Introdução à Estatística: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 12 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Estatística descritiva

Média
x̄ = Σx/n
Desvio-padrão amostral
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana
valor do meio dos dados ordenados
Pontuação z
z = (x − μ)/σ
Distribuição normal
68% dentro de ±1σ, 95% dentro de ±2σ

Probabilidades

Complementar
P(not A) = 1 − P(A)
Regra da adição
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Eventos independentes
P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Probabilidade condicional
P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomial
P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k

Distribuição normal

Pontuação z
z = (x − μ)/σ
Abaixo de x
P(X < x) = Φ(z)
Acima de x
P(X > x) = 1 − Φ(z)
Entre
Φ(z2) − Φ(z1)
Percentil
x = μ + z·σ

Método

  1. Converta o valor em um escore z: z = (x − μ)/σ.
  2. Procure Φ(z), a área à esquerda de z.
  3. Para a área à direita use 1 − Φ(z); para um intervalo subtraia as duas áreas à esquerda.
  4. Para um percentil, faça o caminho inverso: encontre z para a área e depois x = μ + z·σ.

Intervalos de confiança

σ conhecido
x̄ ± z·σ/√n
σ desconhecido
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z crítico
90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Tamanho da amostra
n = (z·σ/E)², rounded up

Método

  1. Escolha entre z (σ populacional conhecido) e t (só o s amostral, com n − 1 graus de liberdade).
  2. Encontre o valor crítico para o nível de confiança.
  3. Margem de erro: E = valor crítico × desvio-padrão/√n.
  4. Intervalo: x̄ ± E.

Testes de hipóteses e intervalos de confiança

Teste z para uma média
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
Teste t para uma média
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
Bilateral a 5%
rejeite H0 se |z| > 1,96
Intervalo de confiança
x̄ ± z·σ/√n

Método

  1. Enuncie H₀ e H₁ e decida se o teste é unilateral ou bilateral.
  2. Calcule a estatística de teste: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), ou com s e t.
  3. Compare com o valor crítico, ou encontre o valor-p.
  4. Rejeite H₀ se a estatística estiver além do valor crítico (p abaixo de α) e enuncie a conclusão em palavras.

Regressão linear e correlação

Somas de quadrados
Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
Inclinação
b = Sxy/Sxx
Intercepto
a = ȳ − b·x̄
Correlação
r = Sxy/√(SxxSyy)
Resíduo
e = y − ŷ

2Exercícios

1.Estatística descritivaMédia
25303540455055

Calcule o desvio-padrão amostral s dos dados: 57, 39, 22, 30, 23, 59, 47.

n = 7
s =
2.Estatística descritivaDifícil
z −2−1012

Uma grandeza segue uma distribuição normal com média 500 e desvio-padrão 25. Que proporção P dos valores está acima de 515?

μ = 500σ = 25x = 515
P =
3.ProbabilidadesMédia
vermelhas: 8azuis: 3

Um saco tem 8 bolas vermelhas e 3 azuis. Tira duas bolas sem repor a primeira. Qual é a probabilidade P de ambas serem vermelhas?

8 / 3
P =
4.ProbabilidadesDifícil
n = 10, p = 0,4: P(X = 3) = ?k012345678910

Um teste tem 10 perguntas de escolha múltipla. Uma estudante que responde ao acaso acerta cada uma com probabilidade 0,4, de forma independente. Qual é a probabilidade P de acertar exatamente 3?

n = 10p = 0,4k = 3
P =
5.Distribuição normalMédia
−3−2−10123zárea sombreada entre −z e z = 0,9297

Arraste z para que a área sombreada entre −z e z sob a curva normal padrão seja 0,9297. Encontre z com duas casas decimais.

A = 0,9297
z =
6.Distribuição normalDifícil
557085100115130145pontostopo 80%

Os pontuações de QI têm distribuição normal com média 100 pontos e desvio padrão 15 pontos. Arraste o ponto de corte para que os 80% superiores sombreados fiquem à direita dele. Encontre o ponto de corte x.

μ = 100 pontosσ = 15 pontos80%
x = pontos
7.Intervalos de confiançaMédia
μ₁ − μ₂0LUx̄₁ − x̄₂E = ?95%

A duração da bateria de dois modelos de celular é comparada. Modelo 1: 60 celulares, média 99 h, desvio-padrão conhecido 6 h. Modelo 2: 30 celulares, média 98 h, desvio-padrão conhecido 3 h. Encontre a margem de erro E do intervalo de confiança de 95% para μ₁ − μ₂.

n₁ = 60x̄₁ = 99 hσ₁ = 6 hn₂ = 30x̄₂ = 98 hσ₂ = 3 h95%
E = h
8.Intervalos de confiançaDifícil
p = 0,5, n = ?p̂ − Ep̂ + Ep̂E = 0,0190%

Não se sabe nada de antemão sobre a proporção de produtos defeituosos. Quantos produtos n devem ser inspecionados para que um intervalo de confiança de 90% para a proporção tenha margem de erro de no máximo 0,01?

p = 0,5E = 0,0190%
n =
9.Testes de hipóteses e intervalos de confiançaMédia
−2,0932,093t = ?df = 19

Dois métodos de ensino são comparados. Grupo 1: 15 alunos, nota média 44, desvio-padrão 6. Grupo 2: 6 alunos, nota média 35,3, desvio-padrão 9. Suponha variâncias populacionais iguais e use o teste t de duas amostras com variância combinada. Encontre a estatística de teste t para H₀: μ₁ = μ₂, tomando a diferença como x̄₁ − x̄₂ (grupo 1 menos grupo 2).

n₁ = 15x̄₁ = 44s₁ = 6n₂ = 6x̄₂ = 35,3s₂ = 9
t =
10.Testes de hipóteses e intervalos de confiançaDifícil
H₀H₁μ₀x̄cμ₀ + 3α = 0,05βσ = 28, poder 90%, n = ?

Um teste z unilateral com α = 0,05 deve detectar um deslocamento da média de 3 unidades com poder de 90%. O desvio-padrão é 28. Encontre o tamanho mínimo da amostra n.

α = 0,05poder = 90%δ = 3σ = 28zα = 1,645zβ = 1,282
n =
11.Regressão linear e correlaçãoMédia
xy274156208291033xy510102030

A tabela dá 5 observações pareadas de x = carga em kN e y = alongamento em mm. As suas somas são dadas. Encontre o coeficiente de correlação de Pearson r a partir dessas somas.

n = 5Σx = 30Σy = 104Σx² = 220Σy² = 2604Σxy = 756
r =
12.Regressão linear e correlaçãoDifícil
xy17552068238826912998xy2025306080100x = 18,5

A tabela dá 5 observações pareadas de x = temperatura em °C e y = sorvetes vendidos. Use a reta de mínimos quadrados ŷ = a + b·x. É feita uma nova observação (18,5, 60). Encontre o seu resíduo e = y − ŷ.

n = 5(18,5, 60)
e =

3Soluções

1.Estatística descritiva

Resposta: s = 15,34

Estatística descritiva: a média é a soma a dividir por n; a mediana é o valor central dos dados ordenados (a média dos dois centrais se n for par). O desvio-padrão amostral é s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Uma pontuação z = (x − μ)/σ diz a quantos desvios-padrão da média está um valor.

Média

x̄ = 277/7 = 39,57

Desvios ao quadrado

Σ(x − x̄)² = 17,43² + (−0,5714)² + (−17,57)² + (−9,571)² + (−16,57)² + 19,43² + 7,429² = 1412

Desvio-padrão

s = √(1412/6) = 15,34

Resposta

s = 15,34
2.Estatística descritiva

Resposta: P = 0,2743

Estatística descritiva: a média é a soma a dividir por n; a mediana é o valor central dos dados ordenados (a média dos dois centrais se n for par). O desvio-padrão amostral é s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Uma pontuação z = (x − μ)/σ diz a quantos desvios-padrão da média está um valor.

Padronizar

z = 0,6

Tabela da normal padrão

Φ(0,6) = 0,7257
P = 1 − 0,7257 = 0,2743

Resposta

P = 0,2743
3.Probabilidades

Resposta: P = 0,5091

Probabilidades: com resultados equiprováveis, P(A) = favoráveis/possíveis. Para acontecimentos independentes multiplica-se: P(A e B) = P(A)·P(B). O complementar ajuda muitas vezes: P(pelo menos um) = 1 − P(nenhum). Binomial: em n provas independentes com probabilidade de sucesso p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Primeira e segunda tiragem

P = 8/11 · 7/10 = 56/110 = 0,5091

Resposta

P = 0,5091
4.Probabilidades

Resposta: P = 0,215

Probabilidades: com resultados equiprováveis, P(A) = favoráveis/possíveis. Para acontecimentos independentes multiplica-se: P(A e B) = P(A)·P(B). O complementar ajuda muitas vezes: P(pelo menos um) = 1 − P(nenhum). Binomial: em n provas independentes com probabilidade de sucesso p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Fórmula binomial

P(X = 3) = 120·0,43·0,67 = 120·0,064·0,02799 = 0,215

Resposta

P = 0,215
5.Distribuição normal

Resposta: z = 1,81

De uma área de volta a z: Φ(z) é a área à esquerda de z. Para uma área de cauda esquerda A, encontre na tabela o z com Φ(z) = A. Uma área de cauda direita A significa Φ(z) = 1 − A. Uma área central A entre −z e z deixa (1 − A)/2 em cada cauda, então Φ(z) = (1 + A)/2. Para um valor x, use x = μ + zσ.

Área à esquerda de z

Φ(z) = (1 + 0,9297)/2 = 0,9649

Leia a tabela de z ao contrário

Encontre 0,9649 dentro da tabela e leia z.

z = 1,81

Resposta

z = 1,81
6.Distribuição normal

Resposta: x = 87,4 pontos

De uma área de volta a z: Φ(z) é a área à esquerda de z. Para uma área de cauda esquerda A, encontre na tabela o z com Φ(z) = A. Uma área de cauda direita A significa Φ(z) = 1 − A. Uma área central A entre −z e z deixa (1 − A)/2 em cada cauda, então Φ(z) = (1 + A)/2. Para um valor x, use x = μ + zσ.

Área à esquerda

Φ(z) = 0,2

z da tabela

z ≈ −0,84

De volta às unidades originais

x = 100 − 0,84·15 = 87,4 pontos

Resposta

x = 87,4 pontos
7.Intervalos de confiança

Resposta: E = 1,859 h

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Estimativa pontual

x̄₁ − x̄₂ = 99 − 98 = 1

Erro-padrão

SE = √(6²/60 + 3²/30) = 0,9487

Margem de erro

E = 1,96·0,9487 = 1,859

Resposta

E = 1,859 h

O intervalo contém 0, então os dados não mostram uma diferença significativa.

8.Intervalos de confiança

Resposta: n = 6766

Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0,5, which gives the largest n.

Resolver em ordem a n

n = 1,645²·0,5·0,5/0,01² = 6765

Arredondar para cima

n = 6766

Resposta

n = 6766
9.Testes de hipóteses e intervalos de confiança

Resposta: t = 2,604

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Variância combinada

sp² = (14·6² + 5·9²)/19 = 47,84
sp = 6,917

Erro-padrão

SE = 6,917·√(1/15 + 1/6) = 3,341

Estatística de teste

t = (44 − 35,3)/3,341 = 2,604

Resposta

t = 2,604

Com gl = 19, o valor crítico bilateral a 5% é 2,093; |t| é maior, então H₀ é rejeitada.

10.Testes de hipóteses e intervalos de confiança

Resposta: n = 747

Tamanho de amostra para um teste: para detectar um deslocamento real δ com poder 1 − β em um teste z unilateral ao nível α, o erro-padrão deve satisfazer δ = (z_α + z_β)·σ/√n, então n = ((z_α + z_β)·σ/δ)², arredondado para cima.

Resolver em ordem a n

n = ((1,645 + 1,282)·28/3)² = 746,3

Arredondar para cima

n = 747

Resposta

n = 747
11.Regressão linear e correlação

Resposta: r = 0,9941

Regressão por mínimos quadrados: com x̄ e ȳ as médias, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² e Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), a reta ŷ = a + b·x tem inclinação b = Sxy/Sxx e intercepto a = ȳ − b·x̄, então ela sempre passa por (x̄, ȳ). O coeficiente de correlação de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) fica entre −1 e 1; r² é a fração da variação de y explicada pela reta.

Somas centradas

Sxy = 756 − 30·104/5 = 132
Sxx = 220 − 30²/5 = 40
Syy = 2604 − 104²/5 = 440,8

Coeficiente de correlação

r = 132/√(40·440,8) = 0,9941

Resposta

r = 0,9941
12.Regressão linear e correlação

Resposta: e = −3,65

Regressão por mínimos quadrados: com x̄ e ȳ as médias, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² e Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), a reta ŷ = a + b·x tem inclinação b = Sxy/Sxx e intercepto a = ȳ − b·x̄, então ela sempre passa por (x̄, ȳ). O coeficiente de correlação de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) fica entre −1 e 1; r² é a fração da variação de y explicada pela reta.

Médias

x̄ = 115/5 = 23
ȳ = 400/5 = 80

Somas de quadrados e de produtos

Sxx = Σ(x − x̄)² = 90
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 327

Reta de regressão

b = 327/90 = 3,633
a = 80 − 3,633·23 = −3,567
ŷ = −3,567 + 3,633·x

Valor previsto

ŷ = −3,567 + 3,633·18,5 = 63,65

Resíduo

e = 60 − 63,65 = −3,65

Resposta

e = −3,65

O ponto está abaixo da reta.

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