Introdução à Estatística: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 12 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Estatística descritiva

Média
x̄ = Σx/n
Desvio-padrão amostral
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana
valor do meio dos dados ordenados
Pontuação z
z = (x − μ)/σ
Distribuição normal
68% dentro de ±1σ, 95% dentro de ±2σ

Probabilidades

Complementar
P(not A) = 1 − P(A)
Regra da adição
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Eventos independentes
P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Probabilidade condicional
P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomial
P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k

Distribuição normal

Pontuação z
z = (x − μ)/σ
Abaixo de x
P(X < x) = Φ(z)
Acima de x
P(X > x) = 1 − Φ(z)
Entre
Φ(z2) − Φ(z1)
Percentil
x = μ + z·σ

Método

  1. Converta o valor em um escore z: z = (x − μ)/σ.
  2. Procure Φ(z), a área à esquerda de z.
  3. Para a área à direita use 1 − Φ(z); para um intervalo subtraia as duas áreas à esquerda.
  4. Para um percentil, faça o caminho inverso: encontre z para a área e depois x = μ + z·σ.

Intervalos de confiança

σ conhecido
x̄ ± z·σ/√n
σ desconhecido
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z crítico
90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Tamanho da amostra
n = (z·σ/E)², rounded up

Método

  1. Escolha entre z (σ populacional conhecido) e t (só o s amostral, com n − 1 graus de liberdade).
  2. Encontre o valor crítico para o nível de confiança.
  3. Margem de erro: E = valor crítico × desvio-padrão/√n.
  4. Intervalo: x̄ ± E.

Testes de hipóteses e intervalos de confiança

Teste z para uma média
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
Teste t para uma média
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
Bilateral a 5%
rejeite H0 se |z| > 1,96
Intervalo de confiança
x̄ ± z·σ/√n

Método

  1. Enuncie H₀ e H₁ e decida se o teste é unilateral ou bilateral.
  2. Calcule a estatística de teste: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), ou com s e t.
  3. Compare com o valor crítico, ou encontre o valor-p.
  4. Rejeite H₀ se a estatística estiver além do valor crítico (p abaixo de α) e enuncie a conclusão em palavras.

Regressão linear e correlação

Somas de quadrados
Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
Inclinação
b = Sxy/Sxx
Intercepto
a = ȳ − b·x̄
Correlação
r = Sxy/√(SxxSyy)
Resíduo
e = y − ŷ

2Exercícios

1.Estatística descritivaMédia
15202530354045505560

Calcule o desvio-padrão amostral s dos dados: 25, 19, 54, 60, 57, 14, 29.

n = 7
s =
2.Estatística descritivaDifícil
z −2−1012

Uma grandeza segue uma distribuição normal com média 50 e desvio-padrão 20. Que proporção P dos valores está abaixo de 75?

μ = 50σ = 20x = 75
P =
3.ProbabilidadesMédia
vermelhas: 5azuis: 5

Um saco tem 5 bolas vermelhas e 5 azuis. Tira duas bolas sem repor a primeira. Qual é a probabilidade P de ambas serem vermelhas?

5 / 5
P =
4.ProbabilidadesDifícil
n = 5, p = 0,5: P(X ≤ 1) = ?k012345

Testam-se 5 componentes e cada um avaria com probabilidade 0,5, de forma independente. Qual é a probabilidade P de avariar no máximo um?

n = 5p = 0,5
P =
5.Distribuição normalMédia
−3−2−10123zárea sombreada à direita de z = 0,1093

Arraste z para que a área sombreada sob a curva normal padrão, à direita de z, seja 0,1093. Encontre z com duas casas decimais.

A = 0,1093
z =
6.Distribuição normalDifícil
235240245250255260265gtopo 85%

Os massas de sacos têm distribuição normal com média 250 g e desvio padrão 5 g. Arraste o ponto de corte para que os 85% superiores sombreados fiquem à direita dele. Encontre o ponto de corte x.

μ = 250 gσ = 5 g85%
x = g
7.Intervalos de confiançaMédia
n = 13, s = 9,5L = ?Ux̄ = 101,5E99%

Uma amostra de 13 itens tem média 101,5 e desvio-padrão s = 9,5. A população é aproximadamente normal. Calcule o limite inferior do intervalo de confiança de 99% para a média.

n = 13x̄ = 101,5s = 9,599%t(12) = 3,055
limite inferior =
8.Intervalos de confiançaDifícil
σ = 15, n = ?x̄ − Ex̄ + Ex̄E = 390%

O desvio-padrão da população é 15. Qual o tamanho de amostra n necessário para que um intervalo de confiança de 90% para a média tenha margem de erro de no máximo 3?

σ = 15E = 390%
n =
9.Testes de hipóteses e intervalos de confiançaMédia
−2,3062,306t = ?df = 8

9 funcionários fazem um teste de digitação antes e depois de um curso de treinamento. Para cada pessoa é registrada a diferença d = depois − antes (palavras por minuto). A diferença média é 4,27 e o desvio-padrão das diferenças é 8. Encontre a estatística do teste pareado t para H₀: μd = 0.

n = 9d̄ = 4,27sd = 8
t =
10.Testes de hipóteses e intervalos de confiançaDifícil
H₀H₁μ₀x̄cμ₀ + 2,5α = 0,05βσ = 18, poder 80%, n = ?

Um teste z unilateral com α = 0,05 deve detectar um deslocamento da média de 2,5 unidades com poder de 80%. O desvio-padrão é 18. Encontre o tamanho mínimo da amostra n.

α = 0,05poder = 80%δ = 2,5σ = 18zα = 1,645zβ = 0,842
n =
11.Regressão linear e correlaçãoMédia
xy132240335436543641xy2463540

A tabela dá 6 observações pareadas de x = gasto com publicidade em k€ e y = vendas em k€. Encontre o coeficiente de correlação de Pearson r.

n = 6
r =
12.Regressão linear e correlaçãoDifícil
xy2841261581710231224xy51010152025x = 3

A tabela dá 6 observações pareadas de x = carga em kN e y = alongamento em mm. Use a reta de mínimos quadrados ŷ = a + b·x. Preveja ŷ para x = 3.

n = 6x = 3
ŷ =

3Soluções

1.Estatística descritiva

Resposta: s = 19,49

Estatística descritiva: a média é a soma a dividir por n; a mediana é o valor central dos dados ordenados (a média dos dois centrais se n for par). O desvio-padrão amostral é s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Uma pontuação z = (x − μ)/σ diz a quantos desvios-padrão da média está um valor.

Média

x̄ = 258/7 = 36,86

Desvios ao quadrado

Σ(x − x̄)² = (−11,86)² + (−17,86)² + 17,14² + 23,14² + 20,14² + (−22,86)² + (−7,857)² = 2279

Desvio-padrão

s = √(2279/6) = 19,49

Resposta

s = 19,49
2.Estatística descritiva

Resposta: P = 0,8944

Estatística descritiva: a média é a soma a dividir por n; a mediana é o valor central dos dados ordenados (a média dos dois centrais se n for par). O desvio-padrão amostral é s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Uma pontuação z = (x − μ)/σ diz a quantos desvios-padrão da média está um valor.

Padronizar

z = 1,25

Tabela da normal padrão

Φ(1,25) = 0,8944
P = 0,8944

Resposta

P = 0,8944
3.Probabilidades

Resposta: P = 0,2222

Probabilidades: com resultados equiprováveis, P(A) = favoráveis/possíveis. Para acontecimentos independentes multiplica-se: P(A e B) = P(A)·P(B). O complementar ajuda muitas vezes: P(pelo menos um) = 1 − P(nenhum). Binomial: em n provas independentes com probabilidade de sucesso p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Primeira e segunda tiragem

P = 5/10 · 4/9 = 20/90 = 0,2222

Resposta

P = 0,2222
4.Probabilidades

Resposta: P = 0,1875

Probabilidades: com resultados equiprováveis, P(A) = favoráveis/possíveis. Para acontecimentos independentes multiplica-se: P(A e B) = P(A)·P(B). O complementar ajuda muitas vezes: P(pelo menos um) = 1 − P(nenhum). Binomial: em n provas independentes com probabilidade de sucesso p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Zero e uma avaria

P(X = 0) = 0,55 = 0,03125
P(X = 1) = 5·0,5·0,54 = 0,1563

Some

P = 0,03125 + 0,1563 = 0,1875

Resposta

P = 0,1875
5.Distribuição normal

Resposta: z = 1,23

De uma área de volta a z: Φ(z) é a área à esquerda de z. Para uma área de cauda esquerda A, encontre na tabela o z com Φ(z) = A. Uma área de cauda direita A significa Φ(z) = 1 − A. Uma área central A entre −z e z deixa (1 − A)/2 em cada cauda, então Φ(z) = (1 + A)/2. Para um valor x, use x = μ + zσ.

Área à esquerda de z

Φ(z) = 1 − 0,1093 = 0,8907

Leia a tabela de z ao contrário

Encontre 0,8907 dentro da tabela e leia z.

z = 1,23

Resposta

z = 1,23
6.Distribuição normal

Resposta: x = 244,8 g

De uma área de volta a z: Φ(z) é a área à esquerda de z. Para uma área de cauda esquerda A, encontre na tabela o z com Φ(z) = A. Uma área de cauda direita A significa Φ(z) = 1 − A. Uma área central A entre −z e z deixa (1 − A)/2 em cada cauda, então Φ(z) = (1 + A)/2. Para um valor x, use x = μ + zσ.

Área à esquerda

Φ(z) = 0,15

z da tabela

z ≈ −1,04

De volta às unidades originais

x = 250 − 1,04·5 = 244,8 g

Resposta

x = 244,8 g
7.Intervalos de confiança

Resposta: limite inferior = 93,45

Intervalo de confiança para uma média: x̄ ± margem de erro. Com σ populacional conhecido, a margem é z·σ/√n; tendo apenas o desvio-padrão amostral s, use t com n − 1 graus de liberdade: t·s/√n. Valores críticos: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Para obter uma margem E ou menor, você precisa de n ≥ (z·σ/E)², arredondado para cima.

Valor crítico

df = n − 1 = 12, t = 3,055

Margem de erro

E = 3,055·9,5/√13 = 8,049

Intervalo

101,5 ± 8,049 → [93,45, 109,5]

Resposta

limite inferior = 93,45
8.Intervalos de confiança

Resposta: n = 68

Intervalo de confiança para uma média: x̄ ± margem de erro. Com σ populacional conhecido, a margem é z·σ/√n; tendo apenas o desvio-padrão amostral s, use t com n − 1 graus de liberdade: t·s/√n. Valores críticos: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Para obter uma margem E ou menor, você precisa de n ≥ (z·σ/E)², arredondado para cima.

Resolver em ordem a n

n = (1,645·15/3)² = 67,65

Arredondar para cima

O tamanho da amostra é um número inteiro, e arredondar para baixo deixaria a margem grande demais.

n = 68

Resposta

n = 68
9.Testes de hipóteses e intervalos de confiança

Resposta: t = 1,601

Testing a mean: the test statistic measures how many standard errors the sample mean lies from the value claimed in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) when σ is known, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) when it is estimated from the sample. A confidence interval is x̄ ± (critical value)·(standard error).

Erro-padrão da diferença média

SE = 8/√9 = 2,667

Estatística de teste

t = 4,27/2,667 = 1,601

Resposta

t = 1,601

Com gl = 8, o valor crítico bilateral a 5% é 2,306; |t| é menor, então H₀ não é rejeitada.

10.Testes de hipóteses e intervalos de confiança

Resposta: n = 321

Tamanho de amostra para um teste: para detectar um deslocamento real δ com poder 1 − β em um teste z unilateral ao nível α, o erro-padrão deve satisfazer δ = (z_α + z_β)·σ/√n, então n = ((z_α + z_β)·σ/δ)², arredondado para cima.

Resolver em ordem a n

n = ((1,645 + 0,842)·18/2,5)² = 320,6

Arredondar para cima

n = 321

Resposta

n = 321
11.Regressão linear e correlação

Resposta: r = 0,7055

Regressão por mínimos quadrados: com x̄ e ȳ as médias, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² e Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), a reta ŷ = a + b·x tem inclinação b = Sxy/Sxx e intercepto a = ȳ − b·x̄, então ela sempre passa por (x̄, ȳ). O coeficiente de correlação de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) fica entre −1 e 1; r² é a fração da variação de y explicada pela reta.

Médias

x̄ = 21/6 = 3,5
ȳ = 227/6 = 37,83

Somas de quadrados e de produtos

Sxx = Σ(x − x̄)² = 17,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 27,5
Syy = Σ(y − ȳ)² = 86,83

Coeficiente de correlação

r = 27,5/√(17,5·86,83) = 0,7055

Resposta

r = 0,7055
12.Regressão linear e correlação

Resposta: ŷ = 9,929

Regressão por mínimos quadrados: com x̄ e ȳ as médias, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² e Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), a reta ŷ = a + b·x tem inclinação b = Sxy/Sxx e intercepto a = ȳ − b·x̄, então ela sempre passa por (x̄, ȳ). O coeficiente de correlação de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) fica entre −1 e 1; r² é a fração da variação de y explicada pela reta.

Médias

x̄ = 42/6 = 7
ȳ = 99/6 = 16,5

Somas de quadrados e de produtos

Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 115

Reta de regressão

b = 115/70 = 1,643
a = 16,5 − 1,643·7 = 5
ŷ = 5 + 1,643·x

Previsão

ŷ = 5 + 1,643·3 = 9,929

Resposta

ŷ = 9,929

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