Estatística descritiva
- Média
- x̄ = Σx/n
- Desvio-padrão amostral
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- Mediana
- valor do meio dos dados ordenados
- Pontuação z
- z = (x − μ)/σ
- Distribuição normal
- 68% dentro de ±1σ, 95% dentro de ±2σ
Introdução à Estatística: pacote de revisão
Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 12 exercícios, com soluções completas no final.
1Fórmulas e métodos
Probabilidades
- Complementar
- P(not A) = 1 − P(A)
- Regra da adição
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- Eventos independentes
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- Probabilidade condicional
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- Binomial
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
Distribuição normal
- Pontuação z
- z = (x − μ)/σ
- Abaixo de x
- P(X < x) = Φ(z)
- Acima de x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- Entre
- Φ(z2) − Φ(z1)
- Percentil
- x = μ + z·σ
Método
- Converta o valor em um escore z: z = (x − μ)/σ.
- Procure Φ(z), a área à esquerda de z.
- Para a área à direita use 1 − Φ(z); para um intervalo subtraia as duas áreas à esquerda.
- Para um percentil, faça o caminho inverso: encontre z para a área e depois x = μ + z·σ.
Intervalos de confiança
- σ conhecido
- x̄ ± z·σ/√n
- σ desconhecido
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- z crítico
- 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
- Tamanho da amostra
- n = (z·σ/E)², rounded up
Método
- Escolha entre z (σ populacional conhecido) e t (só o s amostral, com n − 1 graus de liberdade).
- Encontre o valor crítico para o nível de confiança.
- Margem de erro: E = valor crítico × desvio-padrão/√n.
- Intervalo: x̄ ± E.
Testes de hipóteses e intervalos de confiança
- Teste z para uma média
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- Teste t para uma média
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- Bilateral a 5%
- rejeite H0 se |z| > 1,96
- Intervalo de confiança
- x̄ ± z·σ/√n
Método
- Enuncie H₀ e H₁ e decida se o teste é unilateral ou bilateral.
- Calcule a estatística de teste: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), ou com s e t.
- Compare com o valor crítico, ou encontre o valor-p.
- Rejeite H₀ se a estatística estiver além do valor crítico (p abaixo de α) e enuncie a conclusão em palavras.
Regressão linear e correlação
- Somas de quadrados
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- Inclinação
- b = Sxy/Sxx
- Intercepto
- a = ȳ − b·x̄
- Correlação
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- Resíduo
- e = y − ŷ
2Exercícios
1.Estatística descritivaMédia
Calcule o desvio-padrão amostral s dos dados: 47, 34, 38, 32, 31, 24, 45.
n = 7
s =
2.Estatística descritivaDifícil
Uma grandeza segue uma distribuição normal com média 50 e desvio-padrão 15. Que proporção P dos valores está abaixo de 65?
μ = 50σ = 15x = 65
P =
3.ProbabilidadesMédia
Um saco tem 7 bolas vermelhas e 3 azuis. Tira duas bolas sem repor a primeira. Qual é a probabilidade P de ambas serem vermelhas?
7 / 3
P =
4.ProbabilidadesDifícil
Testam-se 11 componentes e cada um avaria com probabilidade 0,7, de forma independente. Qual é a probabilidade P de avariar no máximo um?
n = 11p = 0,7
P =
5.Distribuição normalMédia
Arraste z para que a área sombreada sob a curva normal padrão, à direita de z, seja 0,9713. Encontre z com duas casas decimais.
A = 0,9713
z =
6.Distribuição normalDifícil
Os diâmetros D dos furos são normais com média 25,02 mm e desvio padrão 0,01 mm. Os diâmetros d dos eixos são independentes e normais com média 25 mm e desvio padrão 0,01 mm. Um eixo escolhido ao acaso encaixa quando D − d > 0. Encontre a probabilidade P de ele encaixar. Arredonde z para duas casas decimais.
furo: μ = 25,02 mm, σ = 0,01 mmeixo: μ = 25 mm, σ = 0,01 mm
P =
7.Intervalos de confiançaMédia
A pressão arterial de 13 pacientes é medida antes e depois de um tratamento. As diferenças d = antes − depois (mmHg) têm média 5,7 e desvio-padrão 4,4. Encontre o limite inferior do intervalo de confiança de 99% para a diferença média.
n = 13d̄ = 5,7sd = 4,499%t(12) = 3,055
limite inferior = mmHg
8.Intervalos de confiançaDifícil
Dois fertilizantes são testados. Grupo de parcelas 1: 8 parcelas, produção média 95,5 kg, desvio-padrão 1,5 kg. Grupo de parcelas 2: 6 parcelas, média 85 kg, desvio-padrão 3 kg. Suponha variâncias iguais (t combinado, gl = n₁ + n₂ − 2). Encontre o limite superior do intervalo de confiança de 99% para μ₁ − μ₂.
n₁ = 8x̄₁ = 95,5s₁ = 1,5n₂ = 6x̄₂ = 85s₂ = 399%t(12) = 3,055
limite superior = kg
9.Testes de hipóteses e intervalos de confiançaMédia
Uma amostra de 81 estudantes tem nota média 51,33 e desvio-padrão amostral 10. Calcule a estatística de teste t para H₀: μ = 50.
μ₀ = 50x̄ = 51,33s = 10n = 81
t =
10.Testes de hipóteses e intervalos de confiançaDifícil
Uma amostra de 81 medições tem média 501,2. O desvio-padrão da população é 5. Calcule o limite inferior L do intervalo de confiança a 90 % para a média.
x̄ = 501,2σ = 5n = 8190%
L =
11.Regressão linear e correlaçãoMédia
A tabela dá 6 observações pareadas de x = temperatura em °C e y = sorvetes vendidos. Encontre o coeficiente de correlação de Pearson r.
n = 6
r =
12.Regressão linear e correlaçãoDifícil
A tabela dá 6 observações pareadas de x = gasto com publicidade em k€ e y = vendas em k€. Use a reta de mínimos quadrados ŷ = a + b·x. Para que valor x a reta prevê ŷ = 37?
n = 6ŷ = 37
x =
3Soluções
1.Estatística descritiva
Resposta: s = 8,112
Estatística descritiva: a média é a soma a dividir por n; a mediana é o valor central dos dados ordenados (a média dos dois centrais se n for par). O desvio-padrão amostral é s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Uma pontuação z = (x − μ)/σ diz a quantos desvios-padrão da média está um valor.
Média
x̄ = 251/7 = 35,86
Desvios ao quadrado
Σ(x − x̄)² = 11,14² + (−1,857)² + 2,143² + (−3,857)² + (−4,857)² + (−11,86)² + 9,143² = 394,9
Desvio-padrão
s = √(394,9/6) = 8,112
Resposta
s = 8,112
2.Estatística descritiva
Resposta: P = 0,8413
Estatística descritiva: a média é a soma a dividir por n; a mediana é o valor central dos dados ordenados (a média dos dois centrais se n for par). O desvio-padrão amostral é s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Uma pontuação z = (x − μ)/σ diz a quantos desvios-padrão da média está um valor.
Padronizar
z = 1
Tabela da normal padrão
Φ(1) = 0,8413
P = 0,8413
Resposta
P = 0,8413
3.Probabilidades
Resposta: P = 0,4667
Probabilidades: com resultados equiprováveis, P(A) = favoráveis/possíveis. Para acontecimentos independentes multiplica-se: P(A e B) = P(A)·P(B). O complementar ajuda muitas vezes: P(pelo menos um) = 1 − P(nenhum). Binomial: em n provas independentes com probabilidade de sucesso p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Primeira e segunda tiragem
P = 7/10 · 6/9 = 42/90 = 0,4667
Resposta
P = 0,4667
4.Probabilidades
Resposta: P = 4,724 × 10⁻⁵
Probabilidades: com resultados equiprováveis, P(A) = favoráveis/possíveis. Para acontecimentos independentes multiplica-se: P(A e B) = P(A)·P(B). O complementar ajuda muitas vezes: P(pelo menos um) = 1 − P(nenhum). Binomial: em n provas independentes com probabilidade de sucesso p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Zero e uma avaria
P(X = 0) = 0,311 = 1,771 × 10⁻⁶
P(X = 1) = 11·0,7·0,310 = 4,547 × 10⁻⁵
Some
P = 1,771 × 10⁻⁶ + 4,547 × 10⁻⁵ = 4,724 × 10⁻⁵
Resposta
P = 4,724 × 10⁻⁵
5.Distribuição normal
Resposta: z = −1,9
De uma área de volta a z: Φ(z) é a área à esquerda de z. Para uma área de cauda esquerda A, encontre na tabela o z com Φ(z) = A. Uma área de cauda direita A significa Φ(z) = 1 − A. Uma área central A entre −z e z deixa (1 − A)/2 em cada cauda, então Φ(z) = (1 + A)/2. Para um valor x, use x = μ + zσ.
Área à esquerda de z
Φ(z) = 1 − 0,9713 = 0,0287
Leia a tabela de z ao contrário
Encontre 0,0287 dentro da tabela e leia z.
z = −1,90
Resposta
z = −1,90
6.Distribuição normal
Resposta: P = 0,9207
Somas e diferenças de variáveis normais: se X e Y são independentes e normais, X + Y e X − Y também são normais. As médias se somam ou se subtraem: E(X ± Y) = μX ± μY. As variâncias sempre se somam, também em uma diferença: Var(X ± Y) = σX² + σY², portanto σ = √(σX² + σY²). Os desvios padrão nunca se somam diretamente. O total de n itens independentes com a mesma distribuição tem média n·μ e desvio padrão σ·√n. Depois padronize como de costume: z = (x − média)/σ e leia Φ(z).
Distribuição da diferença
μ = 25,02 − 25 = 0,02 mm, σ = 0,01414 mm
Padronizar
z = (0 − 0,02)/0,01414 = −1,41
Probabilidades
P = 1 − Φ(−1,41) = 0,9207
Resposta
P = 0,9207
7.Intervalos de confiança
Resposta: limite inferior = 1,972 mmHg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Valor crítico
df = 12, t = 3,055
Margem de erro
E = 3,055·4,4/√13 = 3,728
Intervalo
5,7 ± 3,728 → [1,972, 9,428]
Resposta
limite inferior = 1,972 mmHg
8.Intervalos de confiança
Resposta: limite superior = 14,21 kg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Desvio-padrão combinado
sp² = (7·1,5² + 5·3²)/12 = 5,063
sp = 2,25
Margem de erro
E = 3,055·2,25·√(1/8 + 1/6) = 3,712
Intervalo
10,5 ± 3,712 → [6,788, 14,21]
Resposta
limite superior = 14,21 kg
9.Testes de hipóteses e intervalos de confiança
Resposta: t = 1,197
Teste a uma média: a estatística de teste mede a quantos erros-padrão a média amostral está do valor afirmado em H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) quando σ é conhecido, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) quando é estimado pela amostra. Um intervalo de confiança é x̄ ± (valor crítico)·(erro-padrão).
Erro-padrão
SE = 10/√81 = 10/9 = 1,111
Estatística de teste
t = (51,33 − 50)/1,111 = 1,197
Resposta
t = 1,197
t0,025; df = 80 = 1,99
|t| < 1.99, então H₀ não é rejeitada ao nível de 5% (bilateral).
10.Testes de hipóteses e intervalos de confiança
Resposta: L = 500,3
Teste a uma média: a estatística de teste mede a quantos erros-padrão a média amostral está do valor afirmado em H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) quando σ é conhecido, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) quando é estimado pela amostra. Um intervalo de confiança é x̄ ± (valor crítico)·(erro-padrão).
Margem de erro
E = 1,645·5/√81 = 0,9139
Limite do intervalo
L = 501,2 − 0,9139 = 500,3
Resposta
L = 500,3
11.Regressão linear e correlação
Resposta: r = 0,9838
Regressão por mínimos quadrados: com x̄ e ȳ as médias, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² e Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), a reta ŷ = a + b·x tem inclinação b = Sxy/Sxx e intercepto a = ȳ − b·x̄, então ela sempre passa por (x̄, ȳ). O coeficiente de correlação de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) fica entre −1 e 1; r² é a fração da variação de y explicada pela reta.
Médias
x̄ = 153/6 = 25,5
ȳ = 556/6 = 92,67
Somas de quadrados e de produtos
Sxx = Σ(x − x̄)² = 157,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 549
Syy = Σ(y − ȳ)² = 1977
Coeficiente de correlação
r = 549/√(157,5·1977) = 0,9838
Resposta
r = 0,9838
12.Regressão linear e correlação
Resposta: x = 6
Regressão por mínimos quadrados: com x̄ e ȳ as médias, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² e Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), a reta ŷ = a + b·x tem inclinação b = Sxy/Sxx e intercepto a = ȳ − b·x̄, então ela sempre passa por (x̄, ȳ). O coeficiente de correlação de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) fica entre −1 e 1; r² é a fração da variação de y explicada pela reta.
Médias
x̄ = 48/6 = 8
ȳ = 246/6 = 41
Somas de quadrados e de produtos
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 140
Reta de regressão
b = 140/70 = 2
a = 41 − 2·8 = 25
ŷ = 25 + 2·x
Resolver para x
x = (37 − 25)/2 = 6
Resposta
x = 6
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