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1Fórmulas e métodos
Vetores: produto escalar e vetorial
Módulo
|a| = √(ax² + ay² + az²)
Vetor unitário
û = a/|a|
Componentes a partir de um ângulo
Fx = F·cos θ, Fy = F·sin θ
Produto escalar
a·b = axbx + ayby + azbz = |a||b|cos θ
Projeção escalar de a sobre b
a·b/|b|
Trabalho
W = F·d
Produto vetorial
a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx)
Áreas
paralelogramo |a × b|, triângulo ½|a × b|
Momento em relação a O
MO = r × F, r = A − O
Volume de um paralelepípedo
V = |a·(b × c)|
Método
Escreva todo vetor em componentes; para uma força dada por um módulo e um ângulo, use F·cos θ e F·sin θ.
Para comprimentos e direções use o módulo √(x² + y² + z²) e o vetor unitário a/|a|.
Use o produto escalar para ângulos, projeções, perpendicularidade e trabalho: a·b = |a||b|cos θ.
Use o produto vetorial para vetores perpendiculares, áreas e momentos: escreva as três componentes com cuidado, mantendo a ordem a × b.
Reações de apoio em vigas
Equilíbrio
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Carga uniforme
resultante w·L no meio da carga
Momento
M = F·d
Método
Desenhe um diagrama de corpo livre e substitua cada apoio por suas reações.
Substitua cada carga distribuída por uma única força no seu centroide.
Tome momentos em relação a um apoio para encontrar a reação no outro.
Use ΣFy = 0 para encontrar a reação restante e confira com uma segunda equação de momentos.
Treliça: método dos nós
Método dos nós
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
Método das seções
ΣM = 0 about a cut point
Esforço na barra
positivo = tração, negativo = compressão
Método
Encontre as reações de apoio da treliça inteira.
Método dos nós: comece em um nó com no máximo duas forças de barra desconhecidas e use ΣFx = 0 e ΣFy = 0.
Método das seções: corte a barra de que você precisa e tome momentos em relação a um ponto onde as outras barras desconhecidas se encontram.
Suponha tração; uma resposta negativa significa compressão.
Pórticos e máquinas
Equilíbrio de cada membro
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Membro de duas forças
força ao longo da reta que passa pelos seus dois pinos
Força no pino
iguais e opostas nos dois membros que ele liga
Módulo de uma força no pino
F = √(Fx² + Fy²)
Alavanca, alicate, alavanca angular
Fin·a = Fout·b
Articulação de joelho
Flink = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
Carga uniforme
resultante w·L no meio da carga
Método
Desenhe a estrutura inteira e encontre as reações de apoio se houver no máximo três incógnitas.
Identifique os membros de duas forças: carregados apenas em dois pinos, sua força atua ao longo da reta entre os pinos.
Desmonte o pórtico e desenhe cada membro separadamente, com forças nos pinos iguais e opostas onde os membros se encontram.
Para cada membro, tome momentos em torno de um pino com forças desconhecidas e use depois ΣFx = 0 e ΣFy = 0; combine as componentes em um módulo só no final.
Esforço cortante e momento fletor
Cortante e momento
V = ΣF de um lado, M = ΣF·d de um lado
Tensão de flexão
σ = M·y/I
Retângulo
I = bh³/12
Módulo de resistência
W = I/ymax
Viga biapoiada, carga uniforme
Mmax = wL²/8
Método
Encontre as reações de apoio pelo equilíbrio da viga inteira.
Corte a viga na seção de que você precisa e fique com um dos lados.
Esforço cortante: soma das forças verticais daquele lado. Momento fletor: soma dos momentos dessas forças em relação ao corte.
Para o momento máximo, encontre onde o esforço cortante é zero.
Centroide e momento de inércia
Centroide
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
Retângulo
I = bh³/12
Teorema dos eixos paralelos
I = Ic + A·d²
Seção composta
I = Σ(Ic,i + Aidi²)
2Exercícios
1.Vetores: produto escalar e vetorialMédia
Uma força constante F = (15, −25, 5) N atua sobre um objeto enquanto ele se move em linha reta do ponto A(0, −3, 1) ao ponto B(−2, 3, 4). As coordenadas estão em metros. Encontre o trabalho W realizado pela força.
F = (15, −25, 5) NA(0, −3, 1) mB(−2, 3, 4) m
W = J
2.Vetores: produto escalar e vetorialDifícil
Para a = (6, −3, −3) e b = (3, −6, 4), encontre a componente x (a × b)x do produto vetorial a × b.
a = (6, −3, −3)b = (3, −6, 4)
(a × b)x =
3.Reações de apoio em vigasMédia
A viga em balanço está engastada na parede em A. Ela suporta uma carga uniformemente distribuída w da parede até 5 m e uma carga concentrada P a 4 m da parede. Encontre o módulo do momento de reação MA na parede.
L = 10 mP = 15 kN em 4 mw = 5 kN/m de 0 a 5 m
MA = kN·m
4.Reações de apoio em vigasDifícil
A viga tem um apoio fixo em A e um apoio móvel em B, a 6 m de A, e se estende em balanço além de B até a extremidade livre C. Ela suporta uma carga concentrada P a 4 m de A e uma carga uniformemente distribuída w de 4 m até a extremidade livre em 8 m. Encontre a reação vertical RA, considerando positivo para cima.
AB = 6 mAC = 8 mP = 60 kN em 4 mw = 3 kN/m de 4 a 8 m
RA = kN
5.Treliça: método dos nósMédia
Use o método dos nós para encontrar a força FBC na barra BC. Dê tração como positiva e compressão como negativa.
vão = 8 maltura = 2 mB está a 7 m de Acarga vertical = 60 kN
FBC = kN
6.Treliça: método dos nósDifícil
Use o método dos nós para encontrar a força FAB na barra AB. Dê tração como positiva e compressão como negativa.
vão = 6 maltura = 2 mB está a 1 m de Acarga vertical = 60 kNcarga horizontal = 30 kN ←
FAB = kN
7.Pórticos e máquinasMédia
O pórtico mostrado tem pinos em A, B e C; A e C estão fixados ao solo a 4 m de distância, e B está a 4 m acima do solo e a 0,6 m à direita de A. Uma carga vertical de 10 kN atua no membro AB em K, a 0,45 m (na horizontal) de A. Encontre a força FBC no membro BC.
P = 10 kNL = 4 mH = 4 mdistância horizontal de A a B = 0,6 mdistância horizontal de A a K = 0,45 m
FBC = kN
8.Pórticos e máquinasDifícil
A viga AB do suporte de parede mostrado está articulada em A e escorada pela escora CD (C está 1 m abaixo de A). A viga suporta uma carga uniforme de 3 kN/m em todo o seu comprimento e uma carga concentrada de 12 kN na extremidade livre B. Encontre a força FCD na escora.
w = 3 kN/mP = 12 kNAD = 2 mAB = 2,5 mAC = 1 m
FCD = kN
9.Esforço cortante e momento fletorMédia
A viga em balanço está engastada em A. Ela suporta uma carga uniformemente distribuída w em todo o comprimento e uma carga concentrada P a 2,5 m de A. Encontre o momento fletor Mx na seção x = 1,5 m a partir do engaste A. Use momentos positivos quando tracionam a face inferior e cortante para cima na face esquerda positivo.
L = 2,5 mP = 50 kN em 2,5 mw = 8 kN/m de 0 a 2,5 mx = 1,5 m
Mx = kN·m
10.Esforço cortante e momento fletorDifícil
As marcas A a G dividem a viga em seis partes iguais. Em qual marca o momento fletor é maior em valor absoluto, positivo ou negativo? Clique nela no diagrama.
55 kN @ 0 m50 kN @ 12 m40 kN @ 6 m15 kN/m, 2–10 m
1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)
11.Centroide e momento de inérciaMédia
Um perfil I simétrico tem mesas de 170 mm de largura e 14 mm de espessura, altura total de 340 mm e alma de 14 mm de espessura. Encontre seu momento de inércia Ix em relação ao eixo centroidal horizontal x.
B = 170 mmH = 340 mmtf = 14 mmtw = 14 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
12.Centroide e momento de inérciaDifícil
Uma viga de ferro fundido tem a seção T mostrada, com a mesa em cima. As tensões admissíveis são 60 MPa na tração e 120 MPa na compressão. Encontre o maior momento fletor positivo Mallow que a viga pode suportar.
Dot product:a·b = axbx + ayby + azbz = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.
Deslocamento
d = B − A = (−2, 3, 4) − (0, −3, 1) = (−2, 6, 3) m
Trabalho
W = F·d = 15·(−2) + (−25)·6 + 5·3 = −165 J
Resposta
W = −165 J
Trabalho negativo: a força atua principalmente contra o movimento.
2.Vetores: produto escalar e vetorial
Resposta: (a × b)x = −30
Cross product:a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is MO = r × F, with r = A − O.
Produto vetorial, componente por componente
(a × b)x = aybz − azby = (−3)·4 − (−3)·(−6) = −30
(a × b)y = azbx − axbz = (−3)·3 − 6·4 = −33
(a × b)z = axby − aybx = 6·(−6) − (−3)·3 = −27
Componente pedida
(a × b)x = −30
Resposta
(a × b)x = −30
Verificação: a × b é perpendicular aos dois vetores, então o seu produto escalar com a e com b é zero.
3.Reações de apoio em vigas
Resposta: MA = 122,5 kN·m
Equilíbrio de balanços: um engaste pode empurrar para cima e também impedir a rotação, então dá uma reação vertical RA e um momento de reação MA. ΣFy = 0 dá RA, e os momentos em relação à parede dão MA = Σ(carga × distância até a parede). Uma carga distribuída atua como sua resultante no centroide do diagrama de carga.
Resultante da carga distribuída
W = 5·5 = 25 kN, x̄ = 2,5 m
Momento em relação à parede
MA = P·a + W·x̄ = 15·4 + 25·2,5 = 122,5 kN·m
Resposta
MA = 122,5 kN·m
4.Reações de apoio em vigas
Resposta: RA = 20 kN
Equilíbrio estático: um corpo em repouso tem ΣFx = 0, ΣFy = 0 e ΣM = 0 em relação a qualquer ponto. Substitua cada carga distribuída pela sua resultante (a sua área) atuando no centroide do diagrama de carga, e tome momentos em relação a um apoio para eliminar a reação desse apoio da equação.
Resultante da carga distribuída
W = 3·4 = 12 kN, x̄ = (4 + 8)/2 = 6 m
Equilíbrio
Momentos em relação a A, positivos no sentido anti-horário. Depois o equilíbrio das forças verticais.
ΣMA = 0: RB·6 = 60·4 + 12·6
RB = 312/6 = 52 kN
RA = 72 − 52 = 20 kN
Resposta
RA = 20 kN
5.Treliça: método dos nós
Resposta: FBC = −58,7 kN
Método dos nós: cada nó de uma treliça está em equilíbrio, então ΣFx = 0 e ΣFy = 0 em cada nó. Comece por um nó com no máximo duas forças de barra desconhecidas. Um resultado negativo significa que a barra está comprimida.
Reações de apoio
Equilíbrio da treliça inteira. Momentos em relação a A, positivos no sentido anti-horário.
ΣMA = 0: Cy·8 = 60·7 → Cy = 52,5 kN
ΣFy = 0: Ay = 60 − 52,5 = 7,5 kN
Nó C
O apoio móvel dá apenas uma reação vertical, então o nó C tem só duas forças de barra desconhecidas. Suponha ambas tracionadas.
sin γ = 2/2,236 = 0,8944, cos γ = 1/2,236 = 0,4472
Método dos nós: cada nó de uma treliça está em equilíbrio, então ΣFx = 0 e ΣFy = 0 em cada nó. Comece por um nó com no máximo duas forças de barra desconhecidas. Um resultado negativo significa que a barra está comprimida.
Reações de apoio
Equilíbrio da treliça inteira. Momentos em relação a A, positivos no sentido anti-horário.
ΣMA = 0: Cy·6 = 60·1 − 30·2 → Cy = 0 kN
ΣFy = 0: Ay = 60 − 0 = 60 kN
ΣFx = 0: Ax = 30 kN
Nó A
Suponha que toda barra está tracionada (puxando para fora do nó). Só AB tem componente vertical em A.
sin α = 2/2,236 = 0,8944
ΣFy = 0: Ay + FAB·sin α = 0
FAB = −60/0,8944 = −67,08 kN
Resposta
FAB = −67,08 kN (compressão)
7.Pórticos e máquinas
Resposta: FBC = 1,476 kN
Pórticos e máquinas: ao contrário de uma treliça, um pórtico contém pelo menos um membro que suporta forças em mais de dois pontos, ou uma carga entre seus pinos. Procure primeiro os membros de duas forças: um membro carregado apenas em dois pinos tem sua força ao longo da reta que passa por eles, de modo que traz uma incógnita, e não duas. Depois use a estrutura inteira para as reações de apoio quando houver no máximo três incógnitas. Por fim, desmonte o pórtico: desenhe cada membro separadamente, com as forças nos pinos iguais e opostas nos dois membros que eles ligam, e escreva ΣFx = 0, ΣFy = 0 e ΣM = 0 para ele. Tomar momentos em torno de um pino elimina da equação as duas componentes da força desse pino.
Membro de duas forças BC
BC = √(3,4² + 4²) = 5,25 m
Pórtico inteiro: momentos em torno de A
O solo empurra BC em C ao longo de CB; sua componente horizontal passa por A, e só a vertical tem momento.
FBC·(4/5,25)·4 = 10·0,45
FBC = 1,476 kN (compressão)
Resposta
FBC = 1,476 kN
8.Pórticos e máquinas
Resposta: FCD = 44,02 kN
Pórticos e máquinas: ao contrário de uma treliça, um pórtico contém pelo menos um membro que suporta forças em mais de dois pontos, ou uma carga entre seus pinos. Procure primeiro os membros de duas forças: um membro carregado apenas em dois pinos tem sua força ao longo da reta que passa por eles, de modo que traz uma incógnita, e não duas. Depois use a estrutura inteira para as reações de apoio quando houver no máximo três incógnitas. Por fim, desmonte o pórtico: desenhe cada membro separadamente, com as forças nos pinos iguais e opostas nos dois membros que eles ligam, e escreva ΣFx = 0, ΣFy = 0 e ΣM = 0 para ele. Tomar momentos em torno de um pino elimina da equação as duas componentes da força desse pino.
Resultante da carga uniforme
w·L = 3·2,5 = 7,5 kN em 1,25 m
Momentos em torno de A para a viga
FCD·0,4472·2 = 7,5·1,25 + 12·2,5 = 39,38 kN·m
FCD = 44,02 kN
Resposta
FCD = 44,02 kN
9.Esforço cortante e momento fletor
Resposta: Mx = −54 kN·m
Método das seções: corte a viga onde você quer os esforços internos e fique com um lado. O esforço cortante V equilibra as forças verticais desse lado, e o momento fletor M equilibra os momentos delas em relação ao corte.
Fique com a parte da extremidade livre
P: −50·1 = −50 kN·m
w: −8·1²/2 = −4 kN·m
Mx = −50 − 4 = −54 kN·m
Resposta
Mx = −54 kN·m
Negativo significa tração na face superior.
10.Esforço cortante e momento fletor
Resposta: B (x = 2 m)
Maior momento fletor: M muda de inclinação onde quer que a força cortante mude, então seus picos ficam onde a força cortante cruza o zero: sob uma carga pontual, dentro de uma carga distribuída ou sobre um apoio de um balanço. No engaste de uma viga em balanço, o momento é maior na parede. Compare o tamanho de M nesses lugares, positivo ou negativo.
Reações de apoio
Tome momentos em torno de um apoio e depois use o equilíbrio das forças verticais.
R1 = 136,3 kN, R2 = 128,8 kN
Momento fletor em cada marca
Some os momentos de todas as forças de um lado do corte. O momento que traciona embaixo é positivo, o que traciona em cima é negativo.
MA = 0, MB = −110 kN·m, MC = 22,5, MD = 95, ME = 27,5, MF = −100, MG = 0
Resposta
Marca B: MB = −110 kN·m
11.Centroide e momento de inércia
Resposta: Ix = 162 × 10⁶ mm⁴
Momento de inércia de área: para um retângulo em relação ao seu próprio eixo centroidal I = bh³/12, e em relação à sua base bh³/3 (teorema dos eixos paralelos I = Ic + A·d²). Um furo é tratado subtraindo seu I, desde que as duas partes usem o mesmo eixo. O módulo de resistência elástico é S = I/c, onde c é a distância até a fibra mais afastada.
Retângulo externo menos os dois recortes laterais
Os dois recortes juntos têm (B − tw) de largura e hw = H − 2tf de altura, e compartilham o eixo x.
Áreas compostas: divida a seção em retângulos. O centroide é a média ponderada pelas áreas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. O momento de inércia em relação ao eixo centroidal soma o bh³/12 próprio de cada parte e seu termo de eixos paralelos A·d², onde d é a distância do centroide da parte ao centroide geral. A tensão de flexão é σ = M·y/I.