforço cortante e momento fletor
Cortante e momento
V = ΣF de um lado, M = ΣF·d de um lado
Tensão de flexão
σ = M·y/I
Retângulo
I = bh³/12
Módulo de resistência
W = I/ymax
Viga biapoiada, carga uniforme
Mmax = wL²/8
Método
Encontre as reações de apoio pelo equilíbrio da viga inteira.
Corte a viga na seção de que você precisa e fique com um dos lados.
Esforço cortante: soma das forças verticais daquele lado. Momento fletor: soma dos momentos dessas forças em relação ao corte.
Para o momento máximo, encontre onde o esforço cortante é zero.
Centroide e momento de inércia
Centroide
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
Retângulo
I = bh³/12
Teorema dos eixos paralelos
I = Ic + A·d²
Seção composta
I = Σ(Ic,i + Aidi²)
2Exercícios
1.Vetores: produto escalar e vetorialMédia
Uma força constante F = (10, 30, 20) N atua sobre um objeto enquanto ele se move em linha reta do ponto A(−3, 0, 3) ao ponto B(1, −5, −5). As coordenadas estão em metros. Encontre o trabalho W realizado pela força.
F = (10, 30, 20) NA(−3, 0, 3) mB(1, −5, −5) m
W = J
2.Vetores: produto escalar e vetorialDifícil
O vetor unitário n̂ é perpendicular a a = (−3, −5, −2) e a b = (4, −1, −2) e tem componente z positiva. Encontre sua componente x n̂x.
a = (−3, −5, −2)b = (4, −1, −2)n̂z > 0
n̂x =
3.Reações de apoio em vigasMédia
A viga simplesmente apoiada tem um apoio fixo em A e um apoio móvel em B. Ela suporta uma carga concentrada P a 1,5 m de A e um binário horário M a 2,5 m de A. Encontre a reação vertical RB, considerando positivo para cima.
L = 6 mP = 15 kN em 1,5 mM = 40 kN·m (horário) em 2,5 m
RB = kN
4.Reações de apoio em vigasDifícil
A viga simplesmente apoiada tem um apoio fixo em A e um apoio móvel em B. Uma carga P atua a 2 m de A, inclinada a 50° em relação à horizontal, e uma carga vertical Q atua a 0,5 m de A. Encontre o módulo da força de reação total RA no apoio fixo A.
L = 4 mP = 30 kN em 2 m, θ = 50°Q = 25 kN em 0,5 m
RA = kN
5.Treliça: método dos nósMédia
Use o método dos nós para encontrar a força FAC na barra AC. Dê tração como positiva e compressão como negativa.
vão = 4 maltura = 3 mB está a 3 m de Acarga vertical = 45 kN
FAC = kN
6.Treliça: método dos nósDifícil
Exatamente um membro desta treliça não suporta força sob estas cargas. Qual é o membro de força nula? Clique nele no diagrama.
O pórtico em A mostrado está apoiado em um pino em A e em um rolete em B, a 2,4 m de distância. As pernas se encontram no pino C, a 2 m de altura, e o tirante horizontal DE está a 1 m acima do solo. Uma carga de 12 kN atua em C. Encontre o módulo da força C que o pino C exerce sobre a perna BC.
P = 12 kNAB = 2,4 maltura de C = 2 maltura de DE = 1 m
C = kN
8.Pórticos e máquinasDifícil
O pórtico mostrado tem pinos em A, B e C; A e C estão fixados ao solo a 5 m de distância, e B está a 2,5 m de altura e a 1,5 m à direita de A. O membro AB suporta uma carga vertical de 12 kN em K, a 0,6 m (na horizontal) de A, e uma carga horizontal de 5 kN para a direita atua em B sobre o membro AB. Encontre o valor da reação horizontal Ax em A.
P = 12 kNQ = 5 kNL = 5 mH = 2,5 mdistância horizontal de A a B = 1,5 mdistância horizontal de A a K = 0,6 m
Ax = kN
9.Esforço cortante e momento fletorMédia
Encontre o esforço cortante Vx na seção x = 1 m a partir do apoio A. Use momentos positivos quando tracionam a face inferior e cortante para cima na face esquerda positivo.
L = 8 mw = 8 kN/m de 0 a 8 mx = 1 m
Vx = kN
10.Esforço cortante e momento fletorDifícil
A viga simplesmente apoiada suporta uma carga uniformemente distribuída sobre parte do vão. Encontre o momento fletor máximo Mmax na viga.
L = 10 mw = 8 kN/m de 2 a 10 m
Mmax = kN·m
11.Centroide e momento de inérciaMédia
Um perfil I simétrico tem mesas de 100 mm de largura e 12 mm de espessura, altura total de 500 mm e alma de 12 mm de espessura. Encontre seu momento de inércia Ix em relação ao eixo centroidal horizontal x.
B = 100 mmH = 500 mmtf = 12 mmtw = 12 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
12.Centroide e momento de inérciaDifícil
A seção T é usada como viga com a mesa em cima e suporta um momento fletor positivo de 15 kN·m. Encontre o valor da tensão de flexão σtopo na borda superior.
Dot product:a·b = axbx + ayby + azbz = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.
Deslocamento
d = B − A = (1, −5, −5) − (−3, 0, 3) = (4, −5, −8) m
Trabalho
W = F·d = 10·4 + 30·(−5) + 20·(−8) = −270 J
Resposta
W = −270 J
Trabalho negativo: a força atua principalmente contra o movimento.
2.Vetores: produto escalar e vetorial
Resposta: n̂x = 0,2848
Cross product:a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is MO = r × F, with r = A − O.
Equilíbrio estático: um corpo em repouso tem ΣFx = 0, ΣFy = 0 e ΣM = 0 em relação a qualquer ponto. Substitua cada carga distribuída pela sua resultante (a sua área) atuando no centroide do diagrama de carga, e tome momentos em relação a um apoio para eliminar a reação desse apoio da equação.
Momentos em relação a A
Anti-horário positivo.
ΣMA = 0: RB·6 − 15·1,5 − 40 = 0
RB = 62,5/6 = 10,42 kN
Equilíbrio vertical
RA = 15 − 10,42 = 4,583 kN
Resposta
RB = 10,42 kN
Uma reação negativa atua para baixo.
4.Reações de apoio em vigas
Resposta: RA = 38,54 kN
Equilíbrio estático: um corpo em repouso tem ΣFx = 0, ΣFy = 0 e ΣM = 0 em relação a qualquer ponto. Substitua cada carga distribuída pela sua resultante (a sua área) atuando no centroide do diagrama de carga, e tome momentos em relação a um apoio para eliminar a reação desse apoio da equação.
Componentes de P
Pv = 30·sin 50° = 22,98 kN
Ph = 30·cos 50° = 19,28 kN
Reações
ΣMA = 0: RB·4 = 22,98·2 + 25·0,5 → RB = 14,62 kN
Ay = 22,98 + 25 − 14,62 = 33,37 kN
Ax = Ph = 19,28 kN
Resultante em A
RA = √(19,28² + 33,37²) = 38,54 kN
Resposta
RA = 38,54 kN
5.Treliça: método dos nós
Resposta: FAC = 11,25 kN
Método dos nós: cada nó de uma treliça está em equilíbrio, então ΣFx = 0 e ΣFy = 0 em cada nó. Comece por um nó com no máximo duas forças de barra desconhecidas. Um resultado negativo significa que a barra está comprimida.
Reações de apoio
Equilíbrio da treliça inteira. Momentos em relação a A, positivos no sentido anti-horário.
ΣMA = 0: Cy·4 = 45·3 → Cy = 33,75 kN
ΣFy = 0: Ay = 45 − 33,75 = 11,25 kN
Nó C
O apoio móvel dá apenas uma reação vertical, então o nó C tem só duas forças de barra desconhecidas. Suponha ambas tracionadas.
sin γ = 3/3,162 = 0,9487, cos γ = 1/3,162 = 0,3162
Membros de força nula: em um nó, as forças devem se equilibrar em todas as direções. Se um nó não tem carga nem apoio, e dois de seus três membros estão alinhados, então o equilíbrio na direção perpendicular a essa linha envolve apenas o terceiro membro, e portanto sua força é zero. Se apenas dois membros se encontram em um nó sem carga e não estão alinhados, ambos são nulos.
Nó B
AB e BC estão em uma mesma reta e o nó não tem carga. Equilibrar as forças na direção perpendicular a essa reta deixa apenas BF.
ΣF⊥ = 0 → FBF = 0
Verifique com o método dos nós
Resolver todos os nós dá estas forças nos membros (T = tração, C = compressão).
Pórticos e máquinas: ao contrário de uma treliça, um pórtico contém pelo menos um membro que suporta forças em mais de dois pontos, ou uma carga entre seus pinos. Procure primeiro os membros de duas forças: um membro carregado apenas em dois pinos tem sua força ao longo da reta que passa por eles, de modo que traz uma incógnita, e não duas. Depois use a estrutura inteira para as reações de apoio quando houver no máximo três incógnitas. Por fim, desmonte o pórtico: desenhe cada membro separadamente, com as forças nos pinos iguais e opostas nos dois membros que eles ligam, e escreva ΣFx = 0, ΣFy = 0 e ΣM = 0 para ele. Tomar momentos em torno de um pino elimina da equação as duas componentes da força desse pino.
Força no tirante a partir da perna BC
By = 6 kN
T = 6·1,2/1 = 7,2 kN
Componentes da força no pino sobre BC
Cx = T = 7,2 kN, Cy = −By = −6 kN
Módulo
C = √(7,2² + 6²) = 9,372 kN
Resposta
C = 9,372 kN
8.Pórticos e máquinas
Resposta: Ax = 0,516 kN
Pórticos e máquinas: ao contrário de uma treliça, um pórtico contém pelo menos um membro que suporta forças em mais de dois pontos, ou uma carga entre seus pinos. Procure primeiro os membros de duas forças: um membro carregado apenas em dois pinos tem sua força ao longo da reta que passa por eles, de modo que traz uma incógnita, e não duas. Depois use a estrutura inteira para as reações de apoio quando houver no máximo três incógnitas. Por fim, desmonte o pórtico: desenhe cada membro separadamente, com as forças nos pinos iguais e opostas nos dois membros que eles ligam, e escreva ΣFx = 0, ΣFy = 0 e ΣM = 0 para ele. Tomar momentos em torno de um pino elimina da equação as duas componentes da força desse pino.
Direção de BC
BC = 4,301 m, cos = 0,8137, sin = 0,5812
Pórtico inteiro: momentos em torno de A
FBC·0,5812·5 = 12·0,6 + 5·2,5
FBC = 6,779 kN
Equilíbrio horizontal
Ax + 5 − 6,779·0,8137 = 0
Ax = 0,516 kN → |Ax| = 0,516 kN
Resposta
Ax = 0,516 kN
Ax aponta para a direita.
9.Esforço cortante e momento fletor
Resposta: Vx = 24 kN
Método das seções: corte a viga onde você quer os esforços internos e fique com um lado. O esforço cortante V equilibra as forças verticais desse lado, e o momento fletor M equilibra os momentos delas em relação ao corte.
Reações de apoio
Equilíbrio da viga inteira.
Resultante da carga distribuída: W = w·ℓ = 8·8 = 64 kN, atuando em x̄ = 4 m
ΣMA = 0: RB·8 = 8·8·4
RB = 256/8 = 32 kN
ΣFy = 0: RA = 64 − 32 = 32 kN
Corte em x = 1 m e fique com a parte esquerda
Só aparecem as forças à esquerda do corte. Uma parte da carga distribuída age como uma única força no meio dessa parte.
V = RA − (todas as cargas para baixo à esquerda do corte)
Vx = 32 − 8·1 = 24 kN
Resposta
Vx = 24 kN
10.Esforço cortante e momento fletor
Resposta: Mmax = 92,16 kN·m
Método das seções: corte a viga onde você quer os esforços internos e fique com um lado. O esforço cortante V equilibra as forças verticais desse lado, e o momento fletor M equilibra os momentos delas em relação ao corte. Momento máximo: como dM/dx = V, o momento fletor atinge seu pico onde o esforço cortante passa por zero, seja em uma carga concentrada, seja dentro de uma carga distribuída.
Reações de apoio
Equilíbrio da viga inteira.
Resultante da carga distribuída: W = w·ℓ = 8·8 = 64 kN, atuando em x̄ = 6 m
ΣMA = 0: RB·10 = 8·8·6
RB = 384/10 = 38,4 kN
ΣFy = 0: RA = 64 − 38,4 = 25,6 kN
Cortante nulo
O esforço cortante começa em RA, fica constante em qualquer trecho descarregado e cai com inclinação w dentro da carga.
Momento de inércia de área: para um retângulo em relação ao seu próprio eixo centroidal I = bh³/12, e em relação à sua base bh³/3 (teorema dos eixos paralelos I = Ic + A·d²). Um furo é tratado subtraindo seu I, desde que as duas partes usem o mesmo eixo. O módulo de resistência elástico é S = I/c, onde c é a distância até a fibra mais afastada.
Retângulo externo menos os dois recortes laterais
Os dois recortes juntos têm (B − tw) de largura e hw = H − 2tf de altura, e compartilham o eixo x.
Áreas compostas: divida a seção em retângulos. O centroide é a média ponderada pelas áreas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. O momento de inércia em relação ao eixo centroidal soma o bh³/12 próprio de cada parte e seu termo de eixos paralelos A·d², onde d é a distância do centroide da parte ao centroide geral. A tensão de flexão é σ = M·y/I.
Divida em dois retângulos
Meça todo y a partir da borda inferior.
mesa: Af = 160·10 = 1600 mm², yf = 200 + 10/2 = 205 mm