Introdução à Estatística: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 12 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Estatística descritiva

Média: x̄ = Σx/n
Desvio-padrão amostral: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana: valor do meio dos dados ordenados
Pontuação z: z = (x − μ)/σ
Distribuição normal: 68% dentro de ±1σ, 95% dentro de ±2σ

Probabilidades

Complementar: P(not A) = 1 − P(A)
Regra da adição: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Eventos independentes: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Probabilidade condicional: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomial: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Distribuição normal

Pontuação z: z = (x − μ)/σ
Abaixo de x: P(X < x) = Φ(z)
Acima de x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Entre: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Percentil: x = μ + z·σ

Método

Converta o valor em um escore z: z = (x − μ)/σ.
Procure Φ(z), a área à esquerda de z.
Para a área à direita use 1 − Φ(z); para um intervalo subtraia as duas áreas à esquerda.
Para um percentil, faça o caminho inverso: encontre z para a área e depois x = μ + z·σ.

Intervalos de confiança

σ conhecido: x̄ ± z·σ/√n
σ desconhecido: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z crítico: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Tamanho da amostra: n = (z·σ/E)², rounded up

Método

Escolha entre z (σ populacional conhecido) e t (só o s amostral, com n − 1 graus de liberdade).
Encontre o valor crítico para o nível de confiança.
Margem de erro: E = valor crítico × desvio-padrão/√n.
Intervalo: x̄ ± E.

Testes de hipóteses e intervalos de confiança

Teste z para uma média: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Teste t para uma média: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Bilateral a 5%: rejeite H₀ se |z| > 1,96
Intervalo de confiança: x̄ ± z·σ/√n

Método

Enuncie H₀ e H₁ e decida se o teste é unilateral ou bilateral.
Calcule a estatística de teste: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), ou com s e t.
Compare com o valor crítico, ou encontre o valor-p.
Rejeite H₀ se a estatística estiver além do valor crítico (p abaixo de α) e enuncie a conclusão em palavras.

Regressão linear e correlação

Somas de quadrados: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Inclinação: b = S_xy/S_xx
Intercepto: a = ȳ − b·x̄
Correlação: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Resíduo: e = y − ŷ

2Exercícios

1.Estatística descritivaMédia

Calcule o desvio-padrão amostral s dos dados: 46, 13, 58, 19, 28.

n = 5

s =

2.Estatística descritivaDifícil

Uma grandeza segue uma distribuição normal com média 500 e desvio-padrão 60. Que proporção P dos valores está acima de 470?

μ = 500σ = 60x = 470

P =

3.ProbabilidadesMédia

Para a distribuição mostrada, encontre a variância Var(X) de X.

x: 0, 1, 2, 3, 4p(x): 0,25, 0,25, 0,15, 0,1, 0,25

Var(X) =

4.ProbabilidadesDifícil

Um jogo custa €3 para jogar. Você ganha €12 com probabilidade 0,2 e €60 com probabilidade 0,05; caso contrário, não ganha nada. A aposta não é devolvida. Encontre o ganho líquido esperado E(G) por jogo.

aposta = €3€12: p = 0,2€60: p = 0,05

E(G) = €

5.Distribuição normalMédia

Arraste z para que a área sombreada sob a curva normal padrão, à direita de z, seja 0,0183. Encontre z com duas casas decimais.

A = 0,0183

z =

6.Distribuição normalDifícil

Os massas de sacos têm distribuição normal com média 250 g e desvio padrão 5 g. Arraste o ponto de corte para que os 10% inferiores sombreados fiquem à esquerda dele. Encontre o ponto de corte x.

μ = 250 gσ = 5 g10%

x = g

7.Intervalos de confiançaMédia

Um intervalo de confiança de 90% para uma média, baseado em 64 observações e σ conhecido, tem margem de erro de 4,7. Qual é a margem de erro E₂ se o mesmo estudo usar 16 observações?

90%n₁ = 64E₁ = 4,7n₂ = 16

E₂ =

8.Intervalos de confiançaDifícil

O desvio-padrão da população é 14. Qual o tamanho de amostra n necessário para que um intervalo de confiança de 99% para a média tenha margem de erro de no máximo 4?

σ = 14E = 499%

n =

9.Testes de hipóteses e intervalos de confiançaMédia

Uma amostra de 36 estudantes tem nota média 115,9 e desvio-padrão amostral 8. Calcule a estatística de teste t para H₀: μ = 120.

μ₀ = 120x̄ = 115,9s = 8n = 36

t =

10.Testes de hipóteses e intervalos de confiançaDifícil

Um teste z unilateral com α = 0,01 deve detectar um deslocamento da média de 2,5 unidades com poder de 80%. O desvio-padrão é 6. Encontre o tamanho mínimo da amostra n.

α = 0,01poder = 80%δ = 2,5σ = 6z_α = 2,326z_β = 0,842

n =

11.Regressão linear e correlaçãoMédia

A tabela dá 5 observações pareadas de x = temperatura em °C e y = sorvetes vendidos. As suas somas são dadas. Encontre o coeficiente de correlação de Pearson r a partir dessas somas.

n = 5Σx = 90Σy = 531Σx² = 1660Σy² = 57809Σxy = 9784

r =

12.Regressão linear e correlaçãoDifícil

A tabela dá 5 observações pareadas de x = gasto com publicidade em k€ e y = vendas em k€. Use a reta de mínimos quadrados ŷ = a + b·x. É feita uma nova observação (4, 42). Encontre o seu resíduo e = y − ŷ.

n = 5(4, 42)

e =

3Soluções

1.Estatística descritiva

Resposta: s = 18,81

Estatística descritiva: a média é a soma a dividir por n; a mediana é o valor central dos dados ordenados (a média dos dois centrais se n for par). O desvio-padrão amostral é s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Uma pontuação z = (x − μ)/σ diz a quantos desvios-padrão da média está um valor.

Média

x̄ = 164/5 = 32,8

Desvios ao quadrado

Σ(x − x̄)² = 13,2² + (−19,8)² + 25,2² + (−13,8)² + (−4,8)² = 1415

Desvio-padrão

s = √(1415/4) = 18,81

Resposta

s = 18,81

2.Estatística descritiva

Resposta: P = 0,6915

Padronizar

z = −0,5

Tabela da normal padrão

Φ(−0,5) = 0,3085

P = 1 − 0,3085 = 0,6915

Resposta

P = 0,6915

3.Probabilidades

Resposta: Var(X) = 2,327

Variáveis aleatórias discretas: uma distribuição de probabilidade lista cada valor x que uma variável pode assumir com sua probabilidade p(x); as probabilidades ficam entre 0 e 1 e somam 1. O valor esperado (média) é E(X) = Σx·p(x), a média de longo prazo. A variância é Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², e o desvio padrão é σ = √Var(X). Para uma mudança linear Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) e σ_Y = |a|·σ_X; somar uma constante não muda a dispersão.

Média

μ = 0·0,25 + 1·0,25 + 2·0,15 + 3·0,1 + 4·0,25 = 1,85

Média dos quadrados

E(X²) = 0·0,25 + 1·0,25 + 4·0,15 + 9·0,1 + 16·0,25 = 5,75

Variância

Var(X) = 5,75 − 1,85² = 2,327

Resposta

Var(X) = 2,327

4.Probabilidades

Resposta: E(G) = 2,4 €

Resultados líquidos

G: 9 (p = 0,2), 57 (p = 0,05), −3 (p = 0,75)

Valor esperado

E(G) = 9·0,2 + 57·0,05 − 3·0,75 = 2,4 €

Resposta

E(G) = 2,4 €

Um valor positivo significa que você ganha dinheiro em média.

5.Distribuição normal

Resposta: z = 2,09

De uma área de volta a z: Φ(z) é a área à esquerda de z. Para uma área de cauda esquerda A, encontre na tabela o z com Φ(z) = A. Uma área de cauda direita A significa Φ(z) = 1 − A. Uma área central A entre −z e z deixa (1 − A)/2 em cada cauda, então Φ(z) = (1 + A)/2. Para um valor x, use x = μ + zσ.

Área à esquerda de z

Φ(z) = 1 − 0,0183 = 0,9817

Leia a tabela de z ao contrário

Encontre 0,9817 dentro da tabela e leia z.

z = 2,09

Resposta

z = 2,09

6.Distribuição normal

Resposta: x = 243,6 g

Área à esquerda

Φ(z) = 0,1

z da tabela

z ≈ −1,28

De volta às unidades originais

x = 250 − 1,28·5 = 243,6 g

Resposta

x = 243,6 g

7.Intervalos de confiança

Resposta: E₂ = 9,4

Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.

Razão das margens

E₂/E₁ = (1,645/1,645)·√(64/16) = 2

Nova margem

E₂ = 4,7·2 = 9,4

Resposta

E₂ = 9,4

8.Intervalos de confiança

Resposta: n = 82

Intervalo de confiança para uma média: x̄ ± margem de erro. Com σ populacional conhecido, a margem é z·σ/√n; tendo apenas o desvio-padrão amostral s, use t com n − 1 graus de liberdade: t·s/√n. Valores críticos: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Para obter uma margem E ou menor, você precisa de n ≥ (z·σ/E)², arredondado para cima.

Resolver em ordem a n

n = (2,576·14/4)² = 81,29

Arredondar para cima

O tamanho da amostra é um número inteiro, e arredondar para baixo deixaria a margem grande demais.

n = 82

Resposta

n = 82

9.Testes de hipóteses e intervalos de confiança

Resposta: t = −3,075

Teste a uma média: a estatística de teste mede a quantos erros-padrão a média amostral está do valor afirmado em H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) quando σ é conhecido, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) quando é estimado pela amostra. Um intervalo de confiança é x̄ ± (valor crítico)·(erro-padrão).

Erro-padrão

SE = 8/√36 = 8/6 = 1,333

Estatística de teste

t = (115,9 − 120)/1,333 = −3,075

Resposta

t = −3,075

t_{0,025; df = 35} = 2,03

|t| > 2,03, então H₀ é rejeitada ao nível de 5% (bilateral).

10.Testes de hipóteses e intervalos de confiança

Resposta: n = 58

Tamanho de amostra para um teste: para detectar um deslocamento real δ com poder 1 − β em um teste z unilateral ao nível α, o erro-padrão deve satisfazer δ = (z_α + z_β)·σ/√n, então n = ((z_α + z_β)·σ/δ)², arredondado para cima.

Resolver em ordem a n

n = ((2,326 + 0,842)·6/2,5)² = 57,81

Arredondar para cima

n = 58

Resposta

n = 58

11.Regressão linear e correlação

Resposta: r = 0,9493

Regressão por mínimos quadrados: com x̄ e ȳ as médias, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² e Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), a reta ŷ = a + b·x tem inclinação b = Sxy/Sxx e intercepto a = ȳ − b·x̄, então ela sempre passa por (x̄, ȳ). O coeficiente de correlação de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) fica entre −1 e 1; r² é a fração da variação de y explicada pela reta.

Somas centradas

S_xy = 9784 − 90·531/5 = 226

S_xx = 1660 − 90²/5 = 40

S_yy = 57809 − 531²/5 = 1417

Coeficiente de correlação

r = 226/√(40·1417) = 0,9493

Resposta

r = 0,9493

12.Regressão linear e correlação

Resposta: e = −5,35

Médias

x̄ = 25/5 = 5

ȳ = 253/5 = 50,6

Somas de quadrados e de produtos

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 130

Reta de regressão

b = 130/40 = 3,25

a = 50,6 − 3,25·5 = 34,35

ŷ = 34,35 + 3,25·x

Valor previsto

ŷ = 34,35 + 3,25·4 = 47,35

Resíduo

e = 42 − 47,35 = −5,35

Resposta

e = −5,35

O ponto está abaixo da reta.

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