Introdução à Estatística: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 12 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Estatística descritiva

Média: x̄ = Σx/n
Desvio-padrão amostral: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana: valor do meio dos dados ordenados
Pontuação z: z = (x − μ)/σ
Distribuição normal: 68% dentro de ±1σ, 95% dentro de ±2σ

Probabilidades

Complementar: P(not A) = 1 − P(A)
Regra da adição: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Eventos independentes: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Probabilidade condicional: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomial: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Distribuição normal

Pontuação z: z = (x − μ)/σ
Abaixo de x: P(X < x) = Φ(z)
Acima de x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Entre: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Percentil: x = μ + z·σ

Método

Converta o valor em um escore z: z = (x − μ)/σ.
Procure Φ(z), a área à esquerda de z.
Para a área à direita use 1 − Φ(z); para um intervalo subtraia as duas áreas à esquerda.
Para um percentil, faça o caminho inverso: encontre z para a área e depois x = μ + z·σ.

Intervalos de confiança

σ conhecido: x̄ ± z·σ/√n
σ desconhecido: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z crítico: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Tamanho da amostra: n = (z·σ/E)², rounded up

Método

Escolha entre z (σ populacional conhecido) e t (só o s amostral, com n − 1 graus de liberdade).
Encontre o valor crítico para o nível de confiança.
Margem de erro: E = valor crítico × desvio-padrão/√n.
Intervalo: x̄ ± E.

Testes de hipóteses e intervalos de confiança

Teste z para uma média: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Teste t para uma média: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Bilateral a 5%: rejeite H₀ se |z| > 1,96
Intervalo de confiança: x̄ ± z·σ/√n

Método

Enuncie H₀ e H₁ e decida se o teste é unilateral ou bilateral.
Calcule a estatística de teste: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), ou com s e t.
Compare com o valor crítico, ou encontre o valor-p.
Rejeite H₀ se a estatística estiver além do valor crítico (p abaixo de α) e enuncie a conclusão em palavras.

Regressão linear e correlação

Somas de quadrados: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Inclinação: b = S_xy/S_xx
Intercepto: a = ȳ − b·x̄
Correlação: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Resíduo: e = y − ŷ

2Exercícios

1.Estatística descritivaMédia

Calcule o desvio-padrão amostral s dos dados: 23, 26, 17, 17, 47, 14, 60.

n = 7

s =

2.Estatística descritivaDifícil

As notas de um exame seguem uma distribuição normal com média 500 e desvio-padrão 40. Calcule a pontuação z z de uma nota de 580.

μ = 500σ = 40x = 580

z =

3.ProbabilidadesMédia

Lança-se um dado equilibrado 8 vezes. Qual é a probabilidade P de sair pelo menos um seis?

n = 8

P =

4.ProbabilidadesDifícil

X tem a distribuição mostrada e Y = 5X + 10. Encontre o desvio padrão σ_Y de Y.

x: 1, 2, 3, 4, 5p(x): 0,15, 0,2, 0,2, 0,3, 0,15Y = 5X + 10

σ_Y =

5.Distribuição normalMédia

As notas de prova seguem uma distribuição normal com média 65 pontos e desvio-padrão 10 pontos. Que fração está entre 45,5 e 85,5 pontos? Dê P em forma decimal.

μ = 65σ = 10x₁ = 45,5x₂ = 85,5

P =

6.Distribuição normalDifícil

As massas de sacos seguem uma distribuição normal com média 250 g e desvio-padrão 5 g. Calcule o valor x abaixo do qual estão 20% delas (o percentil 20).

μ = 250σ = 5P = 20%

x = g

7.Intervalos de confiançaMédia

A pressão arterial de 15 pacientes é medida antes e depois de um tratamento. As diferenças d = antes − depois (mmHg) têm média 4,9 e desvio-padrão 7,1. Encontre o limite inferior do intervalo de confiança de 90% para a diferença média.

n = 15d̄ = 4,9s_d = 7,190%t(14) = 1,761

limite inferior = mmHg

8.Intervalos de confiançaDifícil

Dois fertilizantes são testados. Grupo de parcelas 1: 10 parcelas, produção média 59 kg, desvio-padrão 2 kg. Grupo de parcelas 2: 12 parcelas, média 63 kg, desvio-padrão 2,5 kg. Suponha variâncias iguais (t combinado, gl = n₁ + n₂ − 2). Encontre o limite superior do intervalo de confiança de 90% para μ₁ − μ₂.

n₁ = 10x̄₁ = 59s₁ = 2n₂ = 12x̄₂ = 63s₂ = 2,590%t(20) = 1,725

limite superior = kg

9.Testes de hipóteses e intervalos de confiançaMédia

Uma amostra de 64 estudantes tem nota média 199,1 e desvio-padrão amostral 4. Calcule a estatística de teste t para H₀: μ = 200.

μ₀ = 200x̄ = 199,1s = 4n = 64

t =

10.Testes de hipóteses e intervalos de confiançaDifícil

Uma amostra de 100 medições tem média 102,8. O desvio-padrão da população é 15. Calcule o limite inferior L do intervalo de confiança a 95 % para a média.

x̄ = 102,8σ = 15n = 10095%

L =

11.Regressão linear e correlaçãoMédia

A tabela dá 6 observações pareadas de x = idade do carro em anos e y = preço em k€. As suas somas são dadas. Encontre o coeficiente de correlação de Pearson r a partir dessas somas.

n = 6Σx = 21Σy = 139Σx² = 91Σy² = 3257Σxy = 463

r =

12.Regressão linear e correlaçãoDifícil

A tabela dá 6 observações pareadas de x = temperatura em °C e y = sorvetes vendidos. Use a reta de mínimos quadrados ŷ = a + b·x. É feita uma nova observação (15,5, 34). Encontre o seu resíduo e = y − ŷ.

n = 6(15,5, 34)

e =

3Soluções

1.Estatística descritiva

Resposta: s = 17,53

Estatística descritiva: a média é a soma a dividir por n; a mediana é o valor central dos dados ordenados (a média dos dois centrais se n for par). O desvio-padrão amostral é s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Uma pontuação z = (x − μ)/σ diz a quantos desvios-padrão da média está um valor.

Média

x̄ = 204/7 = 29,14

Desvios ao quadrado

Σ(x − x̄)² = (−6,143)² + (−3,143)² + (−12,14)² + (−12,14)² + 17,86² + (−15,14)² + 30,86² = 1843

Desvio-padrão

s = √(1843/6) = 17,53

Resposta

s = 17,53

2.Estatística descritiva

Resposta: z = 2

Padronizar

z = (580 − 500)/40 = 2

Resposta

z = 2

3.Probabilidades

Resposta: P = 0,7674

Probabilidades: com resultados equiprováveis, P(A) = favoráveis/possíveis. Para acontecimentos independentes multiplica-se: P(A e B) = P(A)·P(B). O complementar ajuda muitas vezes: P(pelo menos um) = 1 − P(nenhum). Binomial: em n provas independentes com probabilidade de sucesso p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Complementar

P(nenhum seis) = (5/6)⁸ = 0,2326

P = 1 − 0,2326 = 0,7674

Resposta

P = 0,7674

4.Probabilidades

Resposta: σ_Y = 6,5

Variáveis aleatórias discretas: uma distribuição de probabilidade lista cada valor x que uma variável pode assumir com sua probabilidade p(x); as probabilidades ficam entre 0 e 1 e somam 1. O valor esperado (média) é E(X) = Σx·p(x), a média de longo prazo. A variância é Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², e o desvio padrão é σ = √Var(X). Para uma mudança linear Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) e σ_Y = |a|·σ_X; somar uma constante não muda a dispersão.

Dispersão de X

μ = 3,1, Var(X) = 1,69, σ_X = 1,3

Mudança linear

σ_Y = |5|·1,3 = 6,5

Resposta

σ_Y = 6,5

A média de fato se desloca: E(Y) = 5·3,1 + 10 = 25,5.

5.Distribuição normal

Resposta: P = 0,9542

Distribuição normal: converta um valor x em uma pontuação z, z = (x − μ)/σ, que conta quantos desvios-padrão ele está da média. Uma tabela z (ou Φ(z)) dá a área à esquerda de z, que é P(X < x). A área à direita é 1 − Φ(z), e a área entre dois valores é a diferença entre as duas áreas.

Pontuações z

z₁ = (45,5 − 65)/10 = −1,95

z₂ = (85,5 − 65)/10 = 2,05

Área entre os valores

P = Φ(2,05) − Φ(−1,95) = 0,9798 − 0,02559 = 0,9542

Resposta

P = 0,9542

6.Distribuição normal

Resposta: x = 245,8 g

z do percentil

Φ(z) = 0,2 → z = −0,8416

De volta a x

x = 250 + −0,8416·5 = 245,79 g

Resposta

x = 245,79 g

7.Intervalos de confiança

Resposta: limite inferior = 1,672 mmHg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Valor crítico

df = 14, t = 1,761

Margem de erro

E = 1,761·7,1/√15 = 3,228

Intervalo

4,9 ± 3,228 → [1,672, 8,128]

Resposta

limite inferior = 1,672 mmHg

8.Intervalos de confiança

Resposta: limite superior = −2,31 kg

Desvio-padrão combinado

s_p² = (9·2² + 11·2,5²)/20 = 5,237

s_p = 2,289

Margem de erro

E = 1,725·2,289·√(1/10 + 1/12) = 1,69

Intervalo

−4 ± 1,69 → [−5,69, −2,31]

Resposta

limite superior = −2,31 kg

9.Testes de hipóteses e intervalos de confiança

Resposta: t = −1,8

Teste a uma média: a estatística de teste mede a quantos erros-padrão a média amostral está do valor afirmado em H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) quando σ é conhecido, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) quando é estimado pela amostra. Um intervalo de confiança é x̄ ± (valor crítico)·(erro-padrão).

Erro-padrão

SE = 4/√64 = 4/8 = 0,5

Estatística de teste

t = (199,1 − 200)/0,5 = −1,8

Resposta

t = −1,8

t_{0,025; df = 63} = 1,998

|t| < 1.998, então H₀ não é rejeitada ao nível de 5% (bilateral).

10.Testes de hipóteses e intervalos de confiança

Resposta: L = 99,86

Margem de erro

E = 1,96·15/√100 = 2,94

Limite do intervalo

L = 102,8 − 2,94 = 99,86

Resposta

L = 99,86

11.Regressão linear e correlação

Resposta: r = −0,9256

Regressão por mínimos quadrados: com x̄ e ȳ as médias, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² e Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), a reta ŷ = a + b·x tem inclinação b = Sxy/Sxx e intercepto a = ȳ − b·x̄, então ela sempre passa por (x̄, ȳ). O coeficiente de correlação de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) fica entre −1 e 1; r² é a fração da variação de y explicada pela reta.

Somas centradas

S_xy = 463 − 21·139/6 = −23,5

S_xx = 91 − 21²/6 = 17,5

S_yy = 3257 − 139²/6 = 36,83

Coeficiente de correlação

r = −23,5/√(17,5·36,83) = −0,9256

Resposta

r = −0,9256

12.Regressão linear e correlação

Resposta: e = 1,557

Médias

x̄ = 129/6 = 21,5

ȳ = 315/6 = 52,5

Somas de quadrados e de produtos

S_xx = Σ(x − x̄)² = 157,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 526,5

Reta de regressão

b = 526,5/157,5 = 3,343

a = 52,5 − 3,343·21,5 = −19,37

ŷ = −19,37 + 3,343·x

Valor previsto

ŷ = −19,37 + 3,343·15,5 = 32,44

Resíduo

e = 34 − 32,44 = 1,557

Resposta

e = 1,557

O ponto está acima da reta.

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