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1Fórmulas e métodos
Vetores: produto escalar e vetorial
Módulo
|a| = √(ax² + ay² + az²)
Vetor unitário
û = a/|a|
Componentes a partir de um ângulo
Fx = F·cos θ, Fy = F·sin θ
Produto escalar
a·b = axbx + ayby + azbz = |a||b|cos θ
Projeção escalar de a sobre b
a·b/|b|
Trabalho
W = F·d
Produto vetorial
a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx)
Áreas
paralelogramo |a × b|, triângulo ½|a × b|
Momento em relação a O
MO = r × F, r = A − O
Volume de um paralelepípedo
V = |a·(b × c)|
Método
Escreva todo vetor em componentes; para uma força dada por um módulo e um ângulo, use F·cos θ e F·sin θ.
Para comprimentos e direções use o módulo √(x² + y² + z²) e o vetor unitário a/|a|.
Use o produto escalar para ângulos, projeções, perpendicularidade e trabalho: a·b = |a||b|cos θ.
Use o produto vetorial para vetores perpendiculares, áreas e momentos: escreva as três componentes com cuidado, mantendo a ordem a × b.
Reações de apoio em vigas
Equilíbrio
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Carga uniforme
resultante w·L no meio da carga
Momento
M = F·d
Método
Desenhe um diagrama de corpo livre e substitua cada apoio por suas reações.
Substitua cada carga distribuída por uma única força no seu centroide.
Tome momentos em relação a um apoio para encontrar a reação no outro.
Use ΣFy = 0 para encontrar a reação restante e confira com uma segunda equação de momentos.
Treliça: método dos nós
Método dos nós
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
Método das seções
ΣM = 0 about a cut point
Esforço na barra
positivo = tração, negativo = compressão
Método
Encontre as reações de apoio da treliça inteira.
Método dos nós: comece em um nó com no máximo duas forças de barra desconhecidas e use ΣFx = 0 e ΣFy = 0.
Método das seções: corte a barra de que você precisa e tome momentos em relação a um ponto onde as outras barras desconhecidas se encontram.
Suponha tração; uma resposta negativa significa compressão.
Pórticos e máquinas
Equilíbrio de cada membro
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Membro de duas forças
força ao longo da reta que passa pelos seus dois pinos
Força no pino
iguais e opostas nos dois membros que ele liga
Módulo de uma força no pino
F = √(Fx² + Fy²)
Alavanca, alicate, alavanca angular
Fin·a = Fout·b
Articulação de joelho
Flink = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
Carga uniforme
resultante w·L no meio da carga
Método
Desenhe a estrutura inteira e encontre as reações de apoio se houver no máximo três incógnitas.
Identifique os membros de duas forças: carregados apenas em dois pinos, sua força atua ao longo da reta entre os pinos.
Desmonte o pórtico e desenhe cada membro separadamente, com forças nos pinos iguais e opostas onde os membros se encontram.
Para cada membro, tome momentos em torno de um pino com forças desconhecidas e use depois ΣFx = 0 e ΣFy = 0; combine as componentes em um módulo só no final.
Esforço cortante e momento fletor
Cortante e momento
V = ΣF de um lado, M = ΣF·d de um lado
Tensão de flexão
σ = M·y/I
Retângulo
I = bh³/12
Módulo de resistência
W = I/ymax
Viga biapoiada, carga uniforme
Mmax = wL²/8
Método
Encontre as reações de apoio pelo equilíbrio da viga inteira.
Corte a viga na seção de que você precisa e fique com um dos lados.
Esforço cortante: soma das forças verticais daquele lado. Momento fletor: soma dos momentos dessas forças em relação ao corte.
Para o momento máximo, encontre onde o esforço cortante é zero.
Centroide e momento de inércia
Centroide
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
Retângulo
I = bh³/12
Teorema dos eixos paralelos
I = Ic + A·d²
Seção composta
I = Σ(Ic,i + Aidi²)
2Exercícios
1.Vetores: produto escalar e vetorialMédia
Encontre o ângulo θ entre os vetores a = (−6, 4, 6) e b = (2, 2, 0), em graus.
a = (−6, 4, 6)b = (2, 2, 0)
θ = °
2.Vetores: produto escalar e vetorialDifícil
Encontre a área A do triângulo de vértices A(−1, 0, −3), B(−2, −2, 0) e C(1, −1, 4). As coordenadas estão em metros.
A(−1, 0, −3)B(−2, −2, 0)C(1, −1, 4)
A = m²
3.Reações de apoio em vigasMédia
A viga simplesmente apoiada tem um apoio fixo em A e um apoio móvel em B. Encontre a reação vertical de apoio RB.
L = 8 mP1 = 35 kN em 2 mP2 = 55 kN em 4 m
RB = kN
4.Reações de apoio em vigasDifícil
A viga simplesmente apoiada tem um apoio fixo em A e um apoio móvel em B. Uma carga P atua a 1 m de A, inclinada a 50° em relação à horizontal, e uma carga vertical Q atua a 7 m de A. Encontre o módulo da força de reação total RA no apoio fixo A.
L = 8 mP = 60 kN em 1 m, θ = 50°Q = 10 kN em 7 m
RA = kN
5.Treliça: método dos nósMédia
Use o método dos nós para encontrar a força FAC na barra AC. Dê tração como positiva e compressão como negativa.
vão = 4 maltura = 2 mB está a 1 m de Acarga vertical = 55 kN
FAC = kN
6.Treliça: método dos nósDifícil
Use o método dos nós para encontrar a força FAC na barra AC. Dê tração como positiva e compressão como negativa.
vão = 4 maltura = 3 mB está a 3 m de Acarga vertical = 10 kNcarga horizontal = 5 kN ←
FAC = kN
7.Pórticos e máquinasMédia
O pórtico em A mostrado está apoiado em um pino em A e em um rolete em B, a 5 m de distância. As pernas se encontram no pino C, a 2,5 m de altura, e o tirante horizontal DE está a 0,8 m acima do solo. Uma carga de 10 kN atua em C. Encontre o módulo da força C que o pino C exerce sobre a perna BC.
P = 10 kNAB = 5 maltura de C = 2,5 maltura de DE = 0,8 m
C = kN
8.Pórticos e máquinasDifícil
O pórtico em A mostrado está apoiado em um pino em A e em um rolete em B, a 5 m de distância, com o pino do vértice C a 2,5 m de altura e o tirante horizontal DE a 1 m acima do solo. Uma carga vertical de 2 kN atua na perna AC em K, a 1,875 m (na horizontal) de A. Encontre o módulo da força C que o pino C exerce sobre a perna BC.
P = 2 kNAB = 5 maltura de C = 2,5 maltura de DE = 1 mdistância horizontal de A a K = 1,875 m
C = kN
9.Esforço cortante e momento fletorMédia
A viga simplesmente apoiada suporta um binário no sentido horário M0 = 50 kN·m em x = 4 m a partir de A, e nenhuma outra carga. Encontre o momento fletor Mx logo à esquerda do binário. Use momentos positivos quando tracionam a face inferior e cortante para cima na face esquerda positivo.
L = 6 mM0 = 50 kN·m no sentido horário, em 4 m
Mx = kN·m
10.Esforço cortante e momento fletorDifícil
Encontre o momento fletor Mx na seção x = 1,5 m a partir do apoio A. Use momentos positivos quando tracionam a face inferior e cortante para cima na face esquerda positivo.
L = 6 mP = 20 kN em 1,5 mw = 5 kN/m de 0 a 6 mx = 1,5 m
Mx = kN·m
11.Centroide e momento de inérciaMédia
Uma placa de 200 mm × 150 mm tem um furo circular de diâmetro 50 mm na sua linha de centro vertical, com o centro a 60 mm acima da base. Encontre o momento de inércia da área Ix em torno do eixo horizontal que passa pelo centroide.
b = 200 mmh = 150 mmd = 50 mmcentro do furo: y = 60 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
12.Centroide e momento de inérciaDifícil
Uma viga de ferro fundido tem a seção T mostrada, com a mesa em cima. As tensões admissíveis são 30 MPa na tração e 100 MPa na compressão. Encontre o maior momento fletor positivo Mallow que a viga pode suportar.
Dot product:a·b = axbx + ayby + azbz = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.
Produto escalar
a·b = (−6)·2 + 4·2 + 6·0 = −4
Módulos
|a| = √((−6)² + 4² + 6²) = 9,381
|b| = √(2² + 2² + 0²) = 2,828
Ângulo
cos θ = −4/(9,381·2,828) = −0,1508
θ = arccos(−0,1508) = 98,67°
Resposta
θ = 98,67°
2.Vetores: produto escalar e vetorial
Resposta: A = 8,874 m²
Cross product:a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is MO = r × F, with r = A − O.
Equilíbrio estático: um corpo em repouso tem ΣFx = 0, ΣFy = 0 e ΣM = 0 em relação a qualquer ponto. Tomar momentos em relação a um apoio elimina a reação desse apoio da equação.
Diagrama de corpo livre
Substitua os apoios por forças de reação. Um apoio móvel dá uma reação vertical; com apenas cargas verticais, o apoio fixo também dá uma reação vertical.
Equilíbrio
Momentos em relação a A, positivos no sentido anti-horário. Depois o equilíbrio das forças verticais.
ΣMA = 0: RB·8 = 35·2 + 55·4
RB = 290/8 = 36,25 kN
ΣFy = 0: RA = 90 − 36,25 = 53,75 kN
Resposta
RB = 36,25 kN
4.Reações de apoio em vigas
Resposta: RA = 56,63 kN
Equilíbrio estático: um corpo em repouso tem ΣFx = 0, ΣFy = 0 e ΣM = 0 em relação a qualquer ponto. Substitua cada carga distribuída pela sua resultante (a sua área) atuando no centroide do diagrama de carga, e tome momentos em relação a um apoio para eliminar a reação desse apoio da equação.
Componentes de P
Pv = 60·sin 50° = 45,96 kN
Ph = 60·cos 50° = 38,57 kN
Reações
ΣMA = 0: RB·8 = 45,96·1 + 10·7 → RB = 14,5 kN
Ay = 45,96 + 10 − 14,5 = 41,47 kN
Ax = Ph = 38,57 kN
Resultante em A
RA = √(38,57² + 41,47²) = 56,63 kN
Resposta
RA = 56,63 kN
5.Treliça: método dos nós
Resposta: FAC = 20,63 kN
Método dos nós: cada nó de uma treliça está em equilíbrio, então ΣFx = 0 e ΣFy = 0 em cada nó. Comece por um nó com no máximo duas forças de barra desconhecidas. Um resultado negativo significa que a barra está comprimida.
Reações de apoio
Equilíbrio da treliça inteira. Momentos em relação a A, positivos no sentido anti-horário.
ΣMA = 0: Cy·4 = 55·1 → Cy = 13,75 kN
ΣFy = 0: Ay = 55 − 13,75 = 41,25 kN
Nó C
O apoio móvel dá apenas uma reação vertical, então o nó C tem só duas forças de barra desconhecidas. Suponha ambas tracionadas.
sin γ = 2/3,606 = 0,5547, cos γ = 3/3,606 = 0,8321
Método dos nós: cada nó de uma treliça está em equilíbrio, então ΣFx = 0 e ΣFy = 0 em cada nó. Comece por um nó com no máximo duas forças de barra desconhecidas. Um resultado negativo significa que a barra está comprimida.
Reações de apoio
Equilíbrio da treliça inteira. Momentos em relação a A, positivos no sentido anti-horário.
ΣMA = 0: Cy·4 = 10·3 − 5·3 → Cy = 3,75 kN
ΣFy = 0: Ay = 10 − 3,75 = 6,25 kN
ΣFx = 0: Ax = 5 kN
Nó C
O apoio móvel dá apenas uma reação vertical, então o nó C tem só duas forças de barra desconhecidas. Suponha ambas tracionadas.
sin γ = 3/3,162 = 0,9487, cos γ = 1/3,162 = 0,3162
Pórticos e máquinas: ao contrário de uma treliça, um pórtico contém pelo menos um membro que suporta forças em mais de dois pontos, ou uma carga entre seus pinos. Procure primeiro os membros de duas forças: um membro carregado apenas em dois pinos tem sua força ao longo da reta que passa por eles, de modo que traz uma incógnita, e não duas. Depois use a estrutura inteira para as reações de apoio quando houver no máximo três incógnitas. Por fim, desmonte o pórtico: desenhe cada membro separadamente, com as forças nos pinos iguais e opostas nos dois membros que eles ligam, e escreva ΣFx = 0, ΣFy = 0 e ΣM = 0 para ele. Tomar momentos em torno de um pino elimina da equação as duas componentes da força desse pino.
Força no tirante a partir da perna BC
By = 5 kN
T = 5·2,5/1,7 = 7,353 kN
Componentes da força no pino sobre BC
Cx = T = 7,353 kN, Cy = −By = −5 kN
Módulo
C = √(7,353² + 5²) = 8,892 kN
Resposta
C = 8,892 kN
8.Pórticos e máquinas
Resposta: C = 1,458 kN
Pórticos e máquinas: ao contrário de uma treliça, um pórtico contém pelo menos um membro que suporta forças em mais de dois pontos, ou uma carga entre seus pinos. Procure primeiro os membros de duas forças: um membro carregado apenas em dois pinos tem sua força ao longo da reta que passa por eles, de modo que traz uma incógnita, e não duas. Depois use a estrutura inteira para as reações de apoio quando houver no máximo três incógnitas. Por fim, desmonte o pórtico: desenhe cada membro separadamente, com as forças nos pinos iguais e opostas nos dois membros que eles ligam, e escreva ΣFx = 0, ΣFy = 0 e ΣM = 0 para ele. Tomar momentos em torno de um pino elimina da equação as duas componentes da força desse pino.
Reação de apoio em B
By = 2·1,875/5 = 0,75 kN
Força no tirante
T = 0,75·2,5/1,5 = 1,25 kN
Força no pino sobre BC
Cx = 1,25 kN, Cy = −0,75 kN
C = √(1,25² + 0,75²) = 1,458 kN
Resposta
C = 1,458 kN
9.Esforço cortante e momento fletor
Resposta: Mx = −33,33 kN·m
Método das seções: corte a viga onde você quer os esforços internos e fique com um lado. O esforço cortante V equilibra as forças verticais desse lado, e o momento fletor M equilibra os momentos delas em relação ao corte. Um binário aplicado faz o diagrama de momento fletor saltar do valor do binário.
Reações de apoio
Momentos em relação a A, positivos no sentido anti-horário: RB·L − M0 = 0. Equilíbrio vertical: RA + RB = 0.
RB = M0/L = 50/6 = 8,333 kN (para cima)
RA = −RB = −8,333 kN (para baixo)
Corte logo à esquerda do binário
A parte esquerda contém apenas RA.
Mx = RA·a = −8,333·4 = −33,33 kN·m
Resposta
Mx = −33,33 kN·m
10.Esforço cortante e momento fletor
Resposta: Mx = 39,38 kN·m
Método das seções: corte a viga onde você quer os esforços internos e fique com um lado. O esforço cortante V equilibra as forças verticais desse lado, e o momento fletor M equilibra os momentos delas em relação ao corte.
Reações de apoio
Equilíbrio da viga inteira.
Resultante da carga distribuída: W = w·ℓ = 5·6 = 30 kN, atuando em x̄ = 3 m
ΣMA = 0: RB·6 = 20·1,5 + 5·6·3
RB = 120/6 = 20 kN
ΣFy = 0: RA = 50 − 20 = 30 kN
Corte em x = 1,5 m e fique com a parte esquerda
Só aparecem as forças à esquerda do corte. Uma parte da carga distribuída age como uma única força no meio dessa parte.
M = RA·x − (cada carga à esquerda do corte × sua distância até o corte)
Mx = 30·1,5 − 5·1,5·0,75 = 39,38 kN·m
Resposta
Mx = 39,38 kN·m
11.Centroide e momento de inércia
Resposta: Ix = 55,47 × 10⁶ mm⁴
Seções com furos: trate um furo como uma área negativa. O centroide é ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), com A₁, y₁ para a placa inteira e A₂, y₂ para o furo. Para o momento de inércia da área (segundo momento de área) em torno do eixo que passa pelo centroide, use o teorema dos eixos paralelos para cada parte e subtraia o furo: I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²), em que d é a distância do centroide próprio de cada parte ao eixo que passa por ȳ. Um retângulo tem Ic = bh³/12 e um círculo Ic = πd⁴/64.
Centroide
ȳ = (30000·75 − 1963·60)/(30000 − 1963) = 76,05 mm
Placa inteira em torno de ȳ
200·150³/12 + 30000·−1,051² = 56,28 × 10⁶ mm⁴
Furo em torno de ȳ
π·50⁴/64 + 1963·−16,05² = 0,8126 × 10⁶ mm⁴
Subtraia
Ix = 55,47 × 10⁶ mm⁴
Resposta
Ix = 55,47 × 10⁶ mm⁴
12.Centroide e momento de inércia
Resposta: Mallow = 6,766 kN·m
Áreas compostas: divida a seção em retângulos. O centroide é a média ponderada pelas áreas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. O momento de inércia em relação ao eixo centroidal soma o bh³/12 próprio de cada parte e seu termo de eixos paralelos A·d², onde d é a distância do centroide da parte ao centroide geral. A tensão de flexão é σ = M·y/I.