Introdução à Estatística: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 12 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Estatística descritiva

Média: x̄ = Σx/n
Desvio-padrão amostral: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana: valor do meio dos dados ordenados
Pontuação z: z = (x − μ)/σ
Distribuição normal: 68% dentro de ±1σ, 95% dentro de ±2σ

Probabilidades

Complementar: P(not A) = 1 − P(A)
Regra da adição: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Eventos independentes: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Probabilidade condicional: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomial: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Distribuição normal

Pontuação z: z = (x − μ)/σ
Abaixo de x: P(X < x) = Φ(z)
Acima de x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Entre: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Percentil: x = μ + z·σ

Método

Converta o valor em um escore z: z = (x − μ)/σ.
Procure Φ(z), a área à esquerda de z.
Para a área à direita use 1 − Φ(z); para um intervalo subtraia as duas áreas à esquerda.
Para um percentil, faça o caminho inverso: encontre z para a área e depois x = μ + z·σ.

Intervalos de confiança

σ conhecido: x̄ ± z·σ/√n
σ desconhecido: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z crítico: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Tamanho da amostra: n = (z·σ/E)², rounded up

Método

Escolha entre z (σ populacional conhecido) e t (só o s amostral, com n − 1 graus de liberdade).
Encontre o valor crítico para o nível de confiança.
Margem de erro: E = valor crítico × desvio-padrão/√n.
Intervalo: x̄ ± E.

Testes de hipóteses e intervalos de confiança

Teste z para uma média: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Teste t para uma média: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Bilateral a 5%: rejeite H₀ se |z| > 1,96
Intervalo de confiança: x̄ ± z·σ/√n

Método

Enuncie H₀ e H₁ e decida se o teste é unilateral ou bilateral.
Calcule a estatística de teste: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), ou com s e t.
Compare com o valor crítico, ou encontre o valor-p.
Rejeite H₀ se a estatística estiver além do valor crítico (p abaixo de α) e enuncie a conclusão em palavras.

Regressão linear e correlação

Somas de quadrados: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Inclinação: b = S_xy/S_xx
Intercepto: a = ȳ − b·x̄
Correlação: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Resíduo: e = y − ŷ

2Exercícios

1.Estatística descritivaMédia

Calcule o desvio-padrão amostral s dos dados: 21, 41, 17, 15, 23, 51, 17.

n = 7

s =

2.Estatística descritivaDifícil

Uma grandeza segue uma distribuição normal com média 500 e desvio-padrão 100. Que proporção P dos valores está abaixo de 700?

μ = 500σ = 100x = 700

P =

3.ProbabilidadesMédia

Para a distribuição mostrada, encontre o desvio padrão σ de X.

x: 0, 2, 4, 6p(x): 0,2, 0,25, 0,3, 0,25

σ =

4.ProbabilidadesDifícil

Um jogo custa €10 para jogar. Você ganha €50 com probabilidade 0,25 e €200 com probabilidade 0,02; caso contrário, não ganha nada. A aposta não é devolvida. Encontre o ganho líquido esperado E(G) por jogo.

aposta = €10€50: p = 0,25€200: p = 0,02

E(G) = €

5.Distribuição normalMédia

As notas de prova seguem uma distribuição normal com média 65 pontos e desvio-padrão 10 pontos. Que fração está entre 62 e 70,5 pontos? Dê P em forma decimal.

μ = 65σ = 10x₁ = 62x₂ = 70,5

P =

6.Distribuição normalDifícil

Os diâmetros D dos furos são normais com média 25,03 mm e desvio padrão 0,015 mm. Os diâmetros d dos eixos são independentes e normais com média 25 mm e desvio padrão 0,01 mm. Um eixo escolhido ao acaso encaixa quando D − d > 0. Encontre a probabilidade P de ele encaixar. Arredonde z para duas casas decimais.

furo: μ = 25,03 mm, σ = 0,015 mmeixo: μ = 25 mm, σ = 0,01 mm

P =

7.Intervalos de confiançaMédia

Uma amostra de 12 itens tem média 106,5 e desvio-padrão s = 3,5. A população é aproximadamente normal. Calcule o limite superior do intervalo de confiança de 90% para a média.

n = 12x̄ = 106,5s = 3,590%t(11) = 1,796

limite superior =

8.Intervalos de confiançaDifícil

Dois fertilizantes são testados. Grupo de parcelas 1: 6 parcelas, produção média 74 kg, desvio-padrão 7,5 kg. Grupo de parcelas 2: 10 parcelas, média 64 kg, desvio-padrão 6,5 kg. Suponha variâncias iguais (t combinado, gl = n₁ + n₂ − 2). Encontre o limite superior do intervalo de confiança de 95% para μ₁ − μ₂.

n₁ = 6x̄₁ = 74s₁ = 7,5n₂ = 10x̄₂ = 64s₂ = 6,595%t(14) = 2,145

limite superior = kg

9.Testes de hipóteses e intervalos de confiançaMédia

Dois métodos de ensino são comparados. Grupo 1: 8 alunos, nota média 39,5, desvio-padrão 6,5. Grupo 2: 6 alunos, nota média 33, desvio-padrão 2,5. Suponha variâncias populacionais iguais e use o teste t de duas amostras com variância combinada. Encontre a estatística de teste t para H₀: μ₁ = μ₂, tomando a diferença como x̄₁ − x̄₂ (grupo 1 menos grupo 2).

n₁ = 8x̄₁ = 39,5s₁ = 6,5n₂ = 6x̄₂ = 33s₂ = 2,5

t =

10.Testes de hipóteses e intervalos de confiançaDifícil

Um teste z unilateral com α = 0,01 deve detectar um deslocamento da média de 2 unidades com poder de 80%. O desvio-padrão é 13. Encontre o tamanho mínimo da amostra n.

α = 0,01poder = 80%δ = 2σ = 13z_α = 2,326z_β = 0,842

n =

11.Regressão linear e correlaçãoMédia

A tabela dá 6 observações pareadas de x = gasto com publicidade em k€ e y = vendas em k€. Encontre o coeficiente de correlação de Pearson r.

n = 6

r =

12.Regressão linear e correlaçãoDifícil

A tabela dá 5 observações pareadas de x = temperatura em °C e y = sorvetes vendidos. Use a reta de mínimos quadrados ŷ = a + b·x. Para que valor x a reta prevê ŷ = 49?

n = 5ŷ = 49

x =

3Soluções

1.Estatística descritiva

Resposta: s = 13,94

Estatística descritiva: a média é a soma a dividir por n; a mediana é o valor central dos dados ordenados (a média dos dois centrais se n for par). O desvio-padrão amostral é s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Uma pontuação z = (x − μ)/σ diz a quantos desvios-padrão da média está um valor.

Média

x̄ = 185/7 = 26,43

Desvios ao quadrado

Σ(x − x̄)² = (−5,429)² + 14,57² + (−9,429)² + (−11,43)² + (−3,429)² + 24,57² + (−9,429)² = 1166

Desvio-padrão

s = √(1166/6) = 13,94

Resposta

s = 13,94

2.Estatística descritiva

Resposta: P = 0,9772

Padronizar

z = 2

Tabela da normal padrão

Φ(2) = 0,9772

P = 0,9772

Resposta

P = 0,9772

3.Probabilidades

Resposta: σ = 2,135

Variáveis aleatórias discretas: uma distribuição de probabilidade lista cada valor x que uma variável pode assumir com sua probabilidade p(x); as probabilidades ficam entre 0 e 1 e somam 1. O valor esperado (média) é E(X) = Σx·p(x), a média de longo prazo. A variância é Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², e o desvio padrão é σ = √Var(X). Para uma mudança linear Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) e σ_Y = |a|·σ_X; somar uma constante não muda a dispersão.

Média

μ = 0·0,2 + 2·0,25 + 4·0,3 + 6·0,25 = 3,2

Média dos quadrados

E(X²) = 0·0,2 + 4·0,25 + 16·0,3 + 36·0,25 = 14,8

Variância

Var(X) = 14,8 − 3,2² = 4,56

σ = √4,56 = 2,135

Resposta

σ = 2,135

4.Probabilidades

Resposta: E(G) = 6,5 €

Resultados líquidos

G: 40 (p = 0,25), 190 (p = 0,02), −10 (p = 0,73)

Valor esperado

E(G) = 40·0,25 + 190·0,02 − 10·0,73 = 6,5 €

Resposta

E(G) = 6,5 €

Um valor positivo significa que você ganha dinheiro em média.

5.Distribuição normal

Resposta: P = 0,3268

Distribuição normal: converta um valor x em uma pontuação z, z = (x − μ)/σ, que conta quantos desvios-padrão ele está da média. Uma tabela z (ou Φ(z)) dá a área à esquerda de z, que é P(X < x). A área à direita é 1 − Φ(z), e a área entre dois valores é a diferença entre as duas áreas.

Pontuações z

z₁ = (62 − 65)/10 = −0,3

z₂ = (70,5 − 65)/10 = 0,55

Área entre os valores

P = Φ(0,55) − Φ(−0,3) = 0,7088 − 0,3821 = 0,3268

Resposta

P = 0,3268

6.Distribuição normal

Resposta: P = 0,9515

Somas e diferenças de variáveis normais: se X e Y são independentes e normais, X + Y e X − Y também são normais. As médias se somam ou se subtraem: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. As variâncias sempre se somam, também em uma diferença: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², portanto σ = √(σ_X² + σ_Y²). Os desvios padrão nunca se somam diretamente. O total de n itens independentes com a mesma distribuição tem média n·μ e desvio padrão σ·√n. Depois padronize como de costume: z = (x − média)/σ e leia Φ(z).

Distribuição da diferença

μ = 25,03 − 25 = 0,03 mm, σ = 0,01803 mm

Padronizar

z = (0 − 0,03)/0,01803 = −1,66

Probabilidades

P = 1 − Φ(−1,66) = 0,9515

Resposta

P = 0,9515

7.Intervalos de confiança

Resposta: limite superior = 108,3

Intervalo de confiança para uma média: x̄ ± margem de erro. Com σ populacional conhecido, a margem é z·σ/√n; tendo apenas o desvio-padrão amostral s, use t com n − 1 graus de liberdade: t·s/√n. Valores críticos: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Para obter uma margem E ou menor, você precisa de n ≥ (z·σ/E)², arredondado para cima.

Valor crítico

df = n − 1 = 11, t = 1,796

Margem de erro

E = 1,796·3,5/√12 = 1,815

Intervalo

106,5 ± 1,815 → [104,7, 108,3]

Resposta

limite superior = 108,3

8.Intervalos de confiança

Resposta: limite superior = 17,61 kg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Desvio-padrão combinado

s_p² = (5·7,5² + 9·6,5²)/14 = 47,25

s_p = 6,874

Margem de erro

E = 2,145·6,874·√(1/6 + 1/10) = 7,614

Intervalo

10 ± 7,614 → [2,386, 17,61]

Resposta

limite superior = 17,61 kg

9.Testes de hipóteses e intervalos de confiança

Resposta: t = 2,306

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Variância combinada

s_p² = (7·6,5² + 5·2,5²)/12 = 27,25

s_p = 5,22

Erro-padrão

SE = 5,22·√(1/8 + 1/6) = 2,819

Estatística de teste

t = (39,5 − 33)/2,819 = 2,306

Resposta

t = 2,306

Com gl = 12, o valor crítico bilateral a 5% é 2,179; |t| é maior, então H₀ é rejeitada.

10.Testes de hipóteses e intervalos de confiança

Resposta: n = 425

Tamanho de amostra para um teste: para detectar um deslocamento real δ com poder 1 − β em um teste z unilateral ao nível α, o erro-padrão deve satisfazer δ = (z_α + z_β)·σ/√n, então n = ((z_α + z_β)·σ/δ)², arredondado para cima.

Resolver em ordem a n

n = ((2,326 + 0,842)·13/2)² = 424

Arredondar para cima

n = 425

Resposta

n = 425

11.Regressão linear e correlação

Resposta: r = 0,9913

Regressão por mínimos quadrados: com x̄ e ȳ as médias, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² e Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), a reta ŷ = a + b·x tem inclinação b = Sxy/Sxx e intercepto a = ȳ − b·x̄, então ela sempre passa por (x̄, ȳ). O coeficiente de correlação de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) fica entre −1 e 1; r² é a fração da variação de y explicada pela reta.

Médias

x̄ = 21/6 = 3,5

ȳ = 361/6 = 60,17

Somas de quadrados e de produtos

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 91,5

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 486,8

Coeficiente de correlação

r = 91,5/√(17,5·486,8) = 0,9913

Resposta

r = 0,9913

12.Regressão linear e correlação

Resposta: x = 22,41

Médias

x̄ = 120/5 = 24

ȳ = 271/5 = 54,2

Somas de quadrados e de produtos

S_xx = Σ(x − x̄)² = 90

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 294

Reta de regressão

b = 294/90 = 3,267

a = 54,2 − 3,267·24 = −24,2

ŷ = −24,2 + 3,267·x

Resolver para x

x = (49 − (−24,2))/3,267 = 22,41

Resposta

x = 22,41

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