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1Fórmulas e métodos
Vetores: produto escalar e vetorial
Módulo
|a| = √(ax² + ay² + az²)
Vetor unitário
û = a/|a|
Componentes a partir de um ângulo
Fx = F·cos θ, Fy = F·sin θ
Produto escalar
a·b = axbx + ayby + azbz = |a||b|cos θ
Projeção escalar de a sobre b
a·b/|b|
Trabalho
W = F·d
Produto vetorial
a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx)
Áreas
paralelogramo |a × b|, triângulo ½|a × b|
Momento em relação a O
MO = r × F, r = A − O
Volume de um paralelepípedo
V = |a·(b × c)|
Método
Escreva todo vetor em componentes; para uma força dada por um módulo e um ângulo, use F·cos θ e F·sin θ.
Para comprimentos e direções use o módulo √(x² + y² + z²) e o vetor unitário a/|a|.
Use o produto escalar para ângulos, projeções, perpendicularidade e trabalho: a·b = |a||b|cos θ.
Use o produto vetorial para vetores perpendiculares, áreas e momentos: escreva as três componentes com cuidado, mantendo a ordem a × b.
Reações de apoio em vigas
Equilíbrio
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Carga uniforme
resultante w·L no meio da carga
Momento
M = F·d
Método
Desenhe um diagrama de corpo livre e substitua cada apoio por suas reações.
Substitua cada carga distribuída por uma única força no seu centroide.
Tome momentos em relação a um apoio para encontrar a reação no outro.
Use ΣFy = 0 para encontrar a reação restante e confira com uma segunda equação de momentos.
Treliça: método dos nós
Método dos nós
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
Método das seções
ΣM = 0 about a cut point
Esforço na barra
positivo = tração, negativo = compressão
Método
Encontre as reações de apoio da treliça inteira.
Método dos nós: comece em um nó com no máximo duas forças de barra desconhecidas e use ΣFx = 0 e ΣFy = 0.
Método das seções: corte a barra de que você precisa e tome momentos em relação a um ponto onde as outras barras desconhecidas se encontram.
Suponha tração; uma resposta negativa significa compressão.
Pórticos e máquinas
Equilíbrio de cada membro
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Membro de duas forças
força ao longo da reta que passa pelos seus dois pinos
Força no pino
iguais e opostas nos dois membros que ele liga
Módulo de uma força no pino
F = √(Fx² + Fy²)
Alavanca, alicate, alavanca angular
Fin·a = Fout·b
Articulação de joelho
Flink = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
Carga uniforme
resultante w·L no meio da carga
Método
Desenhe a estrutura inteira e encontre as reações de apoio se houver no máximo três incógnitas.
Identifique os membros de duas forças: carregados apenas em dois pinos, sua força atua ao longo da reta entre os pinos.
Desmonte o pórtico e desenhe cada membro separadamente, com forças nos pinos iguais e opostas onde os membros se encontram.
Para cada membro, tome momentos em torno de um pino com forças desconhecidas e use depois ΣFx = 0 e ΣFy = 0; combine as componentes em um módulo só no final.
Esforço cortante e momento fletor
Cortante e momento
V = ΣF de um lado, M = ΣF·d de um lado
Tensão de flexão
σ = M·y/I
Retângulo
I = bh³/12
Módulo de resistência
W = I/ymax
Viga biapoiada, carga uniforme
Mmax = wL²/8
Método
Encontre as reações de apoio pelo equilíbrio da viga inteira.
Corte a viga na seção de que você precisa e fique com um dos lados.
Esforço cortante: soma das forças verticais daquele lado. Momento fletor: soma dos momentos dessas forças em relação ao corte.
Para o momento máximo, encontre onde o esforço cortante é zero.
Centroide e momento de inércia
Centroide
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
Retângulo
I = bh³/12
Teorema dos eixos paralelos
I = Ic + A·d²
Seção composta
I = Σ(Ic,i + Aidi²)
2Exercícios
1.Vetores: produto escalar e vetorialMédia
Encontre o ângulo θ entre os vetores a = (−2, 4, −5) e b = (−1, 6, 2), em graus.
a = (−2, 4, −5)b = (−1, 6, 2)
θ = °
2.Vetores: produto escalar e vetorialDifícil
Para a = (−1, 4, −6) e b = (4, 6, 6), encontre a componente z (a × b)z do produto vetorial a × b.
a = (−1, 4, −6)b = (4, 6, 6)
(a × b)z =
3.Reações de apoio em vigasMédia
A viga tem um apoio fixo em A e um apoio móvel em B, a 4 m de A, e se estende em balanço além de B até a extremidade livre C. Encontre a reação vertical RA, considerando positivo para cima.
AB = 4 mAC = 6 mP1 = 20 kN em 3 mP2 = 30 kN em 6 m
RA = kN
4.Reações de apoio em vigasDifícil
A viga simplesmente apoiada tem um apoio fixo em A e um apoio móvel em B. Encontre a reação vertical de apoio RB.
L = 5 mP = 20 kN em 4 mw = 10 kN/m de 2 a 5 m
RB = kN
5.Treliça: método dos nósMédia
Use o método dos nós para encontrar a força FBC na barra BC. Dê tração como positiva e compressão como negativa.
vão = 6 maltura = 2 mB está a 5 m de Acarga vertical = 40 kN
FBC = kN
6.Treliça: método dos nósDifícil
Exatamente um membro desta treliça não suporta força sob estas cargas. Qual é o membro de força nula? Clique nele no diagrama.
D: 25 kN ↓F: 20 kN →G: 40 kN ↓
1membro AB
2membro BC
3membro CD
4membro DE
5membro FG
6membro GH
7membro AF
8membro HE
9membro BF
10membro CG
11membro DH
12membro FC
13membro HC
7.Pórticos e máquinasMédia
Uma viga horizontal AB está articulada a uma parede em A e escorada pela escora CD, articulada à parede em C, 1,2 m abaixo de A. Uma carga de 2 kN está pendurada em B. Despreze os pesos. Encontre o módulo da força A no pino sobre a viga em A.
P = 2 kNAD = 1,6 mAB = 2,4 mAC = 1,2 m
A = kN
8.Pórticos e máquinasDifícil
Uma lança horizontal uniforme AB de peso 2 kN está articulada a uma parede em A e sustentada por um cabo de B ao ponto C da parede, 1,5 m acima de A. Uma carga de 6 kN está pendurada em B. Encontre o módulo da reação no pino A.
W = 6 kNWb = 2 kNAB = 2 mAC = 1,5 m
A = kN
9.Esforço cortante e momento fletorMédia
A viga simplesmente apoiada suporta duas cargas concentradas. Encontre o momento fletor máximo Mmax na viga.
L = 5 mP1 = 60 kN em 2 mP2 = 60 kN em 4 m
Mmax = kN·m
10.Esforço cortante e momento fletorDifícil
A viga simplesmente apoiada suporta uma carga uniformemente distribuída sobre parte do vão. Encontre o momento fletor máximo Mmax na viga.
L = 8 mw = 12 kN/m de 5 a 7 m
Mmax = kN·m
11.Centroide e momento de inérciaMédia
Encontre o momento de inércia Ix da seção T em relação ao eixo horizontal x pelo seu centroide.
bf = 180 mmtf = 25 mmtw = 12 mmhw = 280 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
12.Centroide e momento de inérciaDifícil
Uma placa de 200 mm × 150 mm tem um recorte retangular de 80 mm de largura e 50 mm de altura, centrado na linha de centro vertical, com seu centro a 97,5 mm acima da base. Encontre o momento de inércia da área Ix em torno do eixo horizontal que passa pelo centroide.
b = 200 mmh = 150 mmrecorte: 80 × 50 mmcentro do furo: y = 97,5 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
3Soluções
1.Vetores: produto escalar e vetorial
Resposta: θ = 68,13 °
Dot product:a·b = axbx + ayby + azbz = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.
Produto escalar
a·b = (−2)·(−1) + 4·6 + (−5)·2 = 16
Módulos
|a| = √((−2)² + 4² + (−5)²) = 6,708
|b| = √((−1)² + 6² + 2²) = 6,403
Ângulo
cos θ = 16/(6,708·6,403) = 0,3725
θ = arccos(0,3725) = 68,13°
Resposta
θ = 68,13°
2.Vetores: produto escalar e vetorial
Resposta: (a × b)z = −22
Cross product:a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is MO = r × F, with r = A − O.
Produto vetorial, componente por componente
(a × b)x = aybz − azby = 4·6 − (−6)·6 = 60
(a × b)y = azbx − axbz = (−6)·4 − (−1)·6 = −18
(a × b)z = axby − aybx = (−1)·6 − 4·4 = −22
Componente pedida
(a × b)z = −22
Resposta
(a × b)z = −22
Verificação: a × b é perpendicular aos dois vetores, então o seu produto escalar com a e com b é zero.
3.Reações de apoio em vigas
Resposta: RA = −10 kN
Equilíbrio estático: um corpo em repouso tem ΣFx = 0, ΣFy = 0 e ΣM = 0 em relação a qualquer ponto. Substitua cada carga distribuída pela sua resultante (a sua área) atuando no centroide do diagrama de carga, e tome momentos em relação a um apoio para eliminar a reação desse apoio da equação.
Momentos em relação a A
Anti-horário positivo.
ΣMA = 0: RB·4 = 20·3 + 30·6
RB = 240/4 = 60 kN
Equilíbrio vertical
RA = 20 + 30 − 60 = −10 kN
Resposta
RA = −10 kN
RA é negativa: o apoio fixo em A precisa segurar a viga para baixo.
4.Reações de apoio em vigas
Resposta: RB = 37 kN
Equilíbrio estático: um corpo em repouso tem ΣFx = 0, ΣFy = 0 e ΣM = 0 em relação a qualquer ponto. Tomar momentos em relação a um apoio elimina a reação desse apoio da equação.
Diagrama de corpo livre
Substitua os apoios por forças de reação. Um apoio móvel dá uma reação vertical; com apenas cargas verticais, o apoio fixo também dá uma reação vertical.
Equilíbrio
Momentos em relação a A, positivos no sentido anti-horário. Depois o equilíbrio das forças verticais.
Resultante da carga distribuída: W = w·ℓ = 10·3 = 30 kN, atuando em x̄ = 3,5 m
ΣMA = 0: RB·5 = 20·4 + 10·3·3,5
RB = 185/5 = 37 kN
ΣFy = 0: RA = 50 − 37 = 13 kN
Resposta
RB = 37 kN
5.Treliça: método dos nós
Resposta: FBC = −37,27 kN
Método dos nós: cada nó de uma treliça está em equilíbrio, então ΣFx = 0 e ΣFy = 0 em cada nó. Comece por um nó com no máximo duas forças de barra desconhecidas. Um resultado negativo significa que a barra está comprimida.
Reações de apoio
Equilíbrio da treliça inteira. Momentos em relação a A, positivos no sentido anti-horário.
ΣMA = 0: Cy·6 = 40·5 → Cy = 33,33 kN
ΣFy = 0: Ay = 40 − 33,33 = 6,667 kN
Nó C
O apoio móvel dá apenas uma reação vertical, então o nó C tem só duas forças de barra desconhecidas. Suponha ambas tracionadas.
sin γ = 2/2,236 = 0,8944, cos γ = 1/2,236 = 0,4472
Membros de força nula: em um nó, as forças devem se equilibrar em todas as direções. Se um nó não tem carga nem apoio, e dois de seus três membros estão alinhados, então o equilíbrio na direção perpendicular a essa linha envolve apenas o terceiro membro, e portanto sua força é zero. Se apenas dois membros se encontram em um nó sem carga e não estão alinhados, ambos são nulos.
Nó B
AB e BC estão em uma mesma reta e o nó não tem carga. Equilibrar as forças na direção perpendicular a essa reta deixa apenas BF.
ΣF⊥ = 0 → FBF = 0
Verifique com o método dos nós
Resolver todos os nós dá estas forças nos membros (T = tração, C = compressão).
Pórticos e máquinas: ao contrário de uma treliça, um pórtico contém pelo menos um membro que suporta forças em mais de dois pontos, ou uma carga entre seus pinos. Procure primeiro os membros de duas forças: um membro carregado apenas em dois pinos tem sua força ao longo da reta que passa por eles, de modo que traz uma incógnita, e não duas. Depois use a estrutura inteira para as reações de apoio quando houver no máximo três incógnitas. Por fim, desmonte o pórtico: desenhe cada membro separadamente, com as forças nos pinos iguais e opostas nos dois membros que eles ligam, e escreva ΣFx = 0, ΣFy = 0 e ΣM = 0 para ele. Tomar momentos em torno de um pino elimina da equação as duas componentes da força desse pino.
Força na escora
FCD = 2·2,4/(0,6·1,6) = 5 kN
Componentes em A
Ax = FCD·cos α = 4 kN (em direção à parede)
Ay = 2 − FCD·sin α = −1 kN
Módulo
A = √(4² + −1²) = 4,123 kN
Resposta
A = 4,123 kN
Um Ay negativo significa que a parede puxa a viga para baixo em A.
8.Pórticos e máquinas
Resposta: A = 9,387 kN
Pórticos e máquinas: ao contrário de uma treliça, um pórtico contém pelo menos um membro que suporta forças em mais de dois pontos, ou uma carga entre seus pinos. Procure primeiro os membros de duas forças: um membro carregado apenas em dois pinos tem sua força ao longo da reta que passa por eles, de modo que traz uma incógnita, e não duas. Depois use a estrutura inteira para as reações de apoio quando houver no máximo três incógnitas. Por fim, desmonte o pórtico: desenhe cada membro separadamente, com as forças nos pinos iguais e opostas nos dois membros que eles ligam, e escreva ΣFx = 0, ΣFy = 0 e ΣM = 0 para ele. Tomar momentos em torno de um pino elimina da equação as duas componentes da força desse pino.
Tração no cabo
T = (6 + 2/2)/0,6 = 11,67 kN
Componentes em A
Ax = T·cos β = 9,333 kN
Ay = 6 + 2 − T·sin β = 1 kN
Módulo
A = √(9,333² + 1²) = 9,387 kN
Resposta
A = 9,387 kN
9.Esforço cortante e momento fletor
Resposta: Mmax = 96 kN·m
Método das seções: corte a viga onde você quer os esforços internos e fique com um lado. O esforço cortante V equilibra as forças verticais desse lado, e o momento fletor M equilibra os momentos delas em relação ao corte. Momento máximo: como dM/dx = V, o momento fletor atinge seu pico onde o esforço cortante passa por zero, seja em uma carga concentrada, seja dentro de uma carga distribuída.
Reações de apoio
Equilíbrio da viga inteira.
ΣMA = 0: RB·5 = 60·2 + 60·4
RB = 360/5 = 72 kN
ΣFy = 0: RA = 120 − 72 = 48 kN
Momento sob cada carga
Fique com a parte à esquerda de cada carga.
sob P1: M = RA·2 = 48·2 = 96 kN·m
sob P2: M = RB·1 = 72·1 = 72 kN·m
Maior valor
Mmax = 96 kN·m (sob P1)
Resposta
Mmax = 96 kN·m
10.Esforço cortante e momento fletor
Resposta: Mmax = 31,5 kN·m
Método das seções: corte a viga onde você quer os esforços internos e fique com um lado. O esforço cortante V equilibra as forças verticais desse lado, e o momento fletor M equilibra os momentos delas em relação ao corte. Momento máximo: como dM/dx = V, o momento fletor atinge seu pico onde o esforço cortante passa por zero, seja em uma carga concentrada, seja dentro de uma carga distribuída.
Reações de apoio
Equilíbrio da viga inteira.
Resultante da carga distribuída: W = w·ℓ = 12·2 = 24 kN, atuando em x̄ = 6 m
ΣMA = 0: RB·8 = 12·2·6
RB = 144/8 = 18 kN
ΣFy = 0: RA = 24 − 18 = 6 kN
Cortante nulo
O esforço cortante começa em RA, fica constante em qualquer trecho descarregado e cai com inclinação w dentro da carga.
Áreas compostas: divida a seção em retângulos. O centroide é a média ponderada pelas áreas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. O momento de inércia em relação ao eixo centroidal soma o bh³/12 próprio de cada parte e seu termo de eixos paralelos A·d², onde d é a distância do centroide da parte ao centroide geral. A tensão de flexão é σ = M·y/I.
Divida em dois retângulos
Meça todo y a partir da borda inferior.
mesa: Af = 180·25 = 4500 mm², yf = 280 + 25/2 = 292,5 mm
Seções com furos: trate um furo como uma área negativa. O centroide é ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), com A₁, y₁ para a placa inteira e A₂, y₂ para o furo. Para o momento de inércia da área (segundo momento de área) em torno do eixo que passa pelo centroide, use o teorema dos eixos paralelos para cada parte e subtraia o furo: I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²), em que d é a distância do centroide próprio de cada parte ao eixo que passa por ȳ. Um retângulo tem Ic = bh³/12 e um círculo Ic = πd⁴/64.
Centroide
ȳ = (30000·75 − 4000·97,5)/(30000 − 4000) = 71,54 mm